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比例线段及黄金分割（提高） 巩固练习
【巩固练习】
一．选择题
1.在比例尺为1︰1 000 000 的地图上，相距3cm 的两地，它们的实际距离为( ).
A．3 km B．30 km C．300 km D．3 000 km
2.已知线段a、b、c、d满足
=
ab cd 把它改写成比例式，其中错误的是（ ）.
A. :
:
b c
d a
B.
:
:
a b
c d
C. :
:
c b
a d
D.
:
:
a c
d b
3. （2014•牡丹江）若x：y=1：3，2y=3z，则
的值是（ ）.
A.-5 B.
C.
D.5
4.如图，已知点P 是线段AB 的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA 为边的正方形的面积，S2表示长
为AB、宽为PB 的矩形的面积，那么S1（ ）S2．
A.> B.= C.< D.无法确定
5. 若
，则下列式子中不正确的是（ ）.
A.
B.
C.
D.
6. （2016•山西）宽与长的比是
（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，
给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC 的
中点E、F，连接EF：以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD 的延
长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABFE
B．矩形EFCD
C．矩形EFGH
D．矩形DCGH
二. 填空题
7.已知
，则a：b=______________．
8. （2016•奉贤区一模）线段AB 长10cm，点P 在线段AB 上，且满足
=
，那么AP 的长为
cm．
9.已知三个数1，2，
，请你再写一个数，使这四个数能成比例，那么这个数是________，（填写一个即
可）．
10.已知若
-
3
=
,
=____;
4
x y
x
y
y
则
若5x-4y=0,则x:y=________.
11.在△ABC 和△A'B'C'，中，
=
=
．若△ABC 的周长等于12，则△A'B'C'的周长等于
________．
12.如图所示，顶角A 为36°的第一个黄金三角形△ABC 的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD 为第
二个黄金三角形，依此类推，第2008 个黄金三角形的周长为____________．
三．综合题
13.如果
a
b
c
d
k
b
c
d
a
c
d
a
b
d
a
b
c
，一次函数y
kx
m
经过点（-1,2），求此
一次函数解析式.
14.如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且DB=DC=AC，已知∠ACE=108°，BC=2．
（1）求∠B 的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边
长与腰长的比）等于黄金比
．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD 的长；
③在直线AB 或BC 上是否存在点P（点A、B 除外），使△PDC 是黄金三角形？若存在，在备用图中画出
点P，简要说明画出点P 的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
15. （2014 秋•重庆校级月考）如图，用长为40cm 的细铁丝围成一个矩形ABCD（AB＞AD）．
（1）若这个矩形的面积等于99cm2，求AB 的长度；
（2）这个矩形的面积可能等于101cm2吗？若能，求出AB 的长度，若不能，说明理由；
（3）若这个矩形为黄金矩形（AD 与AB 之比等于黄金比
），求该矩形的面积．（结果保留根号）
【答案与解析】
一、选择题
1. 【答案】B
【解析】图上距离︰实际距离=1：1 000 000.
2．【答案】B．
3．【答案】A．
【解析】∵x：y=1：3，
∴设x=k，y=3k，
2y=3z
∵
，
z=2k
∴
，
∴
=
=
5
﹣．
故选：A．
4．【答案】B．
【解析】根据黄金分割的概念得：
，
则
==1，即S1=S2．故选B．
5．【答案】A．
【解析】根据题意，设x=3k，y=4k，分别代入，
A、左边=
，错误；
B、左边=
=4，正确；
C、左边=
，正确；
D、左边=
，正确．故选A．
6.【答案】D.
【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1
在直角三角形DCF 中，DF=
=
∴FG=
∴CG=
1
﹣
∴
=
∴矩形DCGH 为黄金矩形
二、填空题
7.【答案】a：b=
.
8.【答案】5
5
﹣．
【解析】设AP=x，则BP=10
x
﹣，
∵
=
，
∴
=
，
∴x1=5
5
﹣，x2=
5
﹣
5
﹣（不合题意，舍去），
∴AP 的长为（5
5
﹣）cm．
故答案为：5
5
﹣．
9.【答案】2
或
或
．
【解析】设所求数为x．分四种情况：
①如果x，1，2，
，这四个数能成比例，那么x：1=2：
，x=
；
②如果1，x，2，
，这四个数能成比例，那么1：x=2：
，x=
；
③如果1，2，x，
，这四个数能成比例，那么1：2=x：
，x=
；
④如果1，2，
，x，这四个数能成比例，那么1：2=
：x，x=2
．
综上，可知这个数是2
或
或
．
10.【答案】
7 4
; .
4 5
11.【答案】18．
【解析】∵
=
=
，
∴
=
．
∵△ABC 的周长等于12，
∴△A'B'C'的周长=12÷
=18．
故答案为：18．
12.【答案】K2007（K+2）.
【解析】第一个三角形的周长为K+2；
第二个三角形的周长K+K+K2=K（K+2）；
第三个周长为K2+K2+K3=K2（K+2）
…
所以第2008 个三角形的周长为K2007（K+2）.
三、解答题
13.【解析】∵
a
b
c
d
k
b
c
d
a
c
d
a
b
d
a
b
c
∴
+1=
+1=
+1=
+1= +1
+ +
+ +
+ +
+ +c
a
b
c
d
k
b c d
a c d
a b d
a b
∴
+ + +
+ + +
+ + +
+ + +
=
=
=
= +1
+ +
+ +
+ +
+ +c
a b c d
a b c d
a b c d
a b c d
k
b c d
a c d
a b d
a b
则分两种情况：（1）+ + + =0
a b c d
，即+1=0
k
, =-1
k
(2) + + = + + = + + = + +
b c d a c d a b d a b c ,即= = = ,
a b c d
1
= 3
k
则
所以当=-1
k
，过点（-1,2）时，=- +1
y
x
当
1
= 3
k
，过点（-1,2）时，
1
7
=
+
3
3
y
x
.
14.【解析】（1）∵BD=DC=AC．
则∠B=∠DCB，∠CDA=∠A．
设∠B=x，则∠DCB=x，∠CDA=∠A=2x．
又∠BOC=108°，
∴∠B+∠A=108°．
∴x+2x=108，x=36°．
∴∠B=36°；
（2）①有三个：△BDC，△ADC，△BAC．
∵DB=DC，∠B=36°，
∴△DBC 是黄金三角形，
（或∵CD=CA，∠ACD=180°-∠CDA-∠A=36°．
∴△CDA 是黄金三角形．
或∵∠ACE=108°，
∴∠ACB=72°．又∠A=2x=72°，
∴∠A=∠ACB．
∴BA=BC．
∴△BAC 是黄金三角形．
②△BAC 是黄金三角形，
∴
，
∵BC=2，∴AC=
．
∵BA=BC=2，BD=AC=
，
∴AD=BA-BD=2-（
）=3-
，
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3．
ⅰ）以CD 为底边的黄金三角形：作CD 的垂直平分线分别交直线AB、BC 得到点P1、P2．
ⅱ）以CD 为腰的黄金三角形：以点C 为圆心，CD 为半径作弧与BC 的交点为点 P3．
15.【解析】解：（1）设AB=xcm，则AD=（20
x
﹣）cm，
根据题意得x（20
x
﹣）=99，
整理得x2
20x+99=0
﹣
，解得x1=9，x2=11，
当x=9 时，20
x=11
﹣
；当x=11 时，20
11=9
﹣
，
而AB＞AD，
所以x=11，即AB 的长为11cm；
（2）不能．理由如下：
设AB=xcm，则AD=（20
x
﹣）cm，
根据题意得x（20
x
﹣）=101，
整理得x2
20x+101=0
﹣
，
因为△=202
4×101=
4
﹣
﹣＜0，
所以方程没有实数解，
所以这个矩形的面积可能等于101cm2；
（3）设AB=xcm，则AD=（20
x
﹣）cm，
根据题意得20
x=
﹣
x，
解得x=10（
﹣1），
则20
x=10
﹣
（3﹣
），
所以矩形的面积=10（
﹣1）•10（3﹣
）=（400
800
﹣
）cm2．
