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专题十一
概率与统计
第三十三讲
回归分析与独立性检验
答案部分
1．C【解析】因为
22.5
x =
，
160
y =
，所以
160
4 22.5
70
a =
−
=
，
4 24
70
166
y =
+
=
，
选
．
C
2
B
．【解析】∵
10.0
x =
，
8.0
y =
，ˆ
0.76
b =
，∴ˆ
8 0.76 10
0.4
a = −
=
，
∴回归方程为ˆ
0.76
0.4
y
x
=
+
，把
15
x =
代入上式得，
ˆ
0.76 15 0.4
11.8
y =
?
=
(
)
B
万元，选
．
3．A【解析】由题意可知，相应的回归直线的斜率应为正，排除
、
C D．且直线必过点(3,3.5) ，
代入
、
得
正确．
A
B
A
4
A
．【解析】画出散点图知
0,
0
b
a
．
5．D【解析】因为所有的点都在直线上，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故
选D.
6
D
．【解析】因为
2
2
2
1
52 (6 22 14 10)
52 8
16 36 32 20
16 36 32 20
−
=
=
，
2
2
2
2
52 (4
20 16 12)
52 112
16 36 32 20
16 36 32
20
−
=
=
，
2
2
2
3
52 (8 24 12 8)
52 96
16 36 32 20
16 36 32 20
−
=
=
，
2
2
2
4
52 (14 30
6 2)
52 408
16 36 32 20
16 36 32 20
−
=
=
，
则有
2
2
2
2
4
2
3
1
，所以阅读量与性别关联的可能性最大．
7
D
．【解析】由回归方程为y=0.85x−
85.71 知y随x
的增大而增大，所以
与
具有正的
y
x
线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知
ˆ
(
)
y
bx
a
bx
y
bx a
y
bx
=
+
=
+
−
=
−
，
所以回归直线过样本点的中心（x ，y
），利用回归方程可以预测估计总体，所以
不
D
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正确．
8
B
3.5
．【解析】样本中心点是（
，42），则
ˆ
ˆ
42 9.4 3.5
9.1
a
y
bx
=
−
=
−
=
，所以回归方
程是ˆ
9.4
9.1
y
x
=
+
，把
6
x =
代入得ˆ
65.5
y =
．
9．【解析】(1)利用模型①，该地区
年的环境基础设施投资额的预测值为
2018
ˆ
30.4 13.5 19
226.1
y = −
+
=
(
)
亿元．
利用模型②，该地区
年的环境基础设施投资额的预测值为
2018
ˆ
99 17.5 9
256.5
y =
+
=
(
)
亿元．
(2)利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（）从折线图可以看出，
年的数据对应的点没有随机散布在直线
ⅰ
2000 年至2016
30.4 13.5
y
t
= −
+
上下．这说明利用
年至
年的数据建立的线性模型①不能很
2000
2016
好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010
2009
年相对
年的环境基础设施投资额
有明显增加，2010
2016
年至
年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010
年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用
年至
年的数据
2010
2016
建立的线性模型ˆ
99 17.5
y
t
=
+
可以较好地描述
年以后的环境基础设施投资额的
2010
变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（）从计算结果看，相对于
年的环境基础设施投资额
亿元，由模型①得到的
ⅱ
2016
220
预测值
亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明
226.1
利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了
种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．
2
10．【解析】（Ⅰ）由折线图这数据和附注中参考数据得
4
=
t
，
28
)
(
7
1
2 =
−
=
i
i
t
t
，
55
.0
)
(
7
1
2 =
−
=
i
i
y
y
，
7
7
7
1
1
1
(
)(
)
40.17
4 9.32
2.89
i
i
i
i
i
i
i
i
t
t
y
y
t y
t
y
=
=
=
−
−
=
−
=
−
=
，
99
.0
646
.2
2
55
.0
89
.2
r
.
因为y 与t
的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关相当高，从而可以用线性
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回归模型拟合y 与t 的关系.
（Ⅱ）由
331
.1
7
32
.9
=
y
及（Ⅰ）得
7
1
7
2
1
(
)(
)
2.89
ˆ
0.103
28
(
)
i
i
i
i
i
t
t
y
y
b
t
t
=
=
−
−
=
=
−
，
92
.0
4
103
.0
331
.1
ˆ
ˆ
−
−
=
tb
y
a
.
所以，y关于t 的回归方程为：
t
y
10
.0
92
.0
ˆ
+
=
.
将
年对应的
2016
9
=
t
代入回归方程得：
82
.1
9
10
.0
92
.0
ˆ
=
+
=
y
.
所以预测
年我国生活垃圾无害化处理量将约
亿吨
2016
1.82
.
11．【解析】（）由散点图可以判断，
Ⅰ
y
c
d x
= +
适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的
回归方程类型．
（Ⅱ）令w
x
=
，先建立y 关于w 的线性回归方程，由于
8
1
8
2
1
(
)(
)
108.8
ˆ
68
1.6
(
)
i
i
i
i
i
w
w y
y
d
w
w
=
=
−
−
=
=
=
−
．
ˆ
ˆ
563 68 6.8 100.6
c
y
dw
=
−
=
−
=
，
所以y 关于w 的线性回归方程为ˆ
100.6
68
y
w
=
+
，因此y 关于x 的回归方程为
ˆ
100.6 68
y
x
=
+
．
（
）由（
Ⅲ）（ⅰ
Ⅱ）知，当
49
x =
时，年销售量y 的预报值
ˆ
100.6 68 49
576.6
y =
+
=
年利润z 的预报值
ˆ
576.6 0.2 49
66.32
z =
−
=
．
（）根据（）得结果知，年利润
ⅱ
Ⅱ
z 的预报值
ˆ
0.2(100.6 68
)
13.6
20.12
z
x
x
x
x
=
+
−
= −+
+
．
所以当
13.6
6.8
2
x =
=
，即
46.24
x =
时，ˆz 取得最大值．
故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大．
12．【解析】（）由所给数据计算得
I
1
7
t =
（1+2+3+4+5+6+7
）=4
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1
7
y =
（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9
=4.3
）
7
2
1
1
(
)
t
t
t
=
−
=9+4+1+0+1+4+9=28
7
1
1
1
(
)(
)
t
t
t y
y
=
−
−
=
( 3) ( 1.4)
( 2) ( 1)
( 1) ( 0.7)
−
−
+ −
−
+ −
−
0 0.1 1 0.5 2 0.9 3 1.6 14
+
+
+
+
=
7
1
1
1
7
2
1
1
(
)(
)
14
0.5
28
(
)
t
t
t
t
y
y
b
t
t
=
=
−
−
=
=
=
−
，
4.3 0.5 4
2.3
a
y
bt
=
−
=
−
=
.
所求回归方程为
0.5
2.3
y
t
=
+
.
13．【解析】(I)由频率颁布直方图可知在抽取的
“体育迷”有
人
× 列
,
100 人中,
25
,从而2
2
联表如下:
非体育迷 体育迷 合计
男
30
15
45
女
45
10
55
合计 75
25
100
由× 列联表中数据代入公式计算
2
2
,得:
2
2
2
11 22
12
21
1
2
1
2
(
)
100(30 10
45 15) 100
3.030
75 25 45 55
33
n n n
n n
x
n n n n
+
+
+
+
−
−
=
=
因为3.030<3.841,
,
所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.
（）由频率分布直方图可知，“超级体育迷”为
人，从而一切可能结果所组成的基
II
5
本事件空间
1
2
1
3
2
3
1
1
{( ,
),(
,
),(
,
),( ,
)
a a
a a
a a
a b
=
1
2
2
1
2
2
3
1
,(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),
a b
a b
a b
a b
3
2
1
2
(
,
),( ,
)}
a b
b b
其中
ia 表示男性，
1,2,3
i =
．
jb 表示女性，
1,2
j =
．
由
个基本
10
事件组成，而且这些事件的出现时等可能的．用
表示“任选
人中至少有
名是女
A
2
1
性”这一事件，则
1
1
1
2
2
1
2
2
3
1
3
2
1
2
{(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),(
,
),( ,
)}
A
a b
a b
a b
a b
a b
a b
b b
=
∴
7
( )
10
P A =
