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分式方程的解法及应用（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
【高清课堂 分式方程的解法及应用 知识要点】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知
数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字
母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的
方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简
公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫
做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，
先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程
的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子
有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以
这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原
理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方程
的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程
不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程
过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没
有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、（2016 春•闵行区期末）下列方程中，不是分式方程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】解：A、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
B、该方程属于无理方程，故本选项正确；
C、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
D、该方程符合分式方程的定义，属于分式方程，故本选项错误；
故选B．
【总结升华】判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是
否含有未知数．
类型二、解复杂分式方程的技巧
2、解方程：13
10
4
1
4
3
5
1
x
x
x
x
．
【答案与解析】
解：方程的左右两边分别通分，
得
3
1
3
1
(
4)(
3)
(
5)(
1)
x
x
x
x
x
x
，
∴
3
1
3
1
0
(
4)(
3)
(
5)(
1)
x
x
x
x
x
x
，
∴
1
1
(3
1)
0
(
4)(
3)
(
5)(
1)
x
x
x
x
x
，
∴ 3
1
0
x
，或
1
1
0
(
4)(
3)
(
5)(
1)
x
x
x
x
，
由3
1
0
x
，解得
1
3
x
，
由
1
1
0
(
4)(
3)
(
5)(
1)
x
x
x
x
，解得
7
x
．
经检验：
1
3
x
，
7
x
是原方程的根.
【总结升华】若用常规方法，方程两边同乘(
4)(
3)(
5)(
1)
x
x
x
x
，去分母后的整式方程
的解很难求出来．注意方程左右两边的分式的分子、分母，可以采用先把方程的左右两边分
别通分的方法来解．
举一反三：
【变式】解方程
1
1
1
1
4
7
5
6
x
x
x
x
．
【答案】
解：移项得
1
1
1
1
4
5
6
7
x
x
x
x
，
两边同时通分得(
5)
(
4)
(
7)
(
6)
(
4)(
5)
(
6)(
7)
x
x
x
x
x
x
x
x
，
即
1
1
(
4)(
5)
(
6)(
7)
x
x
x
x
，
因为两个分式分子相同，分式值相等，则分式分母相等．
所以(
4)(
5)
(
6)(
7)
x
x
x
x
，
2
2
9
20
13
42
x
x
x
x
，
2
2
9
20
13
42
0
x
x
x
x
，
4
22
0
x
，
∴
11
2
x
．
检验：当
11
2
x
时，(
4)(
5)(
6)(
7)
0
x
x
x
x
．
∴
11
2
x
是原方程的根．
类型三、分式方程的增根
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】
3、（1）若分式方程
2
2
3
2
4
2
mx
x
x
x
有增根，求m 值；
（2）若分式方程
2
2
2
1
1
5
1
k
k
x
x
x
x
x
有增根
1
x ，求k 的值．
【思路点拨】（1）若分式方程产生增根，则(
2)(
2)
0
x
x
，即
2
x
或
2
x ，然后把
2
x 代入由分式方程转化得的整式方程求出m 的值．（2）将分式方程转化成整式方程后，
把
1
x 代入解出k 的值.
【答案与解析】
解：（1）方程两边同乘(
2)(
2)
x
x
，得2(
2)
3(
2)
x
mx
x
．
∴ (
1)
10
m
x
．
∴
10
1
x
m
．
由题意知增根为
2
x
或
2
x ，
∴ 10
2
1 m
或10
2
1 m
．
∴
4
m 或
6
m
．
（2）方程两边同乘(
1)(
1)
x x
x
，得(
1)
(
1)
(
5)(
1)
k
x
x
k
x
．
∴ 3
4
x
k
．
∴
4
3
k
x
．
∵ 增根为
1
x ，
∴
4
1
3
k
．
∴
1
k
．
【总结升华】(1)在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根做作原方程的增根．
在分式方程中，使最简公分母为零的根是原方程的增根；(2)这类问题的解法都是首先把它
们化成整式方程，然后由条件中的增根，求得未知字母的值．
举一反三：
【变式】（2015•泰州校级一模）是否存在实数x，使得代数式
﹣
与代数式1+
的值相等．
【答案】
解：根据题意得：
﹣
=1+
，
去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4+4x+8，
移项合并得：8x=﹣16，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2 是增根，分式方程无解，
所以不存在这样的实数x，使得代数式
﹣
与代数式1+
的值相等．
类型四、分式方程的应用
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例3】
4、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000 米的管道，决定由甲、乙两个工程
队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20 米，且甲工程队铺
设350 米所用的天数与乙工程队铺设250 米所用的天数相同．
(1)甲、乙工程队每天各能铺设多少米?
(2)如果要求完成该项工程的工期不超过10 天，那么为两工程队分配工程量(以百米
为单位)的方案有几种?请你帮助设计出来．
【思路点拨】(1)题中的等量关系是甲工程队铺设350 米所用的天数与乙工程队铺设250 米所
用的天数相同．（2）由工期不超过10 天列出不等式组求出范围.
【答案与解析】
解：(1)设甲工程队每天能铺设x 米，则乙工程队每天能铺设
20
x
米．
根据题意，得350
250
20
x
x
．解得
70
x
．
经检验，
70
x
是原分式方程的解且符合题意．
故甲、乙两工程队每天分别能铺设70 米和50 米．
(2)设分配给甲工程队y 米，则分配给乙工程队
1000
y
米．
由题意，得
10,
70
1000
10,
50
y
y
解得500≤y ≤700．
方案一：分配给甲工程队500 米，分配给乙工程队500 米．
方案二：分配给甲工程队600 米，分配给乙工程队400 米．
方案三：分配给甲工程队700 米，分配给乙工程队300 米．
所以分配方案有3 种．
【总结升华】本题主要考查列分式方程解应用题，考查学生分析和解决问题的能力.
举一反三：
【变式】一慢车和一快车同时从A 地到B 地，A，B 两地相距276 公里，慢车的速度是快车速度
的三分之二，结果快车比慢车早到达2 小时，求快车，慢车的速度.
【答案】
解：设快车速度为x
/
km h ，则慢车速度为2
3 x
/
km h
依题意，得
276
276
2
2
3
x
x
，
去分母，得276×2＝276×3－4 x ，所以
69
x
，
经检验知
69
x
是原方程的解，所以2
46
3 x
，
答：慢车、快车的速度分别为46
/
km h 、69
/
km h ．
