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一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—巩固练习（基础）
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016•昆明）一元二次方程x2
4x
﹣
+4=0 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
2．一元二次方程
2
0(
0)
ax
bc
c
a
有两个不相等的实数根，则
2
4
b
ac
满足的条件是（ ）
A．
2
4
0
b
ac
B．
2
4
0
b
ac
C．
2
4
0
b
ac
D．
2
4
0
b
ac
3．（2015•贵港）若关于x 的一元二次方程（a
1
﹣）x2
2x+2=0
﹣
有实数根，则整数a 的最大值为（ ）
A．﹣1 B．0 C.1 D.2
4．关于方程
2
2
3
0
x
x
的两根
1
2
,
x
x 的说法正确的是（ ）
A.
1
2
2
x
x
B.
1
2
3
x
x
C.
1
2
2
x
x
D.无实数根
5．关于x 的一元二次方程x2+4x+k=0 有实数解，则k 的取值范围是（ ）
A.k≥4
B.k≤4 C.k＞4
D.k=4
6．一元二次方程
2
2
6
3
0
x
x
的两根为、，则
2
(
)
的值为（ ）．
A．3 B．6 C．18 D．24
二、填空题
7．（2015•酒泉）关于x 的方程kx2
4x
﹣
﹣=0 有实数根，则k 的取值范围是
．
8．（2016•遵义）已知x1，x2是一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根，则
+
=
．
9．若方程
的两根是x1、x2，则代数式
的值是 。
10．设一元二次方程
2
3
2
0
x
x
的两根分别为
1x 、
2x ，以
2
1x 、
2
2x 为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程x2-6x+5-k=0n的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____ __．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数为__ _．
三、解答题
13．当k 为何值时，关于x 的方程x2-(2k-1)x＝-k2+2k+3，
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根?
14. 已知a，b，c 是△ABC 的三边长，且方程(a2+b2)x2-2cx+1＝0 有两个相等的实数根．
请你判断△ABC 的形状．
15．（2015•大庆）已知实数a，b 是方程x2
x
1=0
﹣﹣
的两根，求+ 的值．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B.
【解析】在方程x2
4x
﹣
+4=0 中，△=（﹣4）2
4
﹣×1×4=0，∴该方程有两个相等的实数根．
2.【答案】B；
【解析】
2
0
ax
bx
c
(a≠0)有两个不相等实数根
2
4
0
b
ac
．
3.【答案】B；
【解析】∵关于x 的一元二次方程（a
1
﹣）x2
2x+2=0
﹣
有实数根，
=
∴△（﹣2）2
8
﹣（a
1
﹣）=12
8a≥0
﹣
且a
1≠0
﹣
，
a
∴≤且a≠1，
∴整数a 的最大值为0．故选：B．
4.【答案】D；
【解析】求得Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选D.
5.【答案】B；
【解析】∵关于x 的一元二次方程x2+4x+k=0 有实数解，
∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0，
解得：k≤4，故选B．
6.【答案】A；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系得：
3
，
3
2
，
因此
2
2
(
)
(
)
4
9
6
3
．
二、填空题
7．【答案】k≥﹣6；
【解析】当k=0 时，﹣4x﹣
=0，解得x=﹣，
当k≠0 时，方程kx2﹣4x﹣
=0 是一元二次方程，
根据题意可得：△=16﹣4k×（﹣）≥0，
解得k≥﹣6，k≠0，
综上k≥﹣6．
8.【答案】-2.
【解析】∵一元二次方程x2
2x
1=0
﹣
﹣
的两根为x1、x2，x1+x2=2，x1•x2=
1
﹣，
∴
+
=
=
2
﹣．故答案是：﹣2．
9．【答案】6；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：
1
2
1
2
2,
3
x
x
x
x
，
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
(
)
2
2(
)
4
6
4
6
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
．
10．【答案】
2
13
4
0
y
y
；
【解析】由一元二次方程根与系数的关系知：
1
2
3
x
x
，
1
2
2
x x ，
从而
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
(
)
2
3
2 ( 2)
13
x
x
x
x
x x
，
2
2
2
2
1
2
1
2
(
)
( 2)
4
x
x
x x
，
于是，所求方程为
2
13
4
0
y
y
．
11．【答案】 x1=4，x2=2.
【解析】∵△=4，∴b2-4ac=4，即x=
，
∴x1=4，x2=2．
12．【答案】 25 或36；
【解析】设十位数字为x,则个位数字为（x+3）.依题意得（x+3）2=10x+(x+3),
解得x1=2，x2=3．
当x=2 时，两位数是25；当x=3 时，两位数是36.
三、解答题
13.【答案与解析】
解：
2
2
(2
1)
2
3
x
k
x
k
k
化为一般形式为：
2
2
(2
1)
2
3
0
x
k
x
k
k
，
∴
1
a
，
(2
1)
b
k
，
2
2
3
c
k
k
．
∴
2
2
2
2
2
4
[ (2
1)]
4 1 (
2
3)
4
4
1
4
8
12
4
13
b
ac
k
k
k
k
k
k
k
k
△
．
(1)若方程有两个不相等的实数根，则△＞0，即4
13
0
k
．∴
13
4
k
．
(2)若方程有两个相等的实数根，则△＝0，即4
13
0
k
，∴
13
4
k
．
(3)若方程没有实数根，则△＜0，即4
13
0
k
，∴
13
4
k
．
答：当
13
4
k
时，方程有两个不相等的实数根；当k＝
13
4
时，方程有两个相等的实数根；
当
13
4
k
，方程没有实数根．
14.【答案与解析】
解： 令
2
2
A
a
b
，
2
B
c
，
1
C
，
2
2
2
4
4(
)
c
a
b
△
，
∵ 方程有两等根，∴ △＝0，∴
2
2
2
c
a
b
，
∴ △ABC 为直角三角形．
15.【答案与解析】
解：∵实数a，b 是方程x2
x
1=0
﹣﹣
的两根，
a+b=1
∴
，ab=
1
﹣，
∴+
=
=
= ﹣3．
