文档文本内容
1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题46 平面解析几何第六缉 1．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在椭圆中，F 为一个焦点，A、B 为两个顶点若|FA|=3，|FB| =2，求AB 的所有可能值. 2．【2018 年福建预赛】已知△DEF 三边所在的直线分别为l1:x=－2，l2：x+❑√3y－4=0，l3：x－❑√3y－ 4=0，⊙C 为△DEF 的内切圆. （1）求⊙C 的方程； （2）设⊙C 与x 轴交于A、B 两点，点P 在⊙C 内，且满足|PC| 2=|PA|⋅|PB|.记直线PA、PB 的斜率分别 为k1、k2，求k1 k2的取值范围. 3．【2018 年江苏预赛】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆O的方程为x 2+ y 2= 4，过点P(0,1)的直 线l与圆O交于点A ，B，与x轴交于点Q，设⃗QA = λ⃗PA ，⃗QB = μ⃗PB，求证：λ+ μ为定值。 4 ．【2018 年江苏预赛】如图，在圆内接四边形ABCD中，对角线AC 与BD交于点 P，ΔABD与ΔABC的内心分别为I 1和I 2，直线I 1 I 2分别与AC ，BD交于点M ，N，求证： PM = PN. 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 5．【2018 年贵州预赛】已知椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的离心率e = ❑√2 2 ，直线y=2x－1 与C 交于A、B 两点，且|AB|= 8 9 ❑√5 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E、F（E 在点F、M 之间），记 λ = S ΔOME S ΔOMF ，求λ 的取值范围． 6．【2018 年浙江预赛】已知动直线l 与圆O：x 2+ y 2=1相切，与椭圆x 2 9 + y 2=1相交于不同的两点A，B. 求原点到AB 的中垂线的最大距离. 7．【2018 年重庆预赛】设椭圆C 的左、右顶点为A，B(a,0)，过右焦点F(1,0)作非水平直线l与椭圆C 交于P，Q 两点，记直线AP，BQ 的斜率分别为k1，k2 ，试证：k1 k2 为定值，并求此定值（用a 的函数表 示） 8．【2018 年陕西预赛】如图，圆C 与x轴相切于点T (2,0)，与y轴的正半轴相交于A ,B两点（A 在B的 上方），且|AB|=3. （1）求圆C的方程； （2）设过点B的直线l与椭圆x 2 8 + y 2 4 =1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ. 9．【2018 年陕西预赛】如图，圆C 与x轴相切于点T (2,0)，与y轴的正半轴相交于A ,B两点（A 在B的 上方），且|AB|=3. 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 （1）求圆C的方程； （2）设过点B的直线l与椭圆x 2 8 + y 2 4 =1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ. 10．【2018 年陕西预赛】如图，圆C 与x轴相切于点T (2,0)，与y轴的正半轴相交于A ,B两点（A 在B 的上方），且|AB|=3. （1）求圆C的方程； （2）设过点B的直线l与椭圆x 2 8 + y 2 4 =1相交于P，Q两点，求证：射线AB平分∠PAQ. 11．【2018 年湖南预赛】已知抛物线C1的顶点(❑√2-1,1)，焦点(❑√2- 3 4 ,1)，另一抛物线C2的方程为 y 2-ay + x +2b=0，C1与C2 在一个交点处它们的切线互相垂直.试证C2 必过定点，并求该点的坐标. 12．【2018 年湖南预赛】如图，在凸四边形ABCD 中，M 为边AB 的中点，且MC=MD.分别过点C、D 作 边BC、AD 的垂线，设两条垂线的交点为P.过点P 作PQ⊥AB与Q.求证：∠PQC =∠PQD. 4 / 9 学科网（北京）股份有限公司 13．【2018 年贵州预赛】已知椭圆C：x 2 a 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的离心率e = ❑√2 2 ，直线y=2x－1 与C 交于A、 B 两点，且|AB|= 8 9 ❑√5 ． （1）求椭圆C 的方程； （2）过点M(2，0)的直线l（斜率不为零）与椭圆C 交于不同的两点E、F（E 在点F、M 之间），记 λ = S ΔOME S ΔOMF ，求λ 的取值范围． 14．【2018 年广西预赛】已知中心在原点O，焦点在x 轴上，离心率为 ❑√3 2 的椭圆过点(❑√2, ❑√2 2 ).设不过 原点O 的直线l 与该椭圆交于P，Q 两点，且直线OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的 取值范围． 15．【2018 年安徽预赛】设O 是坐标原点，双曲线C：x 2 a 2 - y 2 b 2 =1上动点M 处的切线，交C 的两条渐近线 于A、B 两点. ⑴求证：△AOB 的面积S 是定值； ⑵求△AOB 的外心P 的轨迹方程. 16．【2018 年山东预赛】已知圆O: x 2+ y 2= 4与曲线 C : y =3|x -t|，A (m,n)，B (s, p)，(m,n,s, p∈N *)为曲线C上的两点，使得圆O上任意一点到点A 的距离与到点B的距离之比为定值k (k >1)，求t的值． 17．【2018 年湖北预赛】已知O为坐标原点，N (1,0)，点M为直线x =-1上的动点，∠MON的平分线与 直线MN交于点P，记点P的轨迹为曲线E. 5 / 9 学科网（北京）股份有限公司 （1）求曲线E的方程； （2）过点Q(- 1 2 ,- 1 2) 作斜率为k的直线l，若直线l与曲线E恰好有一个公共点，求k的取值范围. 18．【2018 年甘肃预赛】已知椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1过点M (0,2)，且右焦点为F (2,0)． （1）求椭圆C的方程； （2）过点F的直线l与椭圆C交于A ,B两点，交y轴于点P．若⃑PA =m⃑AF ,⃑PB =n⃑BF，求证：m+n为定 值； （3）在（2）的条件下，若点P不在椭圆C的内部，点Q是点P关于原点O的对称点，试求三角形QAB面积 的最小值． 19．【2018 年吉林预赛】如图，已知抛物线y =a x 2过点P（-1，1），过点Q（- 1 2 ，0）作斜率大于0 的直 线l 交抛物线与M、N 两点（点M 在Q、N 之间），过点M 作x 轴的平行线，交OP 于A，交ON 于 B.△PMA 与△OAB 的面积分别记为S1、S2，比较S1与3S2的大小，说明理由. 20．【2018 年天津预赛】如图，F1、F2是双曲线x 2- y 2 4 =1的两个焦点，一条直线与双曲线的右支相切， 且分别交两条渐近线于A、B.又设O 为坐标原点，求证： （1）|OA|⋅|OB|=|O F1| 2； ⑵F1、F2、A、 B 四点在同一个圆上. 6 / 9 学科网（北京）股份有限公司 21．【2018 年河南预赛】已知方程17 x 2-16 xy + 4 y 2-34 x +16 y +13=0在xOy平面上表示一椭圆．试 求它的对称中心及对称轴． 22．【2018 年河北预赛】如图，椭圆x 2 y 2 + y 2 b 2 =1（a>b>0）的左焦点为F，过点F 的直线交椭圆于A、B 两 点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°. （1）求该椭圆的离心率； （2）设线段AB 的中点为G，AB 的中垂线与x 轴、y 轴分别交于D、E 两点.记△GDF 的面积为S1， △OED（O 坐标原点）的面积为S2 .求S1 S2 的取值范围. 23．【2018 年四川预赛】已知双曲线x 2 4 - y 2 3 =1，设其实轴端点为A1、A2，点P是双曲线上不同于 7 / 9 学科网（北京）股份有限公司 A1、A2的一个动点，直线P A1、P A2分别与直线x =1交于M 1、M 2两点.证明：以线段M 1、M 2为直 径的圆必经过定点. 24．【2018 年浙江预赛】已知动直线l 与圆O：x 2+ y 2=1相切，与椭圆x 2 9 + y 2=1相交于不同的两点A，B. 求原点到AB 的中垂线的最大距离. 25．【2018 年辽宁预赛】如图所示，在平面直角坐标系xOy，设点M ( x0, y0)是椭圆C : x 2 4 + y 2=1上一点， 左右焦点分别是F1、F2 ，从原点O 向圆M：( x - x0) 2+( y - y0) 2=r 2(0<r <1)作两条切线分别与椭圆C 交于点P、Q，直线OP、OQ 的斜率分别记为k1、k2. (1)设直线M F1、M F2分别与圆交于A、B 两点，当| A F1|-|B F2|=2r，求点A 的轨迹方程； (2)当k1·k2为定值时，求|OP|·|OQ|的最大值. 26．【2018 年江西预赛】若椭圆x 2 25 + y 2 9 =1上不同的三点A(x1, y1)，B(4 , 9 5)，C (x2, y2)到椭圆右焦 点的距离顺次成等差数列，线段AC的中垂线l 交x轴于点T，求直线BT的方程． 27．【2018 年湖南预赛】设曲线C :| x 2-16 y |=256-16| y |所围成的封闭区域为D. （1）求区域D 的面积； （2）设过点M (0,-16)的直线与曲线C 交于两点P、Q，求| PQ|的最大值. 8 / 9 学科网（北京）股份有限公司 28．【2018 年福建预赛】已知F1、F2 分别为椭圆C : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左、右焦点，点P( 2❑√6 3 ,1) 在椭圆C上，且△F1 P F2 的垂心为H( 2❑√6 3 ,- 5 3) ． （1）求椭圆C的方程； （2）设A为椭圆C的左顶点，过点F2的直线l交椭圆C 于D、D两点．记直线AD、AE的斜率分别为 k1、k2，若k1+ k2=- 1 2 ，求直线l的方程． 29．【2018 年全国】在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线y2=4x 的过点F（1，0）的弦，△AOB 的外 接圆交抛物线于点P（不同于点O，A，B）.若PF 平分∠APB，求|PF|的所有可能值. 30．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A、B 与C、D 分别是 椭圆Γ : x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a>b>0)的左、右顶点与上、下顶点.设P，Q 是Γ上且位于第一象限的两点，满足 OQ∥AP，M 是线段AP 的中点，射线OM 与椭圆交于点R. 证明:线段OQ，OR，BC 能构成一个直角三角形. 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司
