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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题42 平面解析几何第二缉
1．【2018 年湖北预赛】已知点P在离心率为❑√2的双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)上，F1、F2
为双曲线的
两个焦点，且⃑P F1⋅⃑PF2=0，则ΔP F1 F2
的内切圆半径r与外接圆半径R之比为______.
2．【2018 年甘肃预赛】已知点P为直线x +2 y = 4上一动点，过点P作椭圆x
2+ 4 y
2= 4的两条切线，切点
分别为A ,B．当点P运动时，直线AB过定点的坐标是______．
3．【2018 年吉林预赛】已知圆C 的方程为x
2+ y
2-8 x +15=0，若直线y =kx -2(k ∈R)上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值等于__________.
4．【2018 年吉林预赛】已知点P 在直线x +2 y -1=0上，点Q 在直线x +2 y +3=0上，PQ 的中点为M（
x0, y0
），且y0> x0+2，则y0
x0
的取值范围是_____________.
5．【2018 年河南预赛】设经过定点M (a,0)的直线l与抛物线y
2= 4 x相交于P、Q两点，若
1
|PM|
2 +
1
|QM|
2为常数，则a的值为______．
6．【2018 年河北预赛】在平面直角坐标系中，若与点A（2，2）的距离为1，且与点B（m，0）的距离
为3 的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是________.
7．【2018 年辽宁预赛】已知A、B 分别为C1: x
2- y +1=0和C2: y
2- x +1=0上的点，则| AB|的最小值
为_____.
8．【2018 年江西预赛】若双曲线L的两个焦点恰是椭圆T : x
2
16 + y
2
9 =1的两个顶点，而双曲线L的两个顶点
恰是椭圆T的两个焦点，则双曲线L的方程为______．
9．【2018 年山西预赛】若双曲线L1
的两个焦点分别是椭圆L2: x
2
5
2 + y
2
4
2 =1的两个顶点，而双曲线L1
的两条
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准线分别通过椭圆L2的两个焦点，则双曲线L1的方程是：________.
10．【2018 年福建预赛】已知F1、F2分别为双曲线C : x
2
4 - y
2
12 =1的左、右焦点，点P在双曲线C上，
G、I分别为△F1 P F2的重心、内心．若GI ∥x轴，则△F1 P F2的外接圆半径R =______．
11．【2018 年全国】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2
，
椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT 的长分别为1，2，
3，6，则ΔP F1 F2的面积为
12．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、
右焦点分别是F1, F2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，
PV，PT 的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为
.
13．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设抛物线C:y2=2x 的准线与x 轴交于点A，过点B(－1，0)作一
直线l 与抛物线C 相切于点K，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M，N，则△KMN 的面积为
.
14．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为x
2
9 + y
2
10 =1，F
为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为
.
15．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线
x
2+a y
2+a
2=0的焦距为4，则a 的值为
.
16．【2017 年天津预赛】设F是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点.过A
作圆x
2+ y
2=b
2的切线,切点为P.则|AF|-|AP|=
.
17．【2017 年河北预赛】双曲线C : x
2- y
2=2的右焦点为F , P为其左支上任意一点,点A的坐标为(-1,1),
则△APF周长的最小值为
.
18．【2017 年山西预赛】直线y =kx -2交抛物线y
2=8 x于A 、B两点,若线段AB的中点横坐标为2,则线段
AB的长度|AB|=
.
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19．【2017 年辽宁预赛】已知F1, F2
分别为椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点,|F1 F2|=2. A为Γ
的右端点,直线l过点A且垂直于x轴,P为直线l上一动点,若∠F1 P F2的最大值为π
4
,则此时点P的坐标为
.
20．【2017 年吉林预赛】若椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)恒过定点(
❑√2
2 ,
❑√2
2 )
,且其长轴长的取值范围是
[❑√5,❑√6]
,则椭圆的离心率的取值范围是
.
21．【2017 年福建预赛】已知P为双曲线C : x
2
4 - y
2
12 =1上一点,F1, F2为双曲线C的左、右焦点,M、I 分别
为△P F1 F2的重心、内心,若MI ⊥x轴,则△P F1 F2内切圆的半径为
.
22．【2017 年江西预赛】若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上,则椭圆的离心率
e =
.
23．【2017 年河南预赛】设A 、B是椭圆x
2+3 y
2=1上的两个动点,且OA ⊥OB(O为坐标原点).则∣AB|
的最大值和最小值的乘积为
.
24．【2017 年湖北预赛】过抛物线y
2= 4 x的焦点F的直线交拋物线于M 、N两点,E (m,0)为x轴上一点,
ME , NE的延长线分别交抛物线于点P ,Q.若MN 、PQ的斜率k1、k2满足k1=3k2,则实数m的值为
.
25．【2017 年四川预赛】若P(x , y)是双曲线x
2
8 - y
2
4 =1上的点,则|x - y|的最小值是
.
26．【2017 年甘肃预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0), A1, A2
是实轴顶点,F是右焦点,B (0,b)是虚
轴端点,若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△Pi A1 A2(i=1,2)构成以A1 A2
为斜边的
直角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是
.
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27．【2017 年贵州预赛】在直角坐标系xOy中,有拋物线Ci: y =ai x
2+bi x +ci(i=1,2,⋯,20),拋物线
D j: x =a j
' y
2+b j
' y +c j
' ( j =1,2,⋯,20).对任意实数ai,bi
,ci、a j
' ,b j
' ,c j
' ,则这40 条抛物线把坐标平面分成的
区域块数最多为
.
28．【2017 年安徽预赛】过椭圆x
2+2 y
2=3的一个焦点作斜率为k的直线,交椭圆于A 、B两点.若AB =2,
则|k|=
.
29．【2017 年广东预赛】圆锥曲线❑√x
2+ y
2+6 x -2 y +10-|x - y +3|=0的离心率是
.
30．【2017 年广东预赛】已知点P在圆C : x
2+( y +2)
2= 1
4
上运动,点Q在曲线y =a x
2(a>0,-1≤x ≤2)上运
动,且|PQ|的最大值为9
2
,则a=
.
31．【2017 年广西预赛】设椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,左焦点为F.若∠ABF =90
∘,
则椭圆的离心率为
.
32．【2017 年浙江预赛】已知动点P在x轴上,M , N分别在圆(x -1)
2+( y -2)
2=1和圆(x -3)
2+( y - 4)
2=3
上,则|PM|+|PN|的最小值为
.
33．【2017 年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中,F1
,F2
分别是双曲线x
2- y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点,过
点F1作圆x
2+ y
2=1的切线,与双曲线左、右两支分别交于点A ,B.若F2B = AB,则b的值是
.
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34．【2017 年新疆预赛】已知直线ax +by =2017与圆x
2+ y
2=100有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整
数.则这样的直线共有
.
35．【2016 年福建预赛】已知直线l 过椭圆C：x
2
2 + y
2=1 的左焦点F 且与椭圆C 交于A、B 两点，O 为坐
标原点.若OA⊥OB，则点O 到直线AB 的距离为________.
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