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让更多的孩子得到更好的教育
《勾股定理》全章复习与巩固（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边a
b
、的平方和等于斜边c 的平方.（即：
2
2
2
a
b
c
）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
要点二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a
b
c
、、，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证：
2
2
a
b
与
2c
是否具有相等关系：
若
2
2
2
a
b
c
，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；
若
2
2
2
a
b
c
＞
时，△ABC 是锐角三角形；
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若
2
2
2
a
b
c
＜
时，△ABC 是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点诠释：
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果(a
b
c
、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形
必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为a
b
c
、、，且a
b
c
，那么存在
2
a
b
c
成立.（例如④中存在
2
7 ＝24＋25、
2
9 ＝40＋41 等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的应用
1、如图所示，等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，E、F 为AB 上两点(E 左F 右)，且∠ECF
＝45°，求证：
2
2
2
AE
BF
EF
.
【思路点拨】由于∠ACB＝90°，∠ECF＝45°，所以∠ACE＋∠BCF＝45°，若将∠ACE 和
∠BCF 合在一起则为一特殊角45°，于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并，或将
△BCF 绕C 点旋转到△ACE 的左外侧合并，旋转后的BF 边与AE 边组成一个直角，联想勾
股定理即可证明．
【答案与解析】
解：(1)
2
2
2
AE
BF
EF
，理由如下：
将△BCF 绕点C 旋转得△ACF′，使△BCF 的BC 与AC 边重合，
即△ACF′≌△BCF，
∵ 在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴ ∠CAF′＝∠B＝45°，∴ ∠EAF′＝90°．
∵ ∠ECF＝45°，∴ ∠ACE＋∠BCF＝45°．
∵ ∠ACF′＝∠BCF，∴ ∠ECF′＝45°．
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在△ECF 和△ECF′中
45
CE
CE
ECF
ECF
CF
CF
°
∴ △ECF≌△ECF′(SAS)，∴ EF＝EF′．
在Rt△AEF′中，
2
2
2
AE
F A
F E
，
∴
2
2
2
AE
BF
EF
．
【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角，(如平角内含直角，90°角内含45°角，120°角
内含60°角)，则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角，然后利用角平分
线、全等三角形等知识解决问题．
举一反三：
【变式】已知凸四边形ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD＝DC，
求证：
2
2
2
BD
AB
BC
.
【答案】
解：将△ABD 绕点D 顺时针旋转60°．
由于DC＝AD，故点A 转至点C．点B 转至点E，连结BE．
∵ BD＝DE，∠BDE＝60°
∴ △BDE 为等边三角形，BE＝BD
易证△DAB≌△DCE，∠A＝∠2，CE＝AB
∵ 四边形ADCB 中∠ADC＝60°，∠ABC＝30°
∴ ∠A＋∠1＝360°－60°－30°＝270°
∴ ∠1＋∠2＝∠1＋∠A＝270°
∴ ∠3＝360°－(∠1＋∠2)＝90°
∴
2
2
2
BC
CE
BE
∴
2
2
2
BC
AB
BD
2、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，
PA=3，求∠BPC 的度数．
【答案与解析】
解：如图，做∠ECB=∠PCA，且使CE=CP，连结EP，EB
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在△APC 和△BEC 中
PCA
ECB
AC
BC
PC
EC
∴△APC≌△BEC
∴△PCE 为等腰直角三角形
∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8
又∵PB2=1，BE2=9
∴PE2+ PB2= BE2
则∠BPE=90°
∴∠BPC=135°
【总结升华】本题考查了勾股定理的逆定理，通过观察所要求的角度，作出辅助线，把PA、
PB、PC 的长度转化为一个三角形三条边，构造出直角三角形是解题的关键，当然此题也可以
利用旋转的思想来解，即将△APC 绕点C 旋转，使CA 与CB 重合即△APC≌△BEC.
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
3、
（2016 春•丰城市期末）如图，已知四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，
AD=13，求四边形ABCD 的面积．
【思路点拨】连接AC，在直角三角形ABC 中，由AB 及BC 的长，利用勾股定理求出AC 的长，
再由AD 及CD 的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ACD 为直角三角形，根据四边形
ABCD 的面积=直角三角形ABC 的面积+直角三角形ACD 的面积，即可求出四边形的面积．
【答案与解析】
解：连接AC，如图所示：
∵∠B=90°，
∴△ABC 为直角三角形，
又∵AB=3，BC=4，
∴根据勾股定理得：AC2=25，
又∵CD=12，AD=13，
∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，
∴CD2+AC2=AD2，
∴△ACD 为直角三角形，∠ACD=90°，
则S 四边形ABCD=S
ABC
△
+S
ACD
△
=
AB•BC+
AC•CD=
×3×4+
×5×12=36．
故四边形ABCD 的面积是36．
【总结升华】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的
逆定理是解本题的关键．
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4、如图：正方形ABCD 中，E 是DC 中点，F 是EC 中点.求证：∠BAF=2∠EAD.
【答案与解析】
证明：取BC 中点G，连结AG 并延长交DC 延长线于H
∵ ∠ABG=∠HCG，BG=CG，∠AGB=∠HGC
∴ △GAB≌△HCG
∴ ∠GAB=∠H，AB=CH
又∵ AB=AD，∠B=∠D，BG=DE
∴ △ABG≌△ADE
∴ ∠GAB=∠DAE
在Rt
ADF
△
中，设AD
a
，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
2
3
25
(
)
4
16
5
4
AF
AD
DF
a
a
a
AF
a
∴
又
5
4
4
a
HF
CH
CF
a
a
∴ AF=HF
∴ ∠FAH=∠H
∴ ∠FAH=∠DAE
∴ ∠BAF=2∠DAE
【总结升华】要证∠BAF=2∠EAD，一般方法是在∠BAF 中取一个角使之等于∠EAD，再证
明另一个角也等于∠EAD，另一种方法是把小角扩大一倍，看它是否等于较大的角.
举一反三：
【变式】（2014 春•防城区期末）如图所示，在△ABC 中，AB：BC：CA=3：4：5，且周长为
36cm，点P 从点A 开始沿边向B 点以每秒1cm 的速度移动；点Q 从点B 沿BC 边向点C 以
每秒2cm 的速度移动，如果同时出发，问过3 秒时，△BPQ 的面积为多少？
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【答案】
解：设AB 为3xcm，BC 为4xcm，AC 为5xcm，
∵周长为36cm，
AB+BC+AC=36cm，
∴3x+4x+5x=36，
得x=3，
∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，
∵AB2+BC2=AC2，
∴△ABC 是直角三角形，
过3 秒时，BP=9
3×1=6
﹣
（cm），BQ=2×3=6（cm），
∴S△PBQ= BP•BQ= ×（9
3
﹣）×6=18（cm2）．
故过3 秒时，△BPQ 的面积为18cm2．
类型三、勾股定理的实际应用
5、如图所示，牧童在A 处放牛，其家在B 处，A、B 到河岸的距离分别为AC＝400 米，
BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从A 处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，所走
路程最短？最短路程是多少？
【思路点拨】作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB，交CD 于点E，利用“两点之间线段
最短”可知应在E 处饮水，再根据对称性知GB 的长为所走的最短路程，然后构造直角三角
形，利用勾股定理可解决．
【答案与解析】
解：作点A 关于直线CD 的对称点G，连接GB 交CD 于点E，由“两点之间线段最短”可以
知道在E 点处饮水，所走路程最短．说明如下：
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在直线CD 上任意取一异于点E 的点I，连接AI、AE、BE、BI、GI、GE．
∵ 点G、A 关于直线CD 对称，∴ AI＝GI，AE＝GE．
由“两点之间线段最短”或“三角形中两边之和大于第三边”可得GI＋BI＞GB＝AE
＋BE，于是得证．
最短路程为GB 的长，自点B 作CD 的垂线，自点G 作BD 的垂线交于点H，在直角三角
形GHB 中，
∵ GH＝CD＝800，BH＝BD＋DH＝BD＋GC＝BD＋AC＝200＋400＝600，
∴ 由勾股定理得
2
2
2
2
2
800
600
1000000
GB
GH
BH
．
∴ GB＝1000，即最短路程为1000 米．
【总结升华】这是一道有关极值的典型题目．解决这类题目，一方面要考虑“两点之间线段最
短”；另一方面，证明最值，常常另选一个量，通过与求证的那个“最大”“最小”的量进行
比较来证明，如本题中的I 点．本题体现了勾股定理在实际生活中的应用．
举一反三：
【变式】如图所示，正方形ABCD 的AB 边上有一点E，AE＝3，EB＝1，在AC 上有一点P，使
EP＋BP 最短．求EP＋BP 的最小值．
【答案】
解：根据正方形的对称性可知：BP＝DP，连接DE，交AC 于P，ED＝EP＋DP＝EP＋BP，
即最短距离EP＋BP 也就是ED．
∵ AE＝3，EB＝1，∴ AB＝AE＋EB＝4，
∴ AD＝4，根据勾股定理得：
2
2
2
2
2
3
4
25
ED
AE
AD
．
∵ ED＞0，∴ ED＝5，∴ 最短距离EP＋BP＝5．
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6、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，
有极强的破坏力．如图台风中心在我国台湾海峡的B 处，在沿海城市福州A 的正南方向240
千米，其中心风力为12 级，每远离台风中心25 千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风
中心正以20 千米/时的速度沿北偏东30°方向向C 移动，且台风中心的风力不变，若城市所受
风力达到或超过4 级，则称受台风影响．试问：
（1）该城市是否会受到台风影响？请说明理由．
（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？
（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？
【答案与解析】
解：（1）该城市会受到台风影响．
理由：如图，过点A 作AD⊥BC 于D 点，
则AD 即为该城市距离台风中心的最短距离．
在Rt△ABD 中，因为∠B=30°，AB=240．
∴AD＝1
2 AB = 1
2
×240＝120（千米）．
由题可知，距台风中心在（12-4）×25=200（千米）以内时，则会受到台风影响．
因为120＜200，因此该城市将会受到影响．
（2）依题（1）可知，当点A 距台风中心不超过200 千米时，会受台风影响，故在BC 上作
AE=AF=200；台风中心从点E 移动到点F 处时，该城市会处在台风影响范围之内．（如图）
由勾股定理得，
2
2
2
2
2
200
120
25600
DE
AE
AD
DE＝160（千米）．
所以EF=2×160=320（千米）．
又知台风中心以20 千米/时的速度移动．
所以台风影响该城市320÷20=16（小时）．
（3）∵AD 距台风中心最近，
∴该城市受到这次台风最大风力为：12-（120÷25）=7.2（级）．
答：该城市受台风影响最大风力7.2 级．
【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角
三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，运用勾股定理使问题解决．
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