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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题37 不等式第六缉
1．【2017 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设实数a、b、c 满足a+b+c=0.令d =max {|a|,|b|,|c|}，证明:
|(1+a)(1+b)(1+c)|⩾1-d
2.
2．【2017 年天津预赛】如果整数n≥2,证明:(1+ 1
2
2)(1+ 1
3
2)⋯(1+ 1
n
2)<2.
3．【2017 年辽宁预赛】已知x + y =1,问:当实数x、y为何值时(x
3+1)( y
3+1)取得最大值.
4．【2017 年山东预赛】实数x , y ∈(1,+ ∞),且xy -2 x - y +1=0,求3
2 x
2+ y
2的最小值.
5．【2017 年福建预赛】设a1,a2、a3、a4、a5是5 个正实数(可以相等).证明:一定存在4 个互不相同的下
标i, j ,k ,l,使得|
ai
a j
- ak
al|< 1
2
.
6．【2017 年四川预赛】设α , β为实数,若对任意的实数x , y , z,有α (xy + yz + zx)≤M ≤β(x
2+ y
2+ z
2)恒成
立,其中M =
❑√x
2+ xy + y
2⋅
❑√y
2+ yz + z
2+
❑√y
2+ yz + z
2⋅
❑√z
2+ zx + x
2+
❑√z
2+ zx + x
2⋅
❑√x
2+ xy + y
2.
求α
的最大值和β的最小值.
7．【2017 年陕西预赛】设a、b、c为正实数,且满足(a+b)(b+c)(c +a)=1.求证:
a
2
1+ ❑√bc +
b
2
1+ ❑√ca +
c
2
1+ ❑√ab ≥1
2 .
8．【2017 年安徽预赛】设x , y ∈[0,1],求f (x , y)= ❑√
1+ xy
1+ x
2 + ❑√
1- xy
1+ y
2
的取值范围.
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9．【2017 年江苏预赛】已知x , y ∈R,且x
2+ y
2=2,|x|≠|y|.求
1
(x + y)
2 +
1
(x - y)
2
的最小值.
10．【2017 年新疆预赛】已知正数x、y 、z满足x + y + z =1.求证:对任意正整数n,有x
n+ y
n+ z
n≥1
3
n-1.
11．【2017 年新疆预赛】(1)对于任意的a,b>0,求证: 1
a+b ≤1
4(
1
a + 1
b)
.
(2)设x1, x2, x3>0,且1
x1
+ 1
x2
+ 1
x3
=1.求证: x1+ x2+ x3
x1 x3+ x3 x2
+ x1+ x2+ x3
x1 x2+ x3 x1
+ x1+ x2+ x3
x2 x1+ x3 x2
≤3
2
.
12．【2017 年内蒙古预赛】已知：a,b,c,均为正实数,求证:2❑√bc +ca+ab≤❑√3
3√(b+c)(c +a)(a+b).
13．【2016 年陕西预赛】记“∑”表示轮换对称和.设a、b、c 为正实数，且满足abc=1.对任意整数n≥2，
证明： ∑
a
n√b+c
≥3
n√2
.
14．【2016 年山东预赛】证明：sin 1
n +sin 2
n > 3
n sin 1
n (n∈Z+).
15
．
【
2016
年
安
徽
预
赛
】
证
明
：
对
任
意
实
数
a
、
b
、
c
，
均
有
❑√a
2+ab+b
2+
❑√a
2+ac +c
2 ≥
❑√3a
2+(a+b+c)
2，并求等号成立的充分必要条件.
16．【2016 年新疆预赛】已知∑
i=1
n
ai xi= p,∑
i=1
n
ai=q,且ai>0(i=1,2,…,n), p、q为常数求∑
i=1
n
ai xi
2的最小
值.
17．【2016 年天津预赛】设f (x)=
x
x +1
,令a1= 1
2 ,a2= 3
4 ,an+2= f (an)+ f (an+1)(n=1,2,...)，证明:对任何正
整数n,有f (3×2
n-1)≤a
2n≤f (3×2
2n-2).①
18．【2016 年山西预赛】已知在正整数n 的各位数字中，共含有a1个1，a2个2，⋯，an个n．证明：
2
a1×3
a2×⋯×10
a9≤n+1并确定使等号成立的条件．
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19 ．【2016
年全国】设实数a1,a2,⋯,a2016
满足9ai>11ai+1
2
(i=1,2,⋯,2015). 求
(a1-a2
2)(a2-a3
2)⋯(a2015-a2016
2
)(a2016-a1
2)的最大值.
20．【2016 年吉林预赛】一次竞赛共有n 道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有
两名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求n
的最大值.
21．【2016 年上海预赛】正实数x、y、z 满足¿，求1
x + 2
y + 3
z
的最大值。
22．【2016 年浙江预赛】设函数f (x)= x
2-(k
2-5ak +3) x +7（a、k ∈R）。对于任意的k ∈[0,2]，
若x1、x2
满足x1∈[k ,k +a]，x2∈[k +2a,k + 4 a]，则f (x1)≥f (x2)。求正实数a的最大值。
23．【2016 年四川预赛】已知a、b、c 为正实数.证明：abc≥
a+b+c
1
a
2 + 1
b
2 + 1
c
2
≥(a+b-c)(b+c -a)(c +a-b)
.
24．【2016 年辽宁预赛】若1ga+lgb+lgc=0,证明:1<
a
a+1 +
b
b+1 +
c
c +1 <2.
25．【2016 年河南预赛】已知实数x、y满足2
x+3
y = 4
x+9
y.试求U =8
x+27
y的取值范围。
26．【2015 年全国】如实数a、b、c满足2
a+ 4
b=2
c，4
a+2
b= 4
c，求c的最小值.
27．【2015 年全国】设a1,a2,⋅⋅⋅,an(n≥2)的实数.证明：可以选取ε1,ε2,⋅⋅⋅,εn∈{1,-1}，使得
(∑
i=1
n
ai)
2+(∑
i=1
n
εiai)
2≤(n+1)(∑
i=1
n
ai
2).
28．【2015 年天津预赛】设f (x)= x + 1
x - ❑√2.证明：对任意的x∈(
❑√2
2 ,1]
，有❑√2
2 <f (f (x))< x.
29．【2015 年安徽预赛】设正实数a、b满足a+b=1，证明：❑√a
2+ 1
a + ❑√b
2+ 1
b ≥3.
30．【2015 年北京预赛】满足系数p、q为整数，且根为无理数α1、α2的二次三项式x
2+ px +q称为无理
二次三项式.求所有无理二次三项式中根的绝对值之和的最小值.
31．【2015 年辽宁预赛】设实数a、b、λ满足0<a<b,0≤λ≤1.证明:
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(1) lna+1≤aIna-bInb
a-b
≤Inb+1;
(2)[ λa+(1- λ)b]ln[ λa+(1- λ)b]≤λalna+(1- λ)blnb.
32．【2015 年江苏预赛】设多项式f (x)= x
3+a x
2+bx +c (a、b、c∈R).若对于任意的非负实数x、y，
有f (x + y)≥f (x)+ f ( y)求a、b、c 所满足的条件.
33 ．【2015 年江苏预赛】求所有的正整数n ，使得对于任意正实数a 、b 、c 满足a+b+c=1 ，有
abc(a
n+b
n+c
n)≤1
3
n+2
34．【2015 高中数学联赛（第01 试）】若实数a，b，c 满足2
a+ 4
b=2
c,4
a+2
b= 4
c，求c 的最小值.
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