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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题36 不等式第五缉
1．【2021 年吉林预赛】设m>0 .若对于满足abc≤1
4 且1
a
2 + 1
b
2 + 1
c
2 <m 的任意一组正数a,b,c,均存在以
a,b,c 为三边长的三角形，求实数m 的最大值，说明理由.
2．【2021 年重庆预赛】设自然数n≥3 ,实数x1, x2,⋯, xn
满足x1+ x2+⋯+ xn=n, x1
2+ x2
2+⋯+ xn
2=n
2 ,
求∑xi
3 最小值及取最小值时的(x1, x2,⋯, xn).
3．【2021 年浙江预赛】设x , y , z>0,❑√x + ❑√y + ❑√z =1 ,证明x
4+ y
2 z
2
x
5
2( y + z)
+ y
4+ z
2 x
2
y
5
2( z + x)
+ z
4+ y
2 x
2
z
5
2( y + x)
≥1 .
4．【2021 年上海预赛】已知正实数a,b 满足a(a+b)=27 ,求a
2b 的最大值.
5．【2021 年全国高中数学联赛B 卷二试】已知a,b,c ,d ∈[0,
4√2),满足:a
3+b
3+c
3+d
3=2,求
a
❑√2-a
4 +
b
❑√2-b
4 +
c
❑√2-c
4 +
d
❑√2-d
4
的最小值.
6．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设正实数a,b,c 满足a
2+ 4 b+9c
2= 4 b+12c -2,求1
a + 2
b + 3
c
的
最小值.
7．【2020 年广西预赛】已知x
3+ y
3+ z
3-3 xyz -
3( x
2+ y
2+ z
2- xy - yz - zx)=0 ,
其中,x、y、z 为不全相等的正实数.证明：
（1）x+y+z=3；
（2）x
2(1+ y )+ y
2(1+ z)+ z
2(1+ x)>6 .
8．【2020 年广西预赛】空间中八个点，其中任意四点不共面，在这些点之间连接17 条线段.证明：在这
17 条线段之中必存在三条线段，其长度a、b、c 满足a
2+b
2+c
2
4
⩾❑√3 p( p-a)( p-b)( p-c) ,其中,
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p= a+b+c
2
.
9．【2020 年吉林预赛】已知正实数x , y , z 满足( x + y + z)xyz = 4.
求( x + y)
2+( y + z)
2+( z + x)
2 的最小值.
10．【2020 年四川预赛】设λ 为正实数，对于任意两两不等的正实数a、b、c,均有
a
3
(b-c)
2 +
b
3
(c -a)
2 +
c
3
(a-b)
2 ⩾λ(a+b+c) .
求λ 的最大值.
11．【2020 年浙江预赛】设{ai},{b j} 为实数列.证明：∑
m,n=1
2020
ambn
(❑√m+ ❑√n)
2 ⩽2(∑
m=1
2020
am
2 )
1
2(∑
n=1
2020
bn
2)
1
2 .
12．【2020 年新疆预赛】已知a,b,c,d 为正实数，且ab+bc+cd +da=1 ,
求证:
a
3
b+c +d +
b
3
a+c +d +
c
3
a+b+d +
d
3
a+b+c ≥1
3
13．【2019 年新疆预赛】给定正实数0<a<b，设x1, x2, x3, x4∈[a,b].试求
x1
2
x2
+ x2
2
x3
+ x3
2
x4
+ x4
2
x1
x1+ x2+ x3+ x4
的最小值与
最大值.
14 ．【2019 年浙江预赛】设ai,bi>0(1≤i≤n+1),bi+1-bi≥δ >0(δ为常数). 若∑
i=1
n
ai=1，证明:
∑
i=1
n i
i√a1a2⋯aib1b2⋯bi
bi+1bi
< 1
δ
15．【2019 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设正实数a1, a2,⋯, a100满足ai⩾a101-i(i=1,2,⋯,50).记
xk =
k ak +1
a1+a2+⋯+ak
(k =1,2,⋯,99).证明:x1 x2
2⋯x99
99⩽1.
16．【2018 年福建预赛】已知a，b，c∈R，且3a2+3b2+4c2=60.
（1）求 a+b+c 的最大值
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（2）若a，b∈(0，4)，c∈(0，6)，求a
4 -a +
b
4 -b + 3c
6-c
的最小值
17．【2018 年贵州预赛】证明：（1）1
2
k +
1
2
k +1
+
1
2
k +2
+…+
1
2
k +1-1
<1（k≥2，k∈N）；
（2）分别以1，1
2 ，1
3
，……，1
n
，……为边长的正方形能互不重叠地全部放入一个边长为3
2
的正方形内．
18．【2018 年重庆预赛】设a1=2，an+1=an
2-an+1．证明：1-
1
2018
2018 <∑
n=1
2018 1
an
<1．
19．【2018 年陕西预赛】设a,b,c>0.证明：a(a
2+bc)
b+c
+ b(b
2+ca)
c +a
+ c(c
2+ab)
a+b
≥ab+bc +ca
.
20．【2018 年陕西预赛】设a,b,c>0.证明：a(a
2+bc)
b+c
+ b(b
2+ca)
c +a
+ c(c
2+ab)
a+b
≥ab+bc +ca
.
21．【2018 年陕西预赛】设a,b,c>0.证明：a(a
2+bc)
b+c
+ b(b
2+ca)
c +a
+ c(c
2+ab)
a+b
≥ab+bc +ca
.
22．【2018 年安徽预赛】⑴求证：对于任意实数x、y、z 都有x
2+2 y
2+3 z
2≥❑√3(xy + yz+ zx).
⑵是否存在实数k >❑√3，使得对于任意实数x、y、z 有x
2+2 y
2+3 z
2≥k (xy + yz+ zx)恒成立？试证明你的
结论.
23．【2018 年湖北预赛】已知正数a、b满足a+b=1，求M =
❑√1+2a
2+2❑√(
5
12)
2
+b
2的最小值.
24．【2018 年吉林预赛】设x，y，z≥0，且至多有一个为0，求
f (x , y , z)= ❑√
x
2+256 yz
y
2+ z
2
+ ❑√
y
2+256 zx
z
2+ x
2
+ ❑√
z
2+256 xy
x
2+ y
2
的最小值.
25．【2018 年河北预赛】若a、b、c 为正数且a+6+c=3，证明： ab+bc +ca⩽❑√a+ ❑√b+ ❑√c⩽3
26．【2018 年四川预赛】设x、y 、z为正实数，求(x + 1
y + ❑√2)( y + 1
z + ❑√2)(z + 1
x + ❑√2)
的最小值.
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27．【2018 年浙江预赛】设a∈R，且对任意实数b 均有max
x∈[0,1]|x
2+ax +b|≥1，求a 的取值范围.
28．【2018 年辽宁预赛】已知实数a、b、c 满足a
2+b
2+c
2=1，求M =a
2bc +ab
2c +abc
2的最大值和最
小值.
29．【2018 年山西预赛】已知在正整数n 的各位数字中，共含有a1个1，a2个2，⋯，an个n．证明：
2
a1×3
a2×⋯×10
a9≤n+1并确定使等号成立的条件．
30 ．【2018 年全国】设n 是正整数，a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn, A ,B均为正实数，满足
a1≤b1,a1≤A ,i=1,2,⋯,n，且b1b2⋯bn
a1a2⋯an
≤B
A
.
求证：(b1+1)(b2+1)⋯(bn+1)
(a1+1)(a2+1)⋯(an+1)
≤B+1
A +1
.
31．【2018 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设a、b 是实数，函数f ( x)=ax +b+ 9
x
，证明:存在
x0∈[1,9]，使得|f (x0)|⩾2.
32．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设k、m 为实数，不等式|x
2-kx -m|⩽1对所有x∈[a，b]成
立.证明:b-a⩽2❑√2.
33．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设x1, x2, x3是非负实数，满足x1+ x2+ x3=1，求
(x1+3 x2+5 x3)(x1+ x2
3 + x3
5 )
的最小值和最大值.
34．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设不等式|2
x -a|<|5-2
x|对所有x∈[1，2]成立，求实数a 的
取值范围.
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