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一元二次方程
21.1__一元二次方程__[ 见
A 本
P2]
1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( C )
A．x2＋＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．3x2－2xy－5y2＝0
【解析】 A 是分式方程，B 中缺a≠0，D 中含有两个未知数．
2．方程5x2＝6x－8 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别
为( C )
A．5，6，－8 B．5，－6，－8
C．5，－6，8 D．6，5，－8
【解析】 5x2＝6x－8 化为一般形式后得5x2－6x＋8＝0.
3．若关于x 的方程ax2－3x＋2＝0 是一元二次方程，则( B )
A．a>0 B．a≠0
C．a＝1 D．a≥0
【解析】 一元二次方程的隐含条件是二次项系数a≠0，故选B.
4．已知关于x 的方程x2－kx－6＝0 的一个根为x＝3，则实数k 的值为( A )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】 因为x＝3 是原方程的根，所以将x＝3 代入原方程，即32－3k－6＝0 成立，解得k＝
1.
5．如图21－1－1 所示，图形中四个长方形的长比宽多5，围成的大正方形的面积为125.设长
方形的宽为x，则下列方程不正确的是( C )
图21－1－1
A．x(x＋5)＝25
B．x2＋5x＝25
C．x2＋5x－20＝0
D．x(x＋5)－25＝0
【解析】 大正方形边长为2x＋5，则(2x＋5)2＝125，∴4x2＋20x＋25＝125，∴4x2＋20x－100＝
0，∴x2＋5x－25＝0，故A，B，D 正确，选C.
6．下列关于x 的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的说法正确的有( C )
①若有一个根为零时，则c＝0；②若有一个根为1 时，则a＋b＋c＝0；③若有一个根为－1 时，
则a－b＋c＝0；④只有一个实数根．
A．1 个 B．2 个
C．3 个 D．4 个
【解析】 把x＝0 代入原方程有a×02＋b×0＋c＝0，得到c＝0；把x＝1 代入原方程有a×12＋
b×1＋c＝0，即a＋b＋c＝0；把x＝－1 代入原方程有a×(－1)2＋b×(－1)＋c＝0，即a－b＋c＝
0，这说明①②③都正确．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)可以没有实数根，所以④不正确．
7．当x＝__0__时，方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0 不是关于a 的一元二次方程；当a＝__3__时，
方程(a2－9)x2＋(a＋3)x＋5＝0 是关于x 的一元一次方程．
8．滨州市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28
场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．
解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打__x －
1 __场比赛，比赛总场数用代数式表示为__x ( x
－
1)
__．根据题意，可列出方程__x ( x －
1)
＝
28
__．整理，得__x 2 －
x ＝
28
__．化为一般式，得__x 2
－
x －
56
＝
0 __．二次项系数、一次项系数、常数项分别为__1__，__－
1 __，__－
56
__．
【解析】 设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x－1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为x(x
－1)．
根据题意，可列出方程x(x－1)＝28.
整理，得x2－x＝28，
化为一般式为x2－x－56＝0.
二次项系数、一次项系数、常数项分别为1，－1，－56.
9．《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、
广各几何？”
大意是说：已知矩形门的高比宽多6 尺8 寸，门的对角线长1 丈，那么门的高和宽各是多少？
(1 丈＝10 尺，1 尺＝10 寸)
如果设门的宽为x 尺，那么这个门的高为(x＋6.8)尺，根据题意，得__x 2 ＋
( x ＋
6.8)
2 ＝
10
2 __，整
理、化简，得__2 x 2 ＋
13.6
x －
53.76
＝
0 __．
10．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2－x＝2 化为一元二次方程的一般形式，并写出
它的二次项系数、一次项系数和常数项．
现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答：
(1)下列式子中，有哪几个是方程x2－x＝2 所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序
号)__①②④⑤__．
①x2－x－2＝0；②－x2＋x＋2＝0；③x2－2x＝4；④－x2＋2x＋4＝0；⑤x2－2x－4＝0.
(2)方程x2－x＝2 化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之
间具有什么关系？
解：(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a、常数项为－4a.
11．若关于x 的一元二次方程为ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b 的值是( A
)
A．2018 B．2008
C．2014 D．2012
【解析】∵x＝1 是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0 的一个根，
∴a·12＋b·1＋5＝0，
∴a＋b＝－5，
∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018.
12．[2013·黔西南]已知x＝1 是一元二次方程x2＋ax＋b＝0 的一个根，则代数式a2＋b2＋2ab
的值是__1__.
【解析】 ∵x＝1 是一元二次方程x2＋ax＋b＝0 的一个根，
∴12＋a＋b＝0，
∴a＋b＝－1
∴a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝(－1)2＝1.
13．若方程4xk－1＋3x＋1＝0 是关于x 的一元二次方程，则k 的值为__3__．
【解析】 ∵此方程是一元二次方程，∴k－1＝2，∴k＝3.
14．翠湖公园有一块长为32 m，宽为20 m 的长方形空地，现准备在空地中修同样宽的两条
“之”字路．如图21－1－2 所示，若设道路宽为x m，剩下的空地面积为540 m2，请列出关
于x 的一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
图21－1－2
解：将图形中的“之”字路进行平移得到如图所示的图形．
依题意得(32－x)(20－x)＝540，
整理，得一般形式为x2－52x＋100＝0，
二次项系数为1，一次项系数为－52，常数项为100.
15．已知m 是方程x2－2 013x＋1＝0 的一个根，试求代数式m2－2 012m＋的值．
解：∵m 为方程x2－2 013x＋1＝0 的根，
∴m2－2 013m＋1＝0，
即m2－2 013m＝－1，m2＋1＝2 013m，
∴m2－2 012m＋＝m2－2 013m＋m＋＝－1＋m＋.又由m2－2 013m＋1＝0，
两边同除以m 得m＋＝2 013，
∴原式＝－1＋2 013＝2 012.
