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《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解
责编：赵炜
【学习目标】
1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质；
2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法；
3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组；
4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题；
5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是学
习数学的一种重要途径.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、不等式
1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.
要点诠释：
（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如
，
等；另一种是用
数轴表示，如下图所示：
（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或
)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或
)．
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要点二、一元一次不等式
1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次
数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，
要点诠释：ax+b＞0 或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．
2.解法：
解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.
要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边
界点，二是定方向，三是定空实.
3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：
（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；
（2）设：设出适当的未知数；
（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”
“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；
（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；
（5）解：解出所列的不等式的解集；
（6）答：检验是否符合题意，写出答案.
要点诠释：
列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、
“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题
的关键.
要点三、一元一次不等式组
关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.
要点诠释：
（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.
（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.
（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共
部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.
（4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组
的解集及实际意义确定问题的答案．
【典型例题】
类型一、不等式
1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；
（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；
（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；
（4）若ac2＞bc2，则a＞b；
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（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若a＞b＞0，则＜．
．
【答案与解析】
解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5 不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0 时则 ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改
变．
2. 设x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中
最小的正整数x 或y 的值是多少?
【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
【答案与解析】
解：可利用作差比较法比较大小．
-(8-l0x)-[ -(8-l0y)]
=-8+10x+8-10y
=10x -10y．
∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0
∴-(8-l0x)>-(8-l0y)．
按题意-(8-l0x)>0，则10x>8．
∴
．
∴x 的最小正整数值是1．
【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断：
①
②
③
举一反三：
【变式】己知：x<0.5，比较2-4x 和18x-9 的大小.
【答案】
解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x
而又∵x<0.5，∴-22x>-11
即11-22x>0
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∴2-4x>18x-9
类型二、一元一次不等式
【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例3（3）】
3. 已知关于x 的不等式
的解集是
，求a 的取值范围.
【答案与解析】
解：法一：
，
，
∵它的解集为
，
，
.
法二：
是关于x 方程
的解，
，解得
.
【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解.
举一反三：
【变式1】如果关于ｘ的不等式
正整数解为1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样的值?
【答案】解不等式得：
∵ｋ为正整数且
中的正整数解为1，2，3
∴
∴
．
【变式2】如果关于x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，那么a 的取值范围是
．
【答案】解：∵（a+1）x＞a+1 的解集为x＜1，
∴a+1＜0，
∴a＜﹣1．
类型三、一元一次不等式组
4.（2016•德州）解不等式组：
．
【思路点拨】求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【答案与解析】
解：解不等式5x+2≥3（x
1
﹣），得：x≥﹣
，
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解不等式1﹣
＞x
2
﹣，得：x＜
，
故不等式组的解集为：﹣
≤x＜
．
【总结升华】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【高清课堂：一元一次不等式章节复习 410551 例4（2）】
举一反三：
【变式】若关于不等式组
只有四个整数解，求a 的取值范围.
【答案】
解：由
，得
，
由
，得
，
∴不等式组的解集为
，
∵只有四个整数解，∴
，即
，
∴a 的取值范围：
.
5. 某家电商场计划用32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机
共15 台．三种家电的进价和售价如下表所示：
价格
种类
进价（元/台）
售价（元/台）
电视机
2000
2100
冰 箱
2400
2500
洗衣机
1600
1700
(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大
于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?
(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13％领取补贴．在(1)的条件下，如果这
15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?
【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各x 台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词：“不
大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据x 的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出
(1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴．
【答案与解析】
解：(1)设购进电视机、冰箱各x 台．
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依题意，得
解这个不等式组得，6≤x≤7
∵ x 为正整数．∴ x＝6 或7．
方案一：购进电视机和冰箱各6 台，洗衣机3 台；
方案二：购进电视机和冰箱各7 台，洗衣机1 台．
(2)方案1 需补贴：
(6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)．
方案二需补贴：
(7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)．
∴ 国家财政最多需补贴农民4407 元．
【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不等式
(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案．
类型四、综合应用
6.已知不等式组
的解集为
，试求m，n 的值．
【答案与解析】
解：解不等式
，得
．
解不等式 n-4(x-1)＜1，得
．
因为不等式组的解集为
，
所以有
， ∴
．
答：m、n 的值分别1 和3．
【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题意，
建立关于m、n 的方程求解．
7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了A、B 两类蔬菜，两种植户种
植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：
种植户
种植A 类蔬菜面积(单位：
亩)
种植B 类蔬菜面积(单
位：亩)
总收入(单位：元)
甲
3
1
12500
乙
2
3
16500
说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等．
(1)求A、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元?
(2)某种植户准备租20 亩地用来种植A、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于63000 元，且
种植A 类蔬菜的面积多于种植B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植
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户所有租地方案．
【答案与解析】
解：(1)设A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是x 元，y 元．
由题意得：
解得
答：A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是3000 元，3500 元．
(2)设用来种植A 类蔬菜的面积a 亩，则用来种植B 类蔬菜的面积为(20-a)亩．
由题意得：
解得：10＜a≤14．
∵ a 取整数为：11、12、13、14．
∴ 租地方案为：
类别
种植面积单位：（亩）
A
11
12
13
14
B
9
8
7
6
【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表，能
够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键．
举一反三：
【变式】某花农培育甲种花木2 株，乙种花木3 株，共需成本1700 元；培育甲种花木3 株，乙
种花木1 株，共需成本1500 元．
（1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？
（2）据市场调研，1 株甲种花木售价为760 元， 1 株乙种花木售价为540 元．该花农决定
在成本不超过30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲种花木的
3 倍还多10 株,那么要使总利润不少于21600 元，花农有哪几种具体的培育方案？
【答案】
解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为x 元和y 元．
由题意得：
， 解得：
．
（2）设种植甲种花木为a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株．
则有：
解得：
由于a 为整数，∴a 可取18 或19 或20，所以有三种具体方案：
①种植甲种花木18 株，种植乙种花木3a+10=64 株；
②种植甲种花木19 株，种植乙种花木3a+10=67 株；
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③种植甲种花木20 株，种植乙种花木3a+10=70 株.
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