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专题十六
不等式选讲
第四十二讲不等式选讲
答案部分
2019
年
1.解析
解析
解析
解析
解析（）因为
1
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ac
+
+
+
，又
1
abc = ，故有
2
2
2
1
1
1
ab
bc
ca
a
b
c
ab
bc
ca
abc
a
b
c
+
+
+
+
+
+
=
=
+
+
.
所以
2
2
2
1
1
1
a
b
c
a
b
c
+
+
+
+
.
（）因为
2
, ,
a b c 为正数且
1
abc = ，故有
3
3
3
3
3
3
3
(
)
(
)
(
)
3 (
) (
) (
)
a
b
b
c
c
a
a
b
b
c
a
c
+
+
+
+
+
+
+
+
=3( + )( + )( + )
a b b c a c
3 (2
) (2
) (2
)
ab
bc
ac
=24.
所以
3
3
3
(
)
(
)
(
)
24
a
b
b
c
c
a
+
+
+
+
+
.
2
1
．
（
解析
解析
解析
解析
解析
）当
时，
a=1
( )=|
1| +|
2|(
1)
f x
x
x x
x
−
−
−
.
当
1
x 时，
2
( )
2(
1)
0
f x
x
= −
−
；当
1
x 时，
( )
0
f x
.
所以，不等式
( )
0
f x
的解集为 (
,1)
−
.
（）因为
2
( )=0
f a
，所以
1
a
.
当
1
a ，
(
,1)
x−
时，
( )=(
) +(2
)(
)=2(
)(
1)<0
f x
a
x x
x x
a
a
x x
−
−
−
−
−
所以，a 的取值范围是
[1,
)
+.
3．
（
解析
解析
解析
解析
解析
1）由于
2
[(
1)
(
1)
(
1)]
x
y
z
−
+
+
+
+
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
2[(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)]
x
y
z
x
y
y
z
z
x
=
−
+
+
+
+
+
−
+
+
+
+
+
+
−
2
2
2
3 (
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
−
+
+
+
+
，
故由已知得
2
2
2
4
(
1)
(
1)
(
1)
3
x
y
z
−
+
+
+
+
，
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当且仅当x= 5
3
，y=–1
3
，
1
3
z = −
时等号成立．
所以
2
2
2
(
1)
(
1)
(
1)
x
y
z
−
+
+
+
+
的最小值为4
3
.
（2）由于
2
[(
2)
(
1)
(
)]
x
y
z
a
−
+
−
+
−
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
2[(
2)(
1)
(
1)(
)
(
)(
2)]
x
y
z
a
x
y
y
z
a
z
a x
=
−
+
−
+
−
+
−
−
+
−
−
+
−
−
2
2
2
3 (
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
−
+
−
+
−
„
，
故由已知
2
2
2
2
(2
)
(
2)
(
1)
(
)
3
a
x
y
z
a
+
−
+
−
+
−
…
，
当且仅当
4
3
a
x
−
=
，
1
3
a
y
−
=
，
2
2
3
a
z
−
=
时等号成立．
因此
2
2
2
(
2)
(
1)
(
)
x
y
z
a
−
+
−
+
−
的最小值为
2
(2
)
3
a
+
．
由题设知
2
(2
)
1
3
3
a
+
… ，解得
3
a
−
„
或
1
a
−
…
．
2010-2018
年
1．【解析】(1)当
1
a =
时，
( ) |
1|
|
1|
f x
x
x
=
+
−
−
，即
2,
1,
( )
2 , 1
1,
2,
1.
−
−
=
−
≤
≥
x
f x
x
x
x
故不等式
( )
1
f x
的解集为
1
{ |
}
2
x x
．
(2)当
(0,1)
x
时
|
1|
|
1|
x
ax
x
+
−
−
成立等价于当
(0,1)
x
时
|
1| 1
ax −
成立．
若
0
≤
a
，则当
(0,1)
x
时
|
1|
1
−≥
ax
；
若
0
a
，
|
1| 1
ax −
的解集为
2
0
x
a
，所以2
1
≥
a
，故
0
2
≤
a
．
综上，a 的取值范围为(0,2] ．
2．【解析】(1)当
1
=
a
时，
2
4,
1,
( )
2, 1
2,
2
6,
2.
+
−
=
−
−
+
≤
≤
x
x
f x
x
x
x
可得
( )
0
≥
f x
的解集为
{ | 2
3}
−≤≤
x
x
．
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(2)
( )
1
≤
f x
等价于
|
|
|
2|
4
+
+
−
≥
x
a
x
．
而
|
|
|
2| |
2|
+
+
−
+
≥
x
a
x
a
，且当
2
=
x
时等号成立．故
( )
1
≤
f x
等价于
|
2|
4
+
≥
a
．
由
|
2|
4
+
≥
a
可得
6
−
≤
a
或
2
≥
a
，所以a 的取值范围是
(
, 6]
[2,
)
−−
+．
3．【解析】(1)
1
3 ,
,
2
1
( )
2,
1,
2
3 ,
1.
x x
f x
x
x
x x
−
−
=
+
−
≤
≥
( )
y
f x
=
的图像如图所示．
(2)
(1)
由
知，
( )
y
f x
=
的图像与y
轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大
2
值为
，故当且仅当
3
3
a≥且
2
b≥
时，
( )
f x
ax
b
+
≤
在
[0,
)
+成立，因此a
b
+
的
最小值为．
5
4
D
．．【 证明】由柯西不等式，得
2
2
2
2
2
2
2
(
)(1
2
2 )
(
2
2 )
x
y
z
x
y
z
+
+
+
+
+
+
≥
．
因为
2
2 =6
x
y
z
+
+
，所以
2
2
2
4
x
y
z
+
+
≥，
当且仅当
1
2
2
x
y
z
=
=
时，不等式取等号，此时
2
4
4
3
3
3
x
y
z
=
=
=
，
，
，
所以
2
2
2
x
y
z
+
+
的最小值为．
4
5．【解析】（1）当
1
a =
时，不等式
( )
( )
f x
g x
≥
等价于
2
|
1|
|
1| 4
0
x
x
x
x
−+
+
+
−
−≤
．①
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当
1
x −时，①式化为
2
3
4
0
x
x
−
−≤
，无解；
当
1
1
x
−≤≤时，①式化为
2
2
0
x
x
−
−≤
，从而
1
1
x
−≤≤；
当
1
x
时，①式化为
2
4
0
x
x
+
−≤
，从而
1
17
1
2
x
−+
≤
．
所以
( )
( )
f x
g x
≥
的解集为
1
17
{ | 1
}
2
x
x
−+
−
≤
．
（）当
2
[ 1,1]
x−
时，
( )
2
g x =
．
所以
( )
( )
f x
g x
≥
的解集包含 [ 1,1]
−
，等价于当
[ 1,1]
x−
时
( )
2
f x ≥
．
又
( )
f x 在 [ 1,1]
−
的最小值必为
( 1)
f −
与
(1)
f
之一，
所以
( 1)
2
f −
≥
且
(1)
2
f
≥，得
1
1
a
−≤≤．
所以a 的取值范围为 [ 1,1]
−
．
6．【解析】（1）
5
5
6
5
5
6
(
)(
)
a
b a
b
a
ab
a b
b
+
+
=
+
+
+
3
3 2
3
3
4
4
(
)
2
(
)
a
b
a b
ab a
b
=
+
−
+
+
2
2 2
4
(
)
ab a
b
=
+
−
4
≥
（）∵
2
3
3
2
2
3
(
)
3
3
a
b
a
a b
ab
b
+
=
+
+
+
2
3
(
)
ab a
b
=
+
+
2
3(
)
2
(
)
4
a
b
a
b
+
+
+
≤
3
3(
)
2
4
a
b
+
=
+
，
所以
3
(
)
8
a
b
+
≤，因此
2
a
b
+ ≤．
7．【解析】（1）
3,
1
( )
2
1, 1
2
3,
2
x
f x
x
x
x
−
−
=
−
−
≤
≤
，
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当
1
x −时，
( )
f x 1
≥无解；
当
x
−1
2
≤≤时，由
( )
f x 1
≥得，
x−
2
1
1
≥，解得
x
1
2
≤≤
当＞2
x
时，由
( )
f x 1
≥解得＞2
x
．
所以
( )
f x 1
≥的解集为
x x
1
≥
．
（）由
2
( )
f x
x
x
m
−+
2
≥
得
m
x
x
x
x
+ −
−
−
+
2
1
2
≤
，而
x
x
x
x
x
x
x
x
+ −
−
−
+
−−
+
2
2
1
2
+1+
2
≤
x
2
3
5
5
=-
-
+
2
4
4
≤
且当
3
2
x =
时，
2
5
1
2
= 4
x
x
x
x
+
−
−
−
+
．
故
的取值范围为
m
5
- ，4
．
8．【解析】证明：由柯西不等式可得：
2
2
2
2
2
(
)
(
)(
)
ac
bd
a
b
c
d
+
+
+
≤
，
因为
2
2
2
2
4,
16,
a
b
c
d
+
=
+
=
所以
2
(
)
64
ac
bd
+
≤
，
因此
8
ac
bd
+
≤
.
9．【解析】(1)如图所示：
(2)
( )
4
1
3
3
2
1
2
3
4
2
x
x
f x
x
x
x
x
−
−
=
−
−
−
，≤
，
，≥
，
( )
1
f x ．
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当
1
x
−
≤
，
4
1
x −
，解得
5
x
或
3
x
，
1
x
−
∴≤
．
当
3
1
2
x
−
，
3
2
1
x −
，解得
1
x 或
1
3
x
，
1
1
3
x
−
∴
或
3
1
2
x
，
当
3
2
x≥
，4
1
x
−
，解得
5
x
或
3
x
，
3
3
2
x
∴≤
或
5
x
，
综上，
1
3
x
或1
3
x
或
5
x
，
( )
1
f x
∴
，解集为
(
)
(
)
1
1
3
5
3
−
+
，
，
，
．
10．【解析】（I）当
1
2
x −
时，
( )
1
1
2
2
2
f x
x
x
x
=
−
−
−
= −
，若
1
1
2
x
−
−
；
当
1
1
2
2
x
−
≤≤
时，
( )
1
1
1
2
2
2
f x
x
x
=
−
+
+
=
恒成立；
当
1
2
x
时，
( )
2
f x
x
=
，若
( )
2
f x
，1
1
2
x
<
．
综上可得，
| 1
1
M
x
x
=
−
．
（Ⅱ）当
(
)
1 1
a
b−
，
，时，有
(
)(
)
2
2
1
1
0
a
b
−
−
，
即
2
2
2
2
1
a b
a
b
+
+
，
则
2
2
2
2
2
1
2
a b
ab
a
ab
b
+ +
+
+
+
，
则
(
)
(
)
2
2
1
ab
a
b
+
+
，
即
1
a
b
ab
+
+
，
证毕．
11．【解析】（Ⅰ）当
2
a =
时，
( ) | 2
2| 2
f x
x
=
−
+ .
解不等式
|2
2| 2
6
x −
+ „
，得1
3
x
− 剟
.
因此，
( )
6
f x
的解集为
{ | 1
3}
x
x
− 剟
.
（Ⅱ）当x
R
时，
( )
( ) | 2
|
|1 2 |
f x
g x
x
a
a
x
+
=
−
+ +
−
|2
1
2 |
x
a
x
a
−
+ −
+
…
|1
|
a
a
=
−
+ ，当
1
2
x =
时等号成立，
所以当x
R
时，
( )
( )
3
f x
g x
+
… 等价于
|1
|
3
a
a
−
+ …
.
①
当
1
a „
时，①等价于1
3
a
a
−
+
… ，无解.
当
1
a
时，①等价于
1
3
a
a
−+
… ，解得
2
a… .
所以a 的取值范围是
[2,
)
+.
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12．【解析】（Ⅰ）当
1
a =
时，不等式
( )
1
f x
化为
|
1| 2|
1| 1
0
x
x
+
−
−
−
，
当
1
x
−
≤
时，不等式化为
4
0
x−
，无解；
当
1
1
x
−
时，不等式化为
3
2
0
x−
，解得2
1
3
x
；
当
1
x≥时，不等式化为 2
0
x
−+
，解得
1
2
x
≤
．
所以
( )
1
f x
的解集为
2
{ |
2}
3
x
x
．
（）有题设可得，
Ⅱ
1 2 ,
1
( )
3
1
2 , 1
1
2 ,
x
a x
f x
x
a
x
a
x
a x
a
−−
−
=
+ −
−
−+ +
≤≤
，所以函数
( )
f x 图象与x 轴围成
的三角形的三个顶点分别为
2
1
(
,0), (2
1,0), ( ,
1)
3
a
A
B
a
C a a
−
+
+
，ABC
的面积为
2
2 (
1)
3
a +
．有题设得
2
2
(
1)
6
3
a +
，故
2
a
．所以a 的取值范围为
(2,
)
+．
13．【解析】（Ⅰ）∵
2
(
)
2
a
b
a b
ab
+
=
+ +
，
2
(
)
2
c
d
c d
cd
+
= +
+
，
由题设
a
b
c
d
+
= +
，
ab
cd
得
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
+
+
．
因此
a
b
c
d
+
+
．
（Ⅱ）（ⅰ）若
|
| |
|
a
b
c
d
−
−
，则
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
−
−
，
即
2
2
(
)
4
(
)
4
a
b
ab
c
d
cd
+
−
+
−
．
因为
a
b
c
d
+
= +
，所以
ab
cd
，由（Ⅰ）得
a
b
c
d
+
+
．
（ⅱ）若
a
b
c
d
+
+
，则
2
2
(
)
(
)
a
b
c
d
+
+
，
即
2
2
a
b
ab
c
d
cd
+
+
+
+
．
因为
a b
c d
+ = +
，所以
ab
cd
>
，
于是
2
2
2
2
(
)
(
)
4
(
)
4
(
)
a
b
a
b
ab
c
d
cd
c
d
−
=
+
−
+
−
=
−
．
因此
|
| |
|
a
b
c
d
−
−
，
综上
a
b
c
d
+
+
是
|
| |
|
a
b
c
d
−
−
的充要条件．
14．【解析】（I）由
1
1
2
ab
a
b
ab
=
+
，得
2
ab
，且当
2
a
b
=
=
时取等号．
关注微信公众号：加油高三
故
3
3
a
b
+
3
3
2
4 2
a b
，且当
2
a
b
=
=
时取等号．
所以
3
3
a
b
+
的最小值为4 2 ．
（）由（）知，
II
I
2
3
2 6
4 3
a
b
ab
+
．由于
4 3
6
，从而不存在,a b ，
使得
2
3
6
a
b
+
=
．
15．【解析】（I）由
0
a
，有( )
f x
1
1
1
(
)
2
x
x
a
x
x
a
a
a
a
a
=
+
+
−
+
−
−
=
+
．
所以
( )
f x ≥2.
（Ⅱ）
1
(3)
3
3
f
a
a
=
+
+
−
.
当时a ＞时，
3
(3)
f
=
1
a
a
+
，由
(3)
f
＜得＜
5
3
a ＜ 5
21
2
+
．
当＜
0
a ≤3 时，(3)
f
=
1
6
a
a
−
+
，由
(3)
f
＜得
5
1
5
2
+
＜a ≤．
3
综上，a 的取值范围是（1
5
2
+
， 5
21
2
+
）．
16．【解析】Ⅰ
(
)当a =−2时，不等式
( )
f x ＜( )
g x 化为
| 2
1|
| 2
2|
3
0
x
x
x
−
+
−
−−
，
设函数y =
| 2
1|
| 2
2|
3
x
x
x
−
+
−
−−，y=
1
5 ,
2
1
2,
1
2
3
6,
1
x
x
x
x
x
x
−
−−
−
，
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当
(0,2)
x
时，y ＜，
0
y
x
2
1
1
2
关注微信公众号：加油高三
∴原不等式解集是
{ | 0
2}
x
x
．
（Ⅱ）当x ∈[
2
a
−
，1
2
)时，
( )
f x = 1 a
+
，不等式( )
f x ≤( )
g x 化为1
3
a
x
+
+
≤
，
∴
2
x
a −
≥
对x ∈[
2
a
−
，1
2
)都成立，故
2
a
−
≥
2
a −
，即a ≤4
3
，
∴a 的取值范围为(−1，4
3
]
．
17．【解析】（Ⅰ）
2
2
2
2
2
2
2
,
2
,
2
a
b
ab b
c
bc c
a
ca
+
+
+
得
2
2
2
a
b
c
ab
bc
ca
+
+
+
+
由题设得 (
)
2
1
a
b
c
+ +
=
，即
2
2
2
2
2
2
1
a
b
c
ab
bc
ca
+
+
+
+
+
=
．
所以
(
)
3
1
ab bc
ca
+
+
，即
1
3
ab
bc
ca
+
+
（Ⅱ）∵
2
2
2
2 ,
2 ,
2
a
b
c
b
a
c
b
a
c
b
c
a
+
+
+
∴
2
2
2
(
)
2(
)
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
c
a
+
+
+
+
+
+
+
即
2
2
2
a
b
c
a
b
c
b
c
a
+
+
+
+
∴
2
2
2
1
a
b
c
b
c
a
+
+
18．【解析】(1)当
3
a = −时，
( )
3
3
2
3
f x
x
x
−
+
−
厖
2
3
2
3
x
x
x
−
+
−
„
… 或
2
3
3
2
3
x
x
x
−
+
−
… 或
3
3
2
3
x
x
x
−+
−
…
…
1
x
„
或
4
x…
．
(2)原命题
( )
4
f x
x
−
„
在[1,2] 上恒成立
2
4
x
a
x
x
+
+ −
−
„
在[1,2] 上恒成立
2
2
x
a
x
−−
−
剟
在[1,2] 上恒成立
3
0
a
−剟
．
19．【解析】（Ⅰ）当
1
a =
时，
( )
3
2
f x
x
+
可化为
|
1| 2
x −
．
关注微信公众号：加油高三
由此可得
3
x
或
1
x −．
故不等式
( )
3
2
f x
x
+
的解集为
{ |
3
x x
或
1}
x −
．
( Ⅱ) 由
( )
0
f x
得
3
0
x
a
x
−
+
，
此不等式化为不等式组
3
0
x
a
x
a
x
−
+
或
3
0
x
a
a
x
x
−
+
，
即
4
x
a
a
x
≥
≤
或
2
x
a
a
x
−
≤
≤
，
因为
0
a
，所以不等式组的解集为
|
2
a
x x −
，
由题设可得
2
a
−
= 1
−，故
2
a =
．
