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专题十五
坐标系与参数方程
第四十一讲
坐标系与参数方程
2019
年
1..（2019
22
全国理
I
）[选修— ：坐标系与参数方程
4
4
]
在直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
xOy
C
2
2
2
1
1
4
1
t
x
t
t
y
t
−
=
+
=
+
，
（为参数）．以坐标原点
为极
t
O
点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
x
l
2 cos
3 sin
11
0
+
+
=
．
（
和的直角坐标方程；
1）求C
l
（
上的点到距离的最小值．
2）求C
l
2.（2019 全国II 理22）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，O为极点，点
0
0
0
(
,
)(
0)
M
在曲线
:
4sin
C
=
上，直线l过点
(4,0)
A
且与OM 垂直，垂足为P.
（1）当
0= 3
时，求
0
及l 的极坐标方程；
（2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.
3.（2019 全国III 理22）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
如图，在极坐标系Ox 中，(2,0)
A
，
( 2,
)
4
B
，
( 2,
)
4
C
，
(2, )
D
，弧AB ，BC ，CD
所在圆的圆心分别是(1,0) ，
(1,
)
2
，
(1, )
，曲线
1
M 是弧AB ，曲线
2
M 是弧BC ，曲线
3
M
是弧CD.
（1）分别写出
1
M ，
2
M ，
3
M 的极坐标方程；
（2）曲线M 由
1
M ，
2
M ，
3
M 构成，若点P 在M 上，且
|
|
3
OP =
，求P 的极坐标.
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4.
2019
（
天津理12）设aR，直线
2
0
ax
y
−
+
=
和圆
2
2cos ,
1 2sin
x
y
=
+
= +
（为参数）相
切，则a的值为 .
2010-2018
年
1
(2018
)
．
北京在极坐标系中，直线
cos
sin
(
0)
a a
+
=
与圆
=2cos
相切，则
a =
___．
2．（2017 北京）
坐标系中，点
在极
A 在圆
2
2 cos
4 sin
4
0
−
−
+
=
上，点P 的坐
标为(1,0) ），则|
|
AP 的最小值为___________．
3
2017
．（
天津）在极坐标系中，直线
4 cos(
) 1
0
6
−
+ =
与圆
2sin
=
的公共点的个
数为_____
．
4
2016
．（
北京）在极坐标系中，直线
cos
3 sin
1
0
−
−=
与圆
2cos
=
交于,
A B
两点，则
|
|
AB = ____
．
5．（2015 广东）已知直线l的极坐标方程为
2 sin(
)
2
4
−
=
，点Α 的极坐标为
7
2 2,
)
4
(
，则点Α 到直线l 的距离为
．
6
2015
．（
安徽）在极坐标系中，圆
8sin
=
上的点到直线
(
)
3
R
=
距离的最大值
是
7
(2018
．
全国卷Ⅰ) [
4 4
选修– ：坐标系与参数方程]（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的方程为
| |
2
y
k x
=
+
．以坐标原点为极点，x 轴正半轴
为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为
2
2 cos
3
0
+
−
=
．
(1)求
2
C 的直角坐标方程；
(2)若
1
C 与
2
C 有且仅有三个公共点，求
1
C 的方程．
8
(2018
．
全国卷Ⅱ)[
4
选修－4：坐标系与参数方程]
（10 分）
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
2cos ,
4sin ,
=
=
x
θ
y
θ
（θ 为参数），直线l 的参数
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方程为
1
cos
2
sin
= +
=
+
x
t
α
y
t
α
（t 为参数）．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C 截直线l所得线段的中点坐标为(1, 2)，求l 的斜率．
9
(2018
．
全国卷Ⅲ)[
4
选修—4：坐标系与参数方程]
（10 分）
在平面直角坐标系xOy 中，O 的参数方程为
cos
sin
x
y
=
=
，
（为参数），过点
(0,
2)
−
且倾斜角为的直线l 与
O 交于A ，B 两点．
(1)求的取值范围；
(2)求AB中点P 的轨迹的参数方程．
10．(2018
)C
江苏
．[
4
4
选修— ：坐标系与参数方程](本小题满分
分
10
)
在极坐标系中，直线l的方程为
π
sin(
)
2
6
−
=
，曲线C 的方程为
4cos
=
，求直线l
被曲线C 截得的弦长．
11．
（2017 新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为
3cos
sin
x
y
=
=
，(为参数)，
直线l的参数方程为
4
1
x
a
t
y
t
=
+
= −
(t 为参数．
)
(1)若
1
a = −，求C与l 的交点坐标；
(2)若C上的点到l 距离的最大值为17 ，求a ．
12．（2017 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立
极坐标系，曲线
1
C 的极坐标方程为
cos
4
=
．
(1)M 为曲线
1
C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
|
| |
| 16
OM
OP
=
，求点P 的
轨迹
2
C 的直角坐标方程；
(2)设点A 的极坐标为
(2,
)
3
，点B 在曲线
2
C 上，求OAB
面积的最大值．
13．（ 2017 新课标Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为
2
x
t
y
kt
=
+
=
( t 为参数，
)
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直线2l 的参数方程为
2
x
m
m
y
k
= −+
=
（m 为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P
的轨迹为曲线C ．
(1)写出C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设3l ：
(cos
sin )
+
−
2
0
=
，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．
14．（2017 江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为
8
2
x
t
t
y
= −+
=
（t为参数），
曲线C 的参数方程为
2
2
2 2
x
s
y
s
=
=
（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直
线l 的距离的最小值．
15．（ 2016 年全国）在直角坐标系
I
xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
cos
1
sin
x
a
t
y
a
t
=
= +
（t 为参
数，a＞）．在以坐标原点为极点，
0
x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
2
C ：
4cos
=
．
（）说明
I
1
C 是哪种曲线，并将
1
C 的方程化为极坐标方程；
（）直线
II
3
C 的极坐标方程为
0
=a
，其中
0a 满足
0
tan
=2
a
，若曲线
1
C 与
2
C 的公共点
都在
3
C
上，求．
a
16．（2016 年全国II）在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为 (
)
2
2
6
25
x
y
+
+
=
．
（I）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程是
cos
sin
x
t
y
t
=
=
（t 为参数），l与C 交于A、B 两点，
10
AB =
，
求l的斜率．
17．（ 2016 年全国III）在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
3 cos
sin
x
y
=
=
（为
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参数），以坐标原点为极点，以
轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线
x
2
C 的极坐标
方程为
sin(
)
2 2
4
+
=
．
（Ⅰ）写出
1
C 的普通方程和
2
C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点
在
P
1
C
上，点
在
Q
2
C 上，求|
|
PQ
的最小值及此时
的直角坐标．
P
18．（2016 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为
(
)
1
1
,
2
3 ,
2
x
t
t
y
t
= +
=
为参数，
椭圆C的参数方程为
(
)
cos ,
2sin ,
x
y
=
=
为参数，设直线l 与椭圆C相交于,
A B两点，求线
段AB 的长．
19．
（2015 新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy 中，直线
1
C ：
2
x = −
，圆
2
C ：
2
2
(
1)
(
2)
1
x
y
−
+
−
=
，
以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求
1
C ，
2
C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线
3
C
的极坐标方程为
(
)
4
R
=
,设
2
C 与
3
C 的交点为M , N ,求
2
C MN
的面积．
20．（2015 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C ：
cos ,
sin ,
x
t
y
t
=
=
（t 为参数，t ≠）
0
其中0
≤
，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线
2
C ：
2sin
=
，
3
C ：
2 3cos
=
．
（Ⅰ）求
2
C 与
3
C 交点的直角坐标；
（Ⅱ）若
1
C 与
2
C
相交于点
，
A
1
C 与
3
C
相交于点B，求|
|
AB 的最大值．
21．（2015 江苏）已知圆
的极坐标方程为
C
2
2 2 sin(
)
4
0
4
+
−
−
=
，求圆
的半径
C
.
22．（ 2015 陕西）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为
1
3
2
3
2
x
t
y
t
=
+
=
（t 为参数）．以
原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为
2 3sin
=
．
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（Ⅰ）写出⊙C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）P 为直线l上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．
23．（ 2014 新课标Ⅰ）已知曲线C ：
2
2
1
4
9
x
y
+
= ，直线l ：
2
2
2
x
t
y
t
=
+
=
−
（t 为参数）．
(
)
Ⅰ
写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l夹角为
o
30 的直线，交l 于点A ，求|
|
PA 的最大值与
最小值．
24．（2014 新课标Ⅱ）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，半圆
的极坐标方程为
C
2cos
=
，
0, 2
．
（Ⅰ）求
的参数方程；
C
（Ⅱ）设点
在
上，
在
处的切线与直线
D
C
C
D
:
3
2
l y
x
=
+
垂直，根据（Ⅰ）中你得
到的参数方程，确定
的坐标．
D
25．（ 2013 新课标Ⅰ）已知曲线
1
C 的参数方程为
4
5cos
5
5sin
x
t
y
t
=
+
=
+
(t 为参数），以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程为
2sin
=
。
（Ⅰ）把
1
C 的参数方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）求
1
C 与
2
C 交点的极坐标（
0
≥
，0
2
≤≤
）．
26．（ 2013 新课标Ⅱ）已知动点P ，Q 都在曲线C：
(
)
2cos
2sin
x
y
=
=
为参数 上，对应
参数分别为
=
与
2
=
（0
2
）M 为PQ 的中点。
（）求
Ⅰ
M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
27．（
新课标）已知曲线
2012
1
C 的参数方程是
=
=
sin
3
cos
2
y
x
（为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
2
C 的极坐标方程是
2
=
．正方形ABCD
的顶点都在
2
C 上，且A、B 、C 、D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为
)
3
,2
(
．
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（Ⅰ）求点A、B 、C 、D 的直角坐标；
（Ⅱ）设P 为
1
C 上任意一点，求
2
2
2
2
|
|
|
|
|
|
|
|
PD
PC
PB
PA
+
+
+
的取值范围．
28．（2011 新课标）在直角坐标系xOy 中，曲线
1
C 的参数方程为
2cos
2
2sin
x
y
=
=
+
（为参
数），
是
M
1
C 上的动点，P 点满足
2
OP
OM
=
uuuv
uuuv
，P 点的轨迹为曲线
2
C
(
)
Ⅰ求
2
C 的方程
(
)
Ⅱ在以O
x
为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线
3
=
与
1
C 的异于极点
的交点为A，与
2
C
的异于极点的交点为
，求
B
AB ．
