文档文本内容
专题5 空间向量与立体几何
01 专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02 考情分析·解密高考
03 高频考点·以考定法（四大命题方向+五道高考预测试题，高考必考22-27 分）
命题点1 多面体表面积体积问题
命题点2 多面体内切外接问题
命题点3 空间几何体中角度问题
命题点4 空间几何体中动点问题
04 创新好题·分层训练（ 精选9 道最新名校模拟试题+9 道易错提升）
空间几何体常用以及易错知识点
空间角
向量求法
范围
异面直线所
成的角
设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为v1，v2，则cos θ=|
cos<v1，v2>|=|v1⋅v2|
|v1||v2| (θ 与<v1，v2>相等或互补)
(0，π
2]
直线与平面
所成的角
设直线l 与平面α 所成的角为θ，l 的方向向量为v，平面α 的法向量为
n，则sin θ=|cos<v，n>|=|v ⋅n|
|v||n|
(θ =<v ，n>−π
2 或π
2 −<v ，n>)
(0，π
2]
两个平面所
成的角
设平面α，β 所成的角为θ，平面α，β 的法向量分别为n1，n2，则cos θ=|
cos<n1，n2>|=|n1⋅n2|
|n1||n2| (θ 与<n1，n2>相等或互补)
(0，π
2]
(1)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成的角为0；
(2)两个平面相交会形成四个二面角，二面角的取值范围为[0，π]，一般规定较小的二面角为两个平
面所成的角. 两个平面平行时，它们所成的角为0.
空间距离
向量求法
点到直线的
距离
设直线l 的方向向量为v，点P 为l 外一点，点A 为l 上任一点，则点P 到l 的距离
d=√
|⃗AP|
2−(
| AP
→
⋅v |
|v |
)
2
点到平面的
距离
设n 为平面α 的法向量，点A 为平面α 内任一点，则平面α 外任一点P 到平面α 的
距离d=|⃗AP⋅n|
|n|
两平行线间
的距离
在平行直线m，n 上分别任取一点A，P，设直线m 的方向向量为v，则两平行线
m，n 间的距离d=√
|⃗AP|
2−(
|⃗AP⋅v |
|v |
)
2
(也可转化为点线距求解)
两平行平面
间的距离
在平行平面α，β 上各取一点A，B，设平面α 的法向量为n，则两平行平面α，β
之间的距离d=|⃗AB⋅n|
|n|
(也可转化为点面距求解)
1. 四点共面的充要条件
空间中任一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，
使⃗MP=x⃗MA+y⃗MB，或对空间中任一点O，有⃗OP=⃗OM+x⃗MA+y⃗MB
(或⃗OP=(1-x-y)·⃗OM+x⃗OA+y⃗OB).
2. 定比分点坐标公式
已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)两点，点M 在直线AB 上，⃗AM=λ⃗MB (λ∈R 且λ≠-1)则称点M 为
有向线段⃗AB的定比分点，其坐标为(
x1+ λ x2
1+ λ
，y1+ λ y2
1+ λ
，z1+ λ z2
1+ λ ).
【淘宝店铺：向阳百分百】
空间几何体是高考中必考点，一般以2+1 或者是3+1 形式出现，主要
考查多面体体积以及内切外接问题，必考题型为空间二面角问题
真题多维细目表
考点
考向
考题
立体几何
①
多面体
表面积体积问题
②
多面体
内切外接问题
③空间几何题角度问题
④空间几何体动点问题
2023 新全国Ⅰ卷T12 T14 全国ⅡT9 T14
全国乙T8 全国甲T11
2022 全国甲卷T9 新全国Ⅰ卷T4 全国Ⅱ T11
2021 全国Ⅰ卷T20
2023 新高考Ⅰ卷T12 全国乙卷T16 全国甲卷T15
2022 全国乙卷T9 新高考Ⅰ卷T8 全国ⅡT7
2021Q 全国甲卷T7
2023 新高考Ⅰ卷T18 全国乙卷T19 全国甲卷T18
2022 全国乙卷T18 新高考ⅡT20 新高考Ⅰ卷T19 甲卷
T18
2021 全国乙卷T5 T18 新高考Ⅰ卷T20
2023 新高考ⅠT18
2021 全国甲卷T19
【淘宝店铺：向阳百分百】
命题点1 多面体表面积体积问题
典例01．（2022·全国甲卷）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，
则
，所以
，
又
，则
，
所以
，所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，所以
.故选：C.
典例02 （2023·全国Ⅱ）已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB 为底面直径，
，
，
点C 在底面圆周上，且二面角
为45°，则（ ）．
A．该圆锥的体积为
B．该圆锥的侧面积为
C．
D．
的面积为
【答案】AC
【淘宝店铺：向阳百分百】
【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B 选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D 选项的正确性.
【详解】依题意，
，
，所以
，
A 选项，圆锥的体积为
，A 选项正确；
B 选项，圆锥的侧面积为
，B 选项错误；
C 选项，设
是
的中点，连接
，
则
，所以
是二面角
的平面角，
则
，所以
，故
，则
，C 选项正确；
D 选项，
，所以
，D 选项错误.故选：AC.
典例03．（2023·全国·Ⅰ卷）在正四棱台
中，
，则该棱台的体
积为 ．
【答案】
/
【详解】如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
【淘宝店铺：向阳百分百】
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
.
故答案为：
.
典例04．（2023·全国乙卷）如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
(1)求证：
//平面
；
(2)若
，求三棱锥
的体积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）连接
，设
，则
，
，
，
则
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
解得
，则
为
的中点，由
分别为
的中点，
于是
，即
，
则四边形
为平行四边形，
，又
平面
平面
，
所以
平面
.
（2）过
作
垂直
的延长线交于点
，
因为
是
中点，所以
，
在
中，
，所以
，
因为
，所以
，又
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，又
，
平面
，所以
平面
，
即三棱锥
的高为
，因为
，所以
，
所以
，
又
，
所以
.
命题点2 多面体内切外接问题
典例01 （2022·全国Ⅰ卷）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为
，所以球的半径
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为
，高为，
则
，
,所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，
,所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
当且仅当
取到，
【淘宝店铺：向阳百分百】
当
时，得
，则
当
时，球心在正四棱锥高线上，此时
，
，正四棱锥体积
，故该正四棱锥体积的取值范围是
典例02（2023·全国Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚
度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
【答案】ABD
【详解】对于选项A：因为
，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为
，且
，
所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为
，且
，
所以不能够被整体放入正方体内，故C 不正确；
对于选项D：因为
，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过
的中点
作
，设
，
可知
，则
，
即
，解得
，且
，即
，故以
为轴可能对称放置底
面直径为
圆柱，
【淘宝店铺：向阳百分百】
若底面直径为
的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心
，与正方体的下底面的切点
为
，可知：
，则
，
即
，解得
，根据对称性可知圆柱的高为
，
所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；故选：ABD.
典例03．（2023·全国乙卷）已知点
均在半径为2 的球面上，
是边长为3 的等边三角形，
平面
，则
．
【答案】2
【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.
【详解】如图，将三棱锥
转化为正三棱柱
，
设
的外接圆圆心为
，半径为，则
，可得
，
设三棱锥
的外接球球心为
，连接
，则
，
因为
，即
，解得
.故答案为：2.
【淘宝店铺：向阳百分百】
【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法
（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，
把空间问题转化为平面问题求解；
（2）若球面上四点P、A、B、C 构成的三条线段PA、PB、PC 两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一
般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解；
（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；
（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；
（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的
位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．
典例04 （2023·全国甲卷）在正方体
中，E，F 分别为AB，
的中点，以EF 为直径
的球的球面与该正方体的棱共有 个公共点．
【答案】12 【详解】不妨设正方体棱长为2，
中点为
，取
，
中点
，侧面
的中心
为
，连接
，如图，
由题意可知，
为球心，在正方体中，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
即
，则球心
到
的距离为
，
所以球
与棱
相切，球面与棱
只有1 个交点，
同理，根据正方体的对称性知，其余各棱和球面也只有1 个交点，
所以以EF 为直径的球面与正方体棱的交点总数为12.故答案为：12
命题点3 空间几何体中角度问题
典例01（线面角问题）
（2022·全国甲卷）在长方体
中，已知
与平面
和平面
所成的角均为
，
则（ ）
A．
B．AB 与平面
所成的角为
C．
D．
与平面
所成的角为
【答案】D
【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出．
【详解】如图所示：
不妨设
，依题以及长方体的结构特征可知，
与平面
所成角为
，
与平面
所成角为
，所以
，即
，
，解得
．
对于A，
，
，
，A 错误；
【淘宝店铺：向阳百分百】
对于B，过
作
于
，易知
平面
，所以
与平面
所成角为
，因为
，所以
，B 错误；
对于C，
，
，
，C 错误；
对于D，
与平面
所成角为
，
，而
，所以
．D 正确．
故选：D．
典例02（线面角、线线角问题）
（2022·全国Ⅰ卷）已知正方体
，则（ ）
A．直线
与
所成的角为
B．直线
与
所成的角为
C．直线
与平面
所成的角为
D．直线
与平面ABCD 所成的角为
【答案】ABD
【详解】如图，连接
、
，因为
，所以直线
与
所成的角即为直线
与
所成
的角，
因为四边形
为正方形，则
，故直线
与
所成的角为
，A 正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】
连接
，因为
平面
，
平面
，则
，
因为
，
，所以
平面
，
又
平面
，所以
，故B 正确；连接
，设
，连接
，
因为
平面
A1B1C1D1，
平面
A1B1C1D1，则
，
因为
，
，所以
平面
，所以
为直线
与平面
所成的
角，设正方体棱长为，则
，
，
，
所以，直线
与平面
所成的角为
，故C 错误；
因为
平面
，所以
为直线
与平面
所成的角，易得
，故D 正确.故
选：ABD
典例03（线面角解答题）
3．（2023·全国甲卷）如图，在三棱柱
中，
底面ABC，
，
到平面
的距离为1．
【淘宝店铺：向阳百分百】
(1)证明：
；
(2)已知
与
的距离为2，求
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图，
底面
，
面
，
，又
，
平面
，
,
平面ACC1A1，又
平面
，
平面
平面
，
过
作
交
于
，又平面
平面
，
平面
，
平面
到平面
的距离为1，
，
在
中，
，设
，则
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
为直角三角形，且
，
，
，
，
，解得
，
，
（2）
，
，过B 作
，交
于D，则
为
中点，
由直线
与
距离为2，所以
，
，
，
在
，
，延长
，使
，连接
，
由
知四边形
为平行四边形，
，
平面
，又
平面
，
则在
中，
，
，
在
中，
，
，
,又
到平面
距离也为1，
所以
与平面
所成角的正弦值为
.
典例04（二面角问题）
（2023·全国·Ⅱ卷）如图，三棱锥
中，
，
，
，E 为
BC 的中点．
【淘宝店铺：向阳百分百】
(1)证明：
；
(2)点F 满足
，求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【详解】（1）连接
，因为E 为BC 中点，
，所以
①，
因为
，
，所以
与
均为等边三角形，
，从而
②，由①②，
，
平面
，
所以，
平面
，而
平面
，所以
．
（2）不妨设
，
，
．
，
，又
，
平面
平面
．
以点
为原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
设
，
设平面
与平面
的一个法向量分别为
，
二面角
平面角为
,而
，
因为
，所以
，即有
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
，取
，所以
；
，取
，所以
，
所以，
，从而
．
所以二面角
的正弦值为
．
命题点4 空间几何体中动点问题
典例01（2023·全国·统考Ⅰ卷）如图，在正四棱柱
中，
．点
分别在棱
,
上，
．
(1)证明：
；
(2)点
在棱
上，当二面角
为
时，求
．
【答案】(1)证明见解析；(2)1
【详解】（1）以
为坐标原点，
所在直线为
轴建立空间
直角坐标系，如图，
则
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
，
，
又
不在同一条直线上，
.
（2）设
，
则
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，得
，
，
设平面
的法向量
，则
，
令
，得
，
，
，
化简可得，
，解得
或
，
或
，
.
典例02．（2021·全国·甲卷）已知直三棱柱
中，侧面
为正方形，
，E，
F 分别为
和
的中点，D 为棱
上的点．
【淘宝店铺：向阳百分百】
（1）证明：
；
（2）当
为何值时，面
与面
所成的二面角的正弦值最小?
【答案】（1）证明见解析；（2）
【详解】（1）[方法一]：几何法因为
，所以
．
又因为
，
，所以
平面
．又因为
，构造正方体
，如图所示，
过E 作
的平行线分别与
交于其中点
，连接
，
因为E，F 分别为
和
的中点，所以
是BC 的中点，
易证
，则
．
又因为
，所以
．
又因为
，所以
平面
．
又因为
平面
，所以
．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱
是直三棱柱，
底面
，
，
，
，又
，
平面
．所以
两两垂直．
【淘宝店铺：向阳百分百】
以
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，如图．
，
．
由题设
（
）．因为
，
所以
，所以
．
[方法三]：因为
，
，所以
，故
，
，所以
，所以
．
（2）[方法一]【最优解】：向量法
设平面
的法向量为
，因为
，
所以
，即
．令
，则
因为平面
的法向量为
，设平面
与平面
的二面角的平面角为
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
则
．当
时，
取最小值为
，
此时
取最大值为
．所以
，此时
．
[方法二] ：几何法
如图所示，延长
交
的延长线于点S，联结
交
于点T，则平面
平面
．
作
，垂足为H，因为
平面
，联结
，则
为平面
与平面
所成
二面角的平面角．设
，过
作
交
于点G．
由
得
．又
，即
，所以
．
又
，即
，所以
．
所以
．
则
，
所以，当
时，
．
【淘宝店铺：向阳百分百】
，
，
当
，即
，面
与面
所成的二面角的正弦值最小，最小值为
．
预计2024 年高考中立体几何也会是以小题加解答题形式出现，小题将是以空间几何
体体内切外接球，线面角，以及体积为主，解答题则是以线面垂直以及二面角为主。
1．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百
姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台
，上下底
面的中心分别为
和
，若
，
，则正四棱台
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正四棱台性质求出侧棱长，继而求得高，根据棱台的体积公式，即可求得答案.
【详解】因为
是正四棱台，
，
，
侧面以及对角面为等腰梯形，故
，
，
，所以
，
所以该四棱台的体积为
，
故选：B.
【淘宝店铺：向阳百分百】
2．在梯形
中，
，将
沿
折起，连接
，得到三棱锥
，则三棱锥
体积最大时，其外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】如图所示，过点
作
，由余弦定理得
，再由平面
平面
时，三棱锥
体积最大，记
为外接球球心，半径为
，其中
的外接圆的圆心为
，结合球的截面的性
质，求得外接球的半径
，结合球的表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，过点
作
，垂足为
，
因为
为等腰梯形，且
，所以
，且
，
由余弦定理得
，可得
，
因为
，所以
，
当平面
平面
时，三棱锥
体积最大，此时
平面
，
记
为外接球球心，半径为
，其中
的外接圆的圆心为
，
连接
，则
平面
，所以
，
取
的中点
，因为
，且
，所以
到平面
的距离
，
又因为
的外接圆半径
，所以
，
所以球
的表面积为
.
故选：D.
【淘宝店铺：向阳百分百】
二、多选题
3．在正方体
中，点P 满足
，则（ ）
A．对于任意的正实数
，三棱锥
的体积始终不变
B．对于任意的正实数
，都有
平面
C．存在正实数
，使得异面直线
与
所成的角为
D．存在正实数
，使得直线
与平面
所成的角为
【答案】AB
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、三棱锥体积的性质、线面平行的性质逐一判断即
可.
【详解】A：因为
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
，所以
在线段
（不包括端点）上，
因此对于任意的正实数
，点
到平面
的距离不变，而
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
所以对于任意的正实数
，三棱锥
的体积始终不变，因此本选项正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
B：设平面
的法向量为
，
，
所以有
，
因为
，所以
，而
平面
，
所以
平面
，因此本选项正确；
C：假设存在正实数
，使得异面直线
与
所成的角为
，则有
解得：
，
所以不存在正实数
，使得异面直线
与
所成的角为
，因此本选项不正确；
D：假设存在正实数
，使得直线
与平面
所成的角为
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
设平面
的法向量为
，
所以有
，
，
解得
，所以假设不成立，因此不存在正实数
，使得直线
与平面
所成的角为
，
所以本选项不正确，故选：AB
4．如图，在四棱锥
中，
底面
，四边形
是直角梯形，
，
，点
在棱
上.
(1)证明：平面
平面
；
(2)当
时，求二面角
的余弦值.
答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）因为
底面
，
平面
，所以
.
四边形
是直角梯形，
，
，
因为
，所以
.
所以
，所以
.
【淘宝店铺：向阳百分百】
又因为
，
平面
，所以
平面
.
又
平面
，所以平面
平面
.
（2）解法一：
以点
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
.
设点
的坐标为
，因为
，所以
，
即
，所以
.
所以
.
设平面
的一个法向量为
，则
，
取
，则
，得
.
又因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
.
所以，二面角
的余弦值为
.
【淘宝店铺：向阳百分百】
解法二：
取
的中点
，连接
，以点
为原点，
所在直线分别为
轴，
轴，轴，建立如图所示
的空间直角坐标系，
则
.
设点
的坐标为
，因为
，所以
，
即
，所以
.
所以
.
设平面
的一个法向量为
，则
.
取
，则
，则
.
又因为
平面
，所以平面
的一个法向量为
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
.
所以二面角
的余弦值为
【淘宝店铺：向阳百分百】
5．如图，在四棱锥
中，
，
．
(1)求证：平面
平面
；
(2)若线段
上存在点
，满足
，且平面
与平面
的夹角的余弦值为
，求实数
的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图：
因为
，
，所以
为等边三角形，
，
又
，所以
，又
，
所以
.
因为
，所以
为直角三角形，
.
又
，
，
为平面
内的两条相交直线，
所以
平面
，
平面
，所以，平面
平面
.
（2）取
中点
，
中点
，因为
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，又
，
故以
为原点，建立如图空间直角坐标系，
【淘宝店铺：向阳百分百】
所以
，
，
，
，
，
.
设
，因为
，
解得
，所以
.
设平面
的法向量为
，
则
，取
；
设平面
的法向量为
，
则
，取
.
那么
，
，
.
由
，又
，所以
.
【点睛】关键点睛：根据
，和点
、
的坐标，求
点坐标是本题的一个关键.
【淘宝店铺：向阳百分百】
（★精选9 道最新名校模拟考试题+9 道能力高频考点提升题）
一、单选题
1．（2024 上·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）盖碗是由茶碗、茶盖、茶船三件套组成，盖碗又称
“三才碗”，蕴含了古代哲人讲的“天盖之，地栽之，人育之”的道理．如图是乾隆时期的山水人物方盖
碗的茶盖和茶碗，近似看作两个正四棱台的组合体，其中茶碗上底面的边长为
﹐下底面边长为
，
高为
，则
茶水至少可以喝（不足一碗算一碗）（ ）
A．7 碗
B．8 碗
C．9 碗
D．10 碗
【答案】C
【分析】根据题意，由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果.
【详解】由条件可得，茶碗的上底面面积
，
茶碗的下底面面积
，茶碗高
，
则茶碗的体积
，
所以
，即
茶水至少可以喝9 碗.
故选：C
2．（2024 上·四川达州·高三统考期末）球面上两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆（大圆
就是经过球心的平面截球面所得的圆）在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做这两点间的球
A·新题速递
【淘宝店铺：向阳百分百】
面距离．已知长方体
的所有顶点都在同一个球面上，且
，
，则
，
D 两点间的球面距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用球面距离的概念及弧长公式可得答案.
【详解】设球的半径为
,球心
为由题意
，
，
所以
，
所以在
中，由于
，所以
，
所以
，D 两点间的球面距离为
.
故选：A
3．（2024·安徽·模拟预测）在正方体
中，E，F 分别为棱
，
的中点，过直线EF
的平面截该正方体外接球所得的截面面积的最小值为，最大值为，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可求得正方体的外接球球心位置，易知当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外
接球的半径
，当截面与OP 垂直时，截面面积最小；分别求出对应的半径大小即可得出结果.
【详解】如图，正方体
的外接球球心在其中心点
处，设该正方体的棱长为
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
则外接球的半径
，
要使过直线EF 的平面截该球得到的截面面积最小，则截面圆的圆心为线段EF 的中点
，
连接OE，OF，OP，则
，
，
所以
，
此时截面圆的半径
．
显然当截面面积最大时，截面圆的半径为该正方体外接球的半径
；
所以
．
故选：D．
4．（2024 上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）过正四棱锥
的高
的中点
作平行于底面
的截面A1B1C1D1，若四棱锥
与四棱台
的表面积之比为
，
则直线
与底面
所成角的余弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【淘宝店铺：向阳百分百】
【分析】根据题意知
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，设正方形
的边长为
，
，然后表示四棱锥
与四棱台
的表面积，由表面积之比为
，得到
，
的关系，确定线面角，求解即可.
【详解】
依题意过正四棱锥
的高
的中点作平行于底面
的截面
A1B1C1D1，
则
，
，
，
分别为
，
，
，
的中点，
设正方形
的边长为
，
，
所以正方形
的面积为
，正方形A1B1C1D1的面积为
，
正四棱锥的侧面积为
，
四棱台
的侧面积为
，
所以正四棱锥
的表面积为
，
四棱台
的表面积为
，
所以
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
解得
，
由
平面
，所以
为直线
与底面
所成角，
所以
，又
，
，
所以
.
故选：
.
二、多选题
5．（2024 上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC，
，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P-ABC 表面上运动，且
，已知
在弧度制下锐角
，
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D 作球的截面，截面的面积最小为
B．过点D 作球的截面，截面的面积最大为
C．点Q 的轨迹长为
D．点Q 的轨迹长为
【答案】ABD
【分析】对于A 项和B 项，先求出三棱锥外接球的半径，再根据图形判断经过球心的截面最大，与半径垂
直的截面最小即得，对于C 项和D 项，则先要通过计算找到角
，再根据轨迹特征确定轨迹形状，计算
即得.
【详解】
对于选项A,如图，三棱锥P-ABC 的外接球O 即为以AB，AC，AP 为邻边的长方体的外接球，
【淘宝店铺：向阳百分百】
∴
，∴
，取BC 的中点
，则
为△ABC 的
外接圆圆心，且
平面ABC，当OD 与过点D 的截面垂直时，截面的面积最小，
∵
，此时截面圆的半径为
，
∴最小截面面积为
，故A 项正确；
对于选项B，当截面过球心时，截面圆的面积最大为
，故B 项正确；
对于选项C 和D，由条件可得
故
即
，易得
，
则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4 为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为
，两段弧
圆心角为
，点Q 的轨迹长即为
，故C 项错误，D 项正确．
故选：ABD．
6．（2024·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）若点P 是棱长为2 的正方体
表面上
的动点，点M 是棱
的中点，则（ ）
A．当点P 在底面ABCD 内运动时，三棱锥
的体积为定值
B．当
时，线段AP 长度的最大值为3
C．当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，点P 的轨迹长度为
D．直线DM 被正方体
的外接球所截得的线段的长度为
【答案】ABD
【分析】由
平面
的距离不变，底面积不变得体积不变判断A；分别取
中点
，证明
点轨迹是矩形
（除
点），求出
的最大值判断B；连接
，在正方形
A1B1C1D1内以
为圆
【淘宝店铺：向阳百分百】
心，
为半径作圆弧
，得出
点轨迹就是曲边三角形
（除去
点），求出其周长判断C；取
为正方体对角线交点，正方体外接球球心，
是正方形
交点，球
的过面
的截面圆圆心，
作
于
，由截面圆性质，弦长为
（
是球半径），计算后判断D．
【详解】点P 在底面ABCD 内运动时，
不变，面积不变，
到平面
的距离不变，即不变，
因此体积不变，A 正确；
分别取
中点
，连接
，首先
与
平行且相等，
与
平行且相等，因此
与
平行且相等，
是平行四边形，在同一平面内，
正方形
，易得
，
，所以
，
所以
（
为
的交点），
所以
，
又
平面
，
平面
，所以
，同理
，
，
平面
，所以
平面
，
而
，则
平面
，所以
点轨迹是矩形
（除
点），
是矩形，当
与
重合
时，
最大，且最大值为
，B 正确；
【淘宝店铺：向阳百分百】
当直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°时，
连接
，在正方形A1B1C1D1内以
为圆心，
为半径作圆弧
，易证
点轨迹就是曲边三角形
（除去
点），
事实上，在平面
内点
，
在平面
内射影是
，
，当
不与
重合时，
，
，
曲边三角形
的周长是
，C 错；
如图，
是正方体对角线交点即正方体外接球球心，
是正方形
交点即球
的过面
的截面
圆圆心，作
于
，
，
在正方形
中，作
于
，正方形边长为2，则
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
，
，
公用，
，
，所以
，
所以由截面圆性质
，
球
的半径为
，
直线
被球
截得的线段长为
，D 正确．
故选：ABD．
三、填空题
7．（2024 上·山东德州·高三德州市第一中学校考阶段练习）葫芦是一种爬藤植物，在我国传统文化中，其
枝密集繁茂，象征着儿孙满堂、同气连枝；其音近于“福禄”，寓意着长寿多福、事业发达；其果口小肚
大，代表着心胸开阔、和谐美满．如图，一个葫芦的果实可以近似看做两球相交所得的几何体
，其中
的下半部分是半径为
的球
的一部分，
的上半部分是半径为3 的球
的一部分，且
，则过
直线
的平面截
所得截面的面积为 ．
【淘宝店铺：向阳百分百】
【答案】
【分析】设N 是两球面的一个公共点，且位于截面上，通过条件提供的数据可求得
，进
而利用扇形的面积公式可得截面的面积.
【详解】设N 是两球面的一个公共点，且位于截面上，
由
，得
，
故
，从而
．
所以截面面积为
．
故答案为：
四、解答题
8．（2024·全国·高三专题练习）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形
与
均为直角梯形，
平面
，
．
【淘宝店铺：向阳百分百】
(1)已知点G 为AF 上一点，且
，求证：BG 与平面DCE 不平行；
(2)已知直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为
，求AF 的长及四棱锥D－ABEF 的体
【答案】(1)证明见解析(2)AF 的长为4；
．
【详解】（1）证明：因为
平面ABEF，AB，
平面ABEF，
所以
，
，又
，以
为坐标原点，
分别为
轴，建立空间直角坐
标系，则
、
、
、
、
，
所以
，
，
，
设平面DCE 的法向量为
，则
，
令
，则
，所以
，
因为
，且不存在
使得
与
垂直，
所以BG 与平面DCE 不平行；
【淘宝店铺：向阳百分百】
（2）设
（
且
），则
，所以
，
∵直线BF 与平面DCE 所成角的正弦值为
，
∴
，
化简得
，解得
或
（舍去）；故
．
此时梯形ABEF 的面积
，故
．
9．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
，
，四边形
是菱
形，
，
是棱
上的动点，且
.
(1)证明：
平面
.
(2)是否存在实数
，使得平面
与平面
所成锐二面角的余弦值是
？若存在，求出
的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)存在实数
，理由见解析
【详解】（1）因为四边形
是菱形，所以
.
因为
，
，
平面
，且
，所以
平面
.
因为
平面
，所以
.
因为
，所以
，即
.
因为
，
平面
，且
，所以
平面
.
（2）取棱
的中点
，连接
，因为四边形
是菱形，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
所以
为等边三角形，故
⊥
，
又
平面
，
平面
，
所以
，
，故
，
，
两两垂直，
故以
为原点，分别以
，
，
的方向为
，
，轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设
，则
，
，
，
，
故
，
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，
令
，得
.
平面
的一个法向量为
，设面
与面
所成的锐二面角为
，
则
，
整理得
，解得
或
（舍去）.
故存在实数
，使得面
与面
所成锐二面角的余弦值是
.
【淘宝店铺：向阳百分百】
一、单选题 一、单选题
1．（2024·河北联考模拟）如图，西周琱生簋（guǐ）是贵族琱生为其祖先制作的宗庙祭祀时使用的青铜器．
该青铜器可看成由上、下两部分组成，其中上面的部分可看作圆台，下面的部分可看作圆柱，且圆台和圆
柱的高之比约为
，圆台的上底面与圆柱的底面完全重合，圆台上、下底面直径之比约为
，则圆台
与圆柱的体积之比约为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用圆台与圆柱的体积公式进行计算即可.
【详解】依题意，令圆台上底面半径为4，下底面半径为5，高为3，圆柱的高为5，
则圆台的体积
圆柱的体积
，故
，
故选：B
2．（2024·云南·校联考模拟预测）如图，在直三棱柱
中，
面
，
，
则直线
与直线
夹角的余弦值为（ ）
B·易错提升
【淘宝店铺：向阳百分百】
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】以
为原点，
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，设
，
求出
，
，利用向量的夹角公式可得答案.
【详解】在直三棱柱
中，
平面
，
平面
，
所以
，
，
平面
，
平面
，所以
，
所以
互相垂直，
以
为原点，分别以
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，
设
，
则
，
可得
，
，
所以
.
所以直线
与直线
夹角的余弦值为
.
故选：C.
【淘宝店铺：向阳百分百】
3．（2024·河南·高三模拟）设
为两个不同的平面，
为三条不同的直线，则下列命题正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据线线、线面和面面的基本关系依次判断选项即可.
【详解】A：若
，则
或a 与b 互为异面直线，故A 错误；
B：若
，则
或a 与b 互为异面直线，故B 错误；
C：若
，则
，故C 正确；
D：若
，则
或
或a 与b 互为异面直线或a 与b 相交，故D 错误.
故选：C
二、多选题
4．（2024 上·河北邯郸·高三磁县第一中学）勒洛三角形也被称为定宽曲线，勒洛三角形的立体版就是如图
所示的立体图形，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，它是以正四面体的四
个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分组成的，因此它能像球一样来回滚动.这种立
体图形称为勒洛四面体，若图中勒洛四面体的四个顶点分别为P、A、B、C，任意两个顶点之间的距离为
1，则下列说法正确的是（ ）
【淘宝店铺：向阳百分百】
A．图中所示勒洛四面体表面上任意两点间距离的最大值为1
B．图中所示勒洛四面体的内切球的表面积为
C．平面
截此勒洛四面体所得截面的面积为
D．图中所示的勒洛四面体的体积是
【答案】AB
【分析】根据表面上任意两点间距离的最大值即为其内接四面体
的棱长1，可判定A 正确；根据点
E 为该球与勒洛四面体的一个切点，由A，O，E 三点共线，求得
，求得内切球的表面积，可判
定B 正确；由截面形状为三个半径为1，圆心角为60°的扇形面积减去两个边长为1 的正三角形的面积可判
定C 错误；求得正四面体
的体积
，其外接球的体积
，可判定D 错误.
【详解】对于A 中，勒洛四面体能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，
所以其表面上任意两点间距离的最大值，即为其内接四面体
的棱长1，所以A 正确；
对于B 中，勒洛四面体的内切球与勒洛四面体的弧面相切，如图所示，
其中点E 为该球与勒洛四面体的一个切点，O 为该球的球心，
则该球的球心O 为正四面体
的中心，半径为OE，连接AE，
由A，O，E 三点共线，且
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
因此
，内切球的表面积为
，故B 正确；
对于C 中，如图所示，截面形状为三个半径为1，圆心角为60°的扇形面积减去两个边长为1 的正三角形的
面积，则
，所以C 错误；
对于D 中，勒洛四面体的体积介于正四面体
的体积和正四面体
的外接球的体积之间，正四面
体
的体积
，其外接球的体积
，所以D 错误.
故选：AB.
5．（2024 上·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知三棱锥P-ABC 内接于球O，PA⊥平面ABC，
，AB⊥AC，
，点D 为AB 的中点，点Q 在三棱锥P-ABC 表面上运动，且
，已知
在弧度制下锐角
，
满足：
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．过点D 作球的截面，截面的面积最小为
B．过点D 作球的截面，截面的面积最大为
【淘宝店铺：向阳百分百】
C．点Q 的轨迹长为
D．点Q 的轨迹长为
【答案】ABD
【详解】
对于选项A,如图，三棱锥P-ABC 的外接球O 即为以AB，AC，AP 为邻边的长方体的外接球，
∴
，∴
，取BC 的中点
，则
为△ABC 的
外接圆圆心，且
平面ABC，当OD 与过点D 的截面垂直时，截面的面积最小，
∵
，此时截面圆的半径为
，
∴最小截面面积为
，故A 项正确；
对于选项B，当截面过球心时，截面圆的面积最大为
，故B 项正确；
对于选项C 和D，由条件可得
故
即
，易得
，
则点Q 的轨迹分别是以点P 为圆心，4 为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为
，两段弧
圆心角为
，点Q 的轨迹长即为
，故C 项错误，D 项正确．
故选：ABD．
三、填空题
6．（2024·吉林·统考二模）足尖虽未遍及美景，浪漫却从未停止生长. 清风牵动裙摆，处处彰显着几何的
【淘宝店铺：向阳百分百】
趣味. 下面的几何图形好似平铺的一件裙装，①②③⑤是全等的等腰梯形，④⑥是正方形，其中
，若沿图中的虚线折起，围成一个封闭几何体
，则
的体积为 ;
的
外接球的表面积为 .
【答案】
【分析】由题意可知几何体
为正四棱台，结合正四棱台求体积；根据正四棱台以及球的结构特称求外接
球的半径，进而可得表面积.
【详解】由题意可知几何体
为正四棱台，其底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
正四棱台高为
，可得体积为
；
设上、下底面中心分别为
，外接球的球心为
，半径为
，
可得
，解得
，
所以
的外接球的表面积为
；故答案为：
；
.
四、解答题
【淘宝店铺：向阳百分百】
7．（2024 上·江苏苏州·高三校考期末）如图所示，四边形ABCD 为圆柱ST 的轴截面，点Р 为圆弧BC 上
一点（点P 异于B，C）．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAC；
(2)若
，
（
），且二面角
的余弦值为
，求
的值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）∵ P 为圆弧BC 上一点，BC 为圆S 直径，∴
，
∵在圆柱ST 中，
平面BCP，
平面BCP，∴
，
∵
，
平面PAB，
平面PAB，
∴
平面PAB，
∵
平面PAC，
∴平面
平面PAC．
（2）以点
为坐标原点，
、
所在直线分别为
轴、轴，
在平面BCP 内以过点
且垂直于
的直线为
轴、建立空间直角坐标系，如图所示：
因为
，
则
，
，
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
所以
，
，
，
，即
设
，由
得：
，
即
，∴
，
，
设平面PBM 的一个法向量
，
∴
，令
，得
.
∵
轴
平面BMC，
∴取平面BMC 的一个法向量
，
∴
，
解得：
．
8．（2024·江西赣州·南康中学校联考模拟预测）如图，在四棱锥
中，
为
中点，平面
平面
，
，
.
(1)求证：
平面
；
(2)在棱
上是否存在点
，使得平面
与平面
夹角的余弦值为
？若存在，求出点
的位置；
若不存在，说明理由.
【淘宝店铺：向阳百分百】
【答案】(1)证明见解析(2)存在，
为
中点
【详解】（1）取
中点
，连接
，
因为
分别为
中点，则
，
即四边形
为平行四边形，则
，
又
平面
平面
，则
平面
；
（2）存在点
，证明如下：
取
中点
，连接
，
因为
，则
，
又平面
平面
，平面
平面
平面
，
则
平面
，
过点
作
平行线，交
于
，
因为
平面
，
则
，
过点
作
的平行线
，
则以
为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
注意到
，则
，故
，
则
，
设
，则
，
设
为平面
的一个法向量，
【淘宝店铺：向阳百分百】
则
，即
，
令
，则
，则平面
的一个法向量
，
设
为平面
的一个法向量，
则
，即
，
令
，则
，
则平面
的一个法向量
，
因为二面角
余弦值为
，
则
，
解得
，
故当
为
中点时，满足题意.
9．（2024·四川南充·统考一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
．
【淘宝店铺：向阳百分百】
(1)求证：
平面
；
(2)若
，二面角
的正切值为
，求直线
与平面
所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）如图，取
中点
，连接
，因为
，
，
所以
，且
，
又
平面
，
平面
，所以
，
又
面
，所以
，又
，所以四边形
是平行四边形，得到
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）如图，取
中点
，连接
，
，则
，
因为
平面
，由（1）知
，所以
平面
，
又
，所以
，过
作
，建立如图所示的空间直角坐标系
，
因为
平面
，
面
，所以
，又
，
，所以
面
，
又
面
，所以
,
故
为二面角
的平面角，所以
，
又
，所以
，又
，所以
，
所以
，
【淘宝店铺：向阳百分百】
则
，
设平面
的一个法向量为
，
则由
得到，
，取
，所以
，
设直线
与平面
所成角为
，则
，
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
.
