1
专题检测四 概率与统计
一、选择题:本题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的.
1.(2022 天津,4)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单
位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、
第二组、…、第五组,如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人,
第三组中没有疗效的有6 人,则第三组中有疗效的人数为( )
A.8
B.12
C.16
D.18
2.(2023 江苏南京、盐城一模)某种品牌手机的电池使用寿命X(单位:年)服从正态分布N(4,σ2)(σ>0),且
使用寿命不少于2 年的概率为0.9,则该品牌手机电池至少使用6 年的概率为( )
A.0.9
B.0.7
C.0.3
D.0.1
3.(2023 湖南郴州三模)篮球队的5 名队员进行传球训练,每位队员把球传给其他4 人的概率相等,由甲
开始传球,则前3 次传球中,乙恰好有1 次接到球的概率为( )
A.15
64
B. 9
32
C.27
64
D.33
64
4.(2023 广东燕博园联考)某次投篮比赛中,甲、乙两校都派出了10 名运动员参加比赛,甲校运动员的
得分分别为8,6,7,7,8,10,9,8,7,8,这些成绩可用图1 表示,乙校运动员的得分可用图2 表示.
图1
图2
则以下结论错误的是( )
A.甲校运动员得分的中位数为8
B.甲校运动员得分的平均数小于8
C.乙校运动员得分的75%分位数为10
D.甲校运动员得分的标准差大于乙校运动员得分的标准差
5.(2023 江苏苏锡常镇一模)现有两位游客慕名来江苏旅游,他们分别从太湖鼋头渚、苏州拙政园、镇
江金山寺、中华恐龙园、南京夫子庙、扬州瘦西湖6 个景点中随机选择1 个景点游玩.记事件A 为
“两位游客中至少有一人选择太湖鼋头渚”,事件B 为“两位游客选择的景点不同”,则P(B|A)=(
)
A.7
9
B.8
9
C. 9
11
D.10
11
6.(2023 福建漳州二模)某班举行联欢晚会,原定的5 个学生节目已排成节目单,开演前又临时增加了
两个教师节目,如果将这两个教师节目插入到原节目单中,则这两个教师节目相邻的概率为( )
A.1
6
B.1
7
C.1
3
D.2
7
2
7.(2023 湖南长郡中学一模)为调查某地区中学生每天睡眠时间,釆用分层随机抽样的方法,现抽取初
中生800 人,其每天睡眠时间均值为9 小时,方差为1,抽取高中生1 200 人,其每天睡眠时间均值为8
小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为( )
A.0.94
B.0.96
C.0.75
D.0.78
8.(2023 广东新高考开学调研)若甲盒中有2 个白球、2 个红球、1 个黑球,乙盒中有x(x∈N)个白球、
3 个红球、2 个黑球,这些球除颜色外完全相同.现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随
机取出一个球,若从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同的概率大于等于5
12,则x 的最大值
为( )
A.4
B.5
C.6
D.7
二、选择题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选
对的得5 分,部分选对的得2 分,有选错的得0 分.
9.某学校共有2 000 名男生,为了解这部分学生的身体发育情况,学校抽查了100 名男生的体重情况.
根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示,则( )
A.样本的众数为67.5
B.样本的80%分位数为72.5
C.样本的平均数为66
D.该校男生中低于60 千克的学生大约为300 人
10.(2023 山东泰安二模)已知随机变量X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,随机变量Y~B(3,p),若E(Y)=E(X),则(
)
A.μ=2
B.D(X)=2σ2
C.p=2
3
D.D(3Y)=2
11.(2023 山东东营模拟)袋中有除颜色外完全相同的8 个小球,其中5 个红球、3 个蓝球.每次从袋子
中随机摸出1 个球,摸出的球不再放回.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A1,“第一次摸球时摸到
蓝球”为事件A2;“第二次摸球时摸到红球”为事件B1,“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B2,则下列说
法正确的是( )
A.P(B1)=5
8
B.P(A2B2)= 5
28
C.P(B1|A1)=4
7
D.P(B1|A2)+P(B2|A2)=1
12.(2023 海南海口模拟)已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口,且他在甲、乙两个路口
遇到红灯的概率分别为1
3,p(0<p<1).记小李在星期一到星期五这5 天中,上班路上在甲路口遇到红灯
的天数为X,在甲、乙这两个路口都遇到红灯的天数为Y,则( )
A.P(X=4)= 5
243
B.D(X)=10
9
3
C.小李星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率的最大值为216
625
D.当p=2
5时,E(Y)=10
3
三、填空题:本题共4 小题,每小题5 分,共20 分.
13.(2022 全国乙,理13)从甲、乙等5 名同学中随机选3 名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率
为 .
14.(2023 江苏连云港模拟)为了研究高三某班女生的身高x(单位:cm)与体重y(单位:kg)的关系,从该班
随机抽取10 名女生,根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系,设其经验回归方程
为y
^
=b
^
x+a
^
.已知∑
i=1
10
xi=1 600,∑
i=1
10
yi=460,b
^
=0.85.该班某女生的身高为170 cm,据此估计其体重为
kg.
15.(2023 山东济宁二模)在排球比赛的小组循环赛中,每场比赛采用五局三胜制.甲、乙两队小组赛中
相见,积分规则如下:以3∶0 或3∶1 获胜的球队积3 分,落败的球队积0 分;以3∶2 获胜的球队积2 分,
落败的球队积1 分.若甲队每局比赛获胜的概率为0.6,则在甲队本场比赛所得积分为3 分的条件下,
甲队前两局比赛都获胜的概率是 .(用分数表示)
16.(2022 浙江,15)现有7 张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7 张卡片中随机抽取3 张,记所抽取
卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)= ,E(ξ)= .
四、解答题:本题共6 小题,共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10 分)某工厂车间有6 台相同型号的机器,各台机器相互独立工作,工作时发生故障的概率都是1
4 ,
且一台机器的故障能由一个维修工处理.已知此厂共有甲、乙、丙3 名维修工,现有两种配备方案.方
案一:由甲、乙、丙三人维护,每人负责2 台机器.方案二:由甲、乙两人共同维护6 台机器.
(1)对于方案一,设X 为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数,求X 的分布列与数学期望E(X);
(2)在两种方案下,分别计算机器发生故障时不能得到及时维修的概率,并以此为依据来判断,哪种方案
能使工厂的生产效率更高.
18.(12 分)(2022 新高考Ⅱ,19)在某地区进行某种疾病调查,随机调查了100 位这种疾病患者的年龄,得
到如下样本数据频率分布直方图.
(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间[20,70)的概率;
(3)已知该地区这种疾病患者的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间[40,50)的人口占该地区总人口数
的16%,从该地区任选1 人,若此人的年龄位于区间[40,50),求此人患这种疾病的概率(精确到0.000 1).
4
19.(12 分)(2023 广东深圳二模)某俱乐部为了解年轻人爱好飞盘运动是否与性别有关联,对该地区的
年轻人进行了简单随机抽样,得到如下2×2 列联表:
单位:人
性别
飞盘运动
合计
不爱好
爱好
男
6
16
22
女
4
24
28
合计
10
40
50
(1)在上述爱好飞盘运动的年轻人中按照性别采用分层随机抽样的方法抽取10 人,再从这10 人中随
机选取3 人访谈,记参与访谈的男性人数为X,求X 的分布列和数学期望.
(2)依据小概率值α=0.01 的独立性检验,能否认为爱好飞盘运动与性别有关联?如果把上表中所有数
据都扩大到原来的10 倍,在相同的检验标准下,再用独立性检验推断爱好飞盘运动与性别之间的关联
性,结论还一样吗?
附:χ2=
n(ad -bc)
2
(a+b)(c +d )(a+c )(b+d ) ,其中n=a+b+c+d.
α
0.1
0.01
0.001
xα
2.706
6.635
10.828
20.(12 分)(2023 宁夏中卫二模)2018 年至2022 年五年期间,中国的区块链企业数量逐年增长.现收集
我国近5 年区块链企业总数量相关数据,如表:
年份
2018
2019
2020
2021
2022
编号x
1
2
3
4
5
企业总数量y/千个
2.156
3.727
8.305
24.279
36.224
(1)根据表中数据判断,y=a+bx 与y=cedx(其中e 为自然对数的底数),哪一个适宜作为预测未来几年我
国区块链企业总数量的经验回归方程类型.(给出结果即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的结果,求y 关于x 的经验回归方程.(参数精确到小数点后第三位)
附:经验回归方程y
^
=b
^x+a
^中,b
^
=
∑
i=1
n
xi yi-n x y
∑
i=1
n
xi
2-n x
2
,a
^
= y -b
^
x.
参考数据:∑
i=1
5
xizi=40.457,∑
i=1
5
xi
2=55,x = 1
5 ∑
i=1
5
xi=3,z = 1
5 ∑
i=1
5
zi=2.196,其中z=ln y.
5
(3)为了促进公司间的合作与发展,区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛,邀请甲、乙、丙三
家区块链公司参赛,比赛规则如下:①每场比赛有两个公司参加,并决出胜负;②每场比赛获胜的公司
与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛;③在比赛中,若有一个公司首先获胜两场,则本次比赛结
束,该公司就获得此次信息化比赛的“优胜公司”称号.已知在每场比赛中,甲胜乙的概率为1
3,甲胜丙
的概率为3
5,乙胜丙的概率为1
2,请通过计算说明,哪两个公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公
司”称号的概率最大.
21.(12 分)(2023 河南五市二模)某电台举办有奖知识竞答比赛,选手答题规则相同.对于每道题,若甲自
己有把握答对,则选择独立答题(有把握答对时一定会答对),甲每道题有把握独立答对的概率为1
2;若
甲自己没有把握答对,则在规定时间内连线亲友团寻求帮助,其亲友团每道题能答对的概率为
p(0≤p≤1),假设每道题答对与否互不影响.
(1)当p=1
3时,若甲答了4 道题,计甲答对题目的个数为随机变量X,求随机变量X 的分布列和数学期望
E(X);
(2)乙答对每道题的概率为3
4 (含亲友团),现甲、乙两人各答两个问题,若甲答对题目的个数比乙答对
题目的个数多的概率不低于3
16 ,求甲的亲友团每道题能答对的概率p 的最小值.
22.(12 分)(2023 广东二模)甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛,规定每局比赛胜者得1 分,负者得0 分,
平局双方均得0 分,比赛一直进行到一方比另一方多两分为止,多得两分的一方赢得比赛.已知每局比
赛中,甲获胜的概率为α,乙获胜的概率为β,两人平局的概率为γ(α+β+γ=1,α>0,β>0,γ≥0),且每局比赛
结果相互独立.
(1)若α=2
5,β=2
5,γ=1
5,求进行4 局比赛后甲学员赢得比赛的概率.
(2)当γ=0 时,
①若比赛最多进行5 局,求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E(X)的最大值;
②若比赛不限制局数,写出“甲学员赢得比赛”的概率(用α,β 表示),无需写出过程.
6
专题检测四 概率与统计
1.B 解析 因为志愿者的总人数为
20
(0.24+0.16)×1 =50,所以第三组人数为50×0.36=18,有
疗效的人数为18-6=12.
2.D 解析 由题意得P(X≥2)=0.9,故P(X<2)=0.1.因为6+2
2
=4,所以根据正态曲线的对称性得
P(X≥6)=P(X<2)=0.1.
3.D 解析 由题意可知每位队员把球传给其他4 人的概率都为1
4 ,由甲开始传球,则前3 次传球
中,乙恰好有1 次接到球的情况可分为只在第一次接到球和只在第二次接到球以及只在第三次
接到球三种,则所求概率为1
4 ×1×3
4 + 3
4 × 1
4 ×1+3
4 × 3
4 × 1
4 = 33
64 .
4.D 解析 甲校运动员得分的中位数为8,平均数为6+7×3+8×4+9+10
10
=7.8,
标准差为
√
1
10 [(6-7.8)
2+3×(7 -7.8)
2+ 4×(8-7.8)
2+(9-7.8)
2+(10-7.8)
2]=√1.16.
乙校派出的10 名运动员的参赛成绩分别为6,7,8,9,9,9,9,10,10,10,
则其平均数为6+7+8+9×4+10×3
10
=8.7,75%分位数为10,
标准差为
√
1
10 [(6-8.7)
2+(7 -8.7)
2+(8-8.7)
2+ 4×(9-8.7)
2+3×(10-8.7)
2]=√1.61.
由以上数据得知D 错误.
5.D 解析 由题可得P(A)=6×6-5×5
6×6
= 11
36,P(AB)=2×5
6×6 = 5
18,所以P(B|A)=
P( AB)
P( A ) =
5
18
11
36
= 10
11.
6.D 解析 由题意可知,先将第一个教师节目插入到原节目单中,有6 种插入法,再将第二个教师
节目插入到这6 个节目中,有7 种插入法,故将这两个教师节目插入到原节目单中,共有6×7=42
种情况,其中这两个教师节目恰好相邻的情况有2×6=12 种,所以所求概率为12
42 = 2
7.
7.A 解析 该地区中学生每天睡眠时间的平均数为
800
1 200+800×9+
1 200
1 200+800×8=8.4,则该
地区中学生每天睡眠时间的方差为
800
1 200+800×[1+(9-8.4)2]+
1 200
1 200+800×[0.5+(8-
8.4)2]=0.94.
8.C 解析 设第一次从甲盒中取出白球、红球、黑球分别为事件A1,A2,A3,从甲盒中取出的球和
从乙盒中取出的球颜色相同为事件B,则P(A1)=2
5,P(A2)=2
5,P(A3)=1
5,则P(B)=P(A1)P(B|
A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=2
5 · x +1
x +6 + 2
5 ·
4
x +6 + 1
5 ·
3
x +6 = 2 x +13
5( x +6) ≥5
12,
解得x≤6,则x 的最大值为6.
9.ABD 解析 对于A,样本的众数为65+70
2
=67.5,故A 正确;对于B,由频率分布直方图可知样本
的80%分位数为70+0.1
0.2×5=72.5,故B 正确;对于C,由直方图估计样本平均数为
7
57.5×0.15+62.5×0.25+67.5×0.3+72.5×0.2+77.5×0.1=66.75,故C 错误;对于D,2 000 名男生中体
重低于60 kg 的人数大约为2 000×5×0.03=300,故D 正确.
故选ABD.
10.AC 解析 因为X~N(μ,σ2)且P(X≤2)=0.5,所以μ=2,故E(X)=μ=2,D(X)=σ2,故A 正确,B 错误;
因为Y~B(3,p),所以E(Y)=3p=E(X),
所以3p=2,解得p=2
3,故C 正确;
D(3Y)=9D(Y)=9×3×2
3×(1-2
3)=6,故D 错误.
故选AC.
11.ACD 解析 易知P(A1)=5
8,P(A2)=3
8.
事件B1有两种情况,①第一次摸到红球,第二次摸到红球,②第一次摸到蓝球,第二次摸到红球,则
P(B1)=P(A1B1)+P(A2B1)=5
8 × 4
7 + 3
8 × 5
7 = 35
56 = 5
8,故A 正确;
P(A2B2)=3
8 × 2
7 = 3
28,故B 错误;
P(B1|A1)=P( A1B1)
P( A1) =
5
8 × 4
7
5
8
= 4
7 ,故C 正确;
P(B1|A2)+P(B2|A2)=P( A2B1)
P( A2) + P( A2B2)
P( A2) =
3
8 × 5
7
3
8
+
3
8 × 2
7
3
8
= 5
7 + 2
7=1,故D 正确.
12.BC 解析 对于A,B,小李在星期一到星期五这5 天中,上班路上在甲路口遇到红灯的天数为
X,则X~B(5,1
3),则P(X=4)=C5
4×(
1
3)
4
×(1-1
3)= 10
243,D(X)=5×1
3×(1-1
3)=10
9 ,故A 错误,B 正确;
对于C,由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为t=1-(1-1
3)×(1-p)=1
3 + 2
3p,则1
3<t<1,
星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率为C5
3t3(1-t)2=10t3(1-t)2,
设f(t)=10t3(1-t)2=10(t5-2t4+t3),1
3<t<1,则f'(t)=10t2(5t2-8t+3),
令f'(t)=0,则t=0(舍去)或t=3
5或t=1(舍去),
当1
3<t<3
5时,f'(t)>0,当3
5<t<1 时,f'(t)<0,
故当t=3
5时,f(t)=10(t5-2t4+t3)取得最大值,即f(t)max=f(3
5)=216
625,
即小李星期一到星期五上班路上恰有3 天至少遇到一次红灯的概率的最大值为216
625,此时p=2
5,
故C 正确;
对于D,当p=2
5时,一天上班路上不遇到红灯的概率为(1-1
3)×(1-2
5)=2
5,
遇到一次红灯的概率为1
3×(1-2
5)+(1-1
3)×2
5 = 7
15,遇到两次红灯的概率为1
3 × 2
5 = 2
15,
故一天上班路上遇到红灯次数的数学期望为1× 7
15+2× 2
15 = 11
15,所以E(Y)=5×11
15 = 11
3 ,故D 错误.
8
故选BC.
13. 3
10 解析 所求概率为C3
1
C5
3 = 3
10.
14.54.5 解析 x = 1
10 ∑
i=1
10
xi=160,y = 1
10 ∑
i=1
10
yi=46,
故46=0.85×160+a
^,解得a
^=-90,
故经验回归方程为y
^ =0.85x-90,则当x=170 时,y
^ =0.85×170-90=54.5.
15. 7
11 解析 甲队以3∶0 获胜,即三局都是甲胜,概率是(
3
5)
3
= 27
125,甲队以3∶1 获胜,即前三局
有两局甲胜,第四局甲胜,概率是C3
2×(
3
5)
2
× 2
5 × 3
5 = 162
625.
设“甲队本场比赛所得积分为3 分”为事件A,“甲队前两局比赛都获胜”为事件B,甲队以3∶1
获胜,且前两局都是甲胜,第四局是甲胜的概率是(
3
5)
2
× 2
5 × 3
5 = 54
625,
则P(A)= 27
125 + 162
625 = 297
625,P(AB)= 27
125 + 54
625 = 189
625.
则在甲队本场比赛所得积分为3 分的条件下,甲队前两局比赛都获胜的概率P(B|A)=
P( AB)
P( A ) =
189
625
297
625
= 189
297 = 7
11.
16.16
35
12
7 解析 P(ξ=2)=C2
1C4
2+C4
1
C7
3
= 16
35.
ξ 的所有可能取值为1,2,3,4.
P(ξ=1)=C6
2
C7
3 = 15
35,P(ξ=2)=16
35,P(ξ=3)=C3
2
C7
3 = 3
35,
P(ξ=4)=C2
2
C7
3 = 1
35,
故E(ξ)=1×15
35+2×16
35+3× 3
35+4× 1
35 = 12
7 .
17.解 (1)由题意可知,X~B(2, 1
4),
则P(X=0)=(
3
4)
2
= 9
16,P(X=1)=C2
1× 1
4 × 3
4 = 3
8,P(X=2)=(
1
4)
2
= 1
16,
所以随机变量X 的分布列如下:
X
0
1
2
P
9
16
3
8
1
16
E(X)=2×1
4 = 1
2.
(2)对于方案一:“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中,至少有一人负责
的2 台机器同时发生故障”,其概率为P1=1-(1-P(X=2))3=1-(1- 1
16)
3
=
721
4 096.
对于方案二:机器发生故障时不能及时维修的概率为
9
P2=1-(
3
4)
6
-C6
1× 1
4 ×(
3
4)
5
-C6
2×(
1
4)
2
×(
3
4)
4
=1-3
6+6×3
5+15×3
4
4 096
=
347
2 048.
所以P2<P1,即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修,使得工厂的生产效率更高.
18.解 (1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄为x
=(5×0.001+15×0.002+25×0.012+35×0.017+45×0.023+55×0.020+65×0.017+75×0.006+85×0.00
2)×10
=47.9(岁).
(2)由题图,得这100 位这种疾病患者中年龄位于区间[20,70)的频率为
(0.012+0.017+0.023+0.020+0.017)×10=0.89,故可估计该地区一人患这种疾病患者年龄位于区间
[20,70)的概率为0.89.
(3)设事件B=“任选一人年龄位于区间[40,50)”,事件C=“任选一人患这种疾病”,由条件概率公式
可得P(C|B)= P(BC )
P(B) = 0.1%×0.023×10
16 %
=0.001 437 5≈0.001 4.
19.解 (1)样本中爱好飞盘运动的年轻人中男性16 人,女性24 人,比例为2∶3,按照性别采用分层
随机抽样的方法抽取10 人,则抽取男性4 人,女性6 人.
随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)= C6
3
C10
3 = 1
6,P(X=1)=C4
1C6
2
C10
3
= 1
2,
P(X=2)=C4
2C6
1
C10
3
= 3
10,P(X=3)= C4
3
C10
3 = 1
30,
随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
1
6
1
2
3
10
1
30
随机变量X 的数学期望E(X)=0×1
6+1×1
2+2× 3
10+3× 1
30 = 6
5.
(2)零假设为H0:爱好飞盘运动与性别无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2=
50×(6×24 - 4×16)
2
22×28×10×40
≈1.299<6.635=x0.01,
根据小概率值α=0.01 的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0成立,即认为
爱好飞盘运动与性别无关联.
列联表中所有数据都扩大到原来的10 倍后,
χ1
2= 500×(60×240- 40×160)
2
100×400×220×280
≈12.99>6.635=x0.01,
根据小概率值α=0.01 的独立性检验,推断H0成立,即认为爱好飞盘运动与性别有关联,此推断犯
错误的概率不超过0.01.
故结论不一样.
20.解 (1)根据表中数据可知增加的速度逐渐变快,
所以y=cedx适宜作为预测未来几年我国区块链企业总数量的经验回归方程类型.
(2)对y=cedx两边取自然对数,得ln y=ln c+dx,
令z=ln y,先建立z 关于x 的经验回归方程.
由于∑
i=1
5
xizi=40.457,∑
i=1
5
xi
2=55,x = 1
5 ∑
i=1
5
xi=3,z = 1
5 ∑
i=1
5
zi=2.196,
则d
^
=
∑
i=1
5
xi zi-5 x z
∑
i=1
5
xi
2-5 x
2
= 40.457 -5×3×2.196
55-5×3
2
≈0.752,
10
ln c
^
= z -d
^
x≈2.196-0.752×3=-0.060,
∴z 关于x 的经验回归方程为z
^=0.752x-0.060,
则y 关于x 的非线性经验回归方程为y
^ =e0.752x-0.060.
(3)记事件A=“甲与乙先赛”,B=“甲与丙先赛”,C=“丙与乙先赛”,D=“甲公司获胜”.
由于在每场比赛中,甲胜乙的概率为1
3,甲胜丙的概率为3
5,乙胜丙的概率为1
2,
则P(D|A)=1
3 × 3
5 + 1
3 ×(1- 3
5)× 1
2 × 1
3 +(1- 1
3)×(1- 1
2)× 3
5 × 1
3 = 13
45,
P(D|B)=3
5 × 1
3 + 3
5 ×(1- 1
3)×(1- 1
2)× 3
5 +(1- 3
5)× 1
2 × 1
3 × 3
5 = 9
25,
P(D|C)=(1- 1
2)× 3
5 × 1
3 + 1
2 × 1
3 × 3
5 = 1
5,
由于9
25 > 13
45 > 1
5,
∴甲与丙两公司进行首场比赛时,甲公司获得“优胜公司”称号的概率最大.
21.解 (1)X 的可能取值为0,1,2,3,4,记甲答对某道题为事件A,
则P(A)=1
2 + 1
2 × 1
3 = 2
3,
则X~B(4, 2
3),P(X=k)=C4
k(
2
3)
k
(
1
3)
4 -k
(k=0,1,2,3,4),则X 的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
1
81
8
81
8
27
32
81
16
81
E(X)=4×2
3 = 8
3.
(2)记事件Ai为“甲答对了i 道题”,事件Bi为“乙答对了i 道题”,其中甲答对某道题的概率为
1
2 + 1
2p=1
2(1+p),答错某道题的概率为1-1
2(1+p)=1
2(1-p),
则P(A1)=C2
1· 1
2(1+p)·1
2(1-p)=1
2(1-p2),P(A2)=[
1
2 (1+ p)]
2
= 1
4 (1+p)2,
P(B0)=(
1
4)
2
= 1
16 ,P(B1)=C2
1· 3
4 · 1
4 = 3
8,
所以甲答对题数比乙多的概率为P(A1B0∪A2B0∪A2B1)=P(A1B0)+P(A2B0)+P(A2B1)=1
2(1-p2)· 1
16 + 1
4
(1+p)2· 1
16 + 1
4 (1+p)2·3
8 = 5
64 p2+ 7
32p+ 9
64 ≥3
16,得1
5≤p≤1,
故甲的亲友团每道题能答对的概率p 的最小值为1
5.
22.解 (1)用事件Ai,Bi,Ci分别表示第i 局比赛“甲获胜”“乙获胜”“平局”,i=1,2,3,4,
则P(Ai)=α=2
5,P(Bi)=β=2
5,P(Ci)=γ=1
5,
记“进行4 局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N,则事件N 包括事件
A1B2A3A4,B1A2A3A4,A1C2C3A4,C1A2C3A4,C1C2A3A4,共5 种,
11
所以P(N)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2A3A4)+P(A1C2C3A4)+P(C1A2C3A4)+P(C1C2A3A4)=2×(
2
5)
4
+3×
(
1
5)
2
×(
2
5)
2
= 44
625.
(2)①因为γ=0,所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”,即α+β=1.
由题意得X 的所有可能取值为2,4,5,则P(X=2)=α2+β2,P(X=4)=(αβ+βα)α2+
(αβ+βα)β2=2αβ(α2+β2),
P(X=5)=(αβ+βα)·(αβ+βα)·1=4α2β2.
所以X 的分布列为
X
2
4
5
P
α2+β2
2αβ(α2+β2)
4α2β2
期望E(X)=2(α2+β2)+8αβ(α2+β2)+20α2β2=2(1-2αβ)+8αβ(1-2αβ)+20α2β2=4α2β2+4αβ+2.
因为α+β=1≥2√αβ,所以αβ≤1
4 ,当且仅当α=β=1
2时,等号成立,所以αβ∈(0, 1
4],
所以E(X)=4α2β2+4αβ+2=(2αβ+1)2+1≤(2× 1
4 +1)
2
+1=13
4 ,故E(X)的最大值为13
4 .
②记“甲学员赢得比赛”为事件M,
则P(M)=
α
2
1-2αβ =
α
2
α
2+ β
2.
由(1)得前两局比赛结果可能有A1A2,B1B2,A1B2,B1A2,其中事件A1A2表示“甲学员赢得比赛”,事件
B1B2表示“乙学员赢得比赛”,事件A1B2,B1A2表示“甲、乙两名学员各得1 分”,当甲、乙两名
学员得分总数相同时,甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同,
所以P(M)=P(A1A2)·1+P(B1B2)·0+P(A1B2)·P(M)+P(B1A2)P(M)=P(A1)P(A2)+P(A1)P(B2)·P(M)
+P(B1)P(A2)P(M)=α2+αβP(M)+βαP(M)=α2+2αβP(M),
所以(1-2αβ)P(M)=α2,即P(M)=
α
2
1-2αβ .因为α+β=1,所以P(M)=
α
2
(α + β )
2-2αβ
=
α
2
α
2+2αβ + β
2-2αβ
=
α
2
α
2+ β
2.
