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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．在﹣2，0，2，﹣3 这四个数中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2
D．﹣3
2．如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1 亿元，
将30.1 亿用科学记数法表示为（ ）
A．30.1×108 B．3.01×108 C．3.01×109 D．0.301×1010
3．一元二次方程（x+6）2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，
则另一个一元一次方程是（ ）
A．x
6=
4
﹣
﹣B．x
6=4
﹣
C．x+6=4D．x+6=
4
﹣
4．设a=2
1
﹣，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1 和2 B．2 和3 C．3 和4 D．4 和5
5．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1 互余的角有几
个（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．6 个
6．某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，
则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60
C．99.60，98.80
D．99.70，99.60
7．如图为抛物线y=ax2+bx+c 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下
列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．a
b=1
﹣
C．a+b=
1
﹣
D．b＞2a
8．如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么
图中的▱AEMG 的面积S1与▱HCFM 的面积S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1=S2 D．2S1=S2
9．如果三角形的两条边分别为4 和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数
据中的（ ）
A．6 B．8 C．10
D．12
10．附加题：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 在BC 边上运动，连接DP，过点A 作
AE DP
⊥
，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．
11．
的平方根是 ．
12．因式分解：a2b+2ab+b= ．
13．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以点C 为圆心，CA 为半径的圆
与AB 交于点D，则AD 的长为 ．
14．如图，等腰直角△ABC 腰长为a，现分别按图1，图2 方式在△ABC 内内接一个正方形
ADFE 和正方形PMNQ．设△ABC 的面积为S，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的
面积为S2．①AD：AB=1：2；②AP：AB=1：3；③S1+S2＞S；④设在△ABC 内任意截取一个正
方形的面积为S3，则S3≤S1．上述结论中正确的是 ．
三、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简
该分式．a2
1
﹣，a2
1
﹣，a2
2a+1
﹣
，然后请你自选一个合理的数代入求值．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解
答下列问题：
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O 旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
四、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．2014 年3 月8 日凌晨，马来西亚航空公司一架航班号为MH370 的波音777 客机于凌晨
零点左右从吉隆坡飞往北京，计划6：30 抵达北京首都国际机场，却在凌晨1：30 分失去联系．
已知该飞机起飞时油箱内存有15000 升油，起飞后一直保持速度为400km/h 匀速直线运动，
且每千米的耗油量为5 升，请用不等式的知识求出该飞机在失去联系后能最多航行多少千米？
18．如图，矩形ABCD 中，AB=6，第1 次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5 个单位，
得到矩形A1B1C1D1，第2 次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5 个单位，得到矩
形A2B2C2D2…，第n 次平移将矩形An
1
﹣Bn
1
﹣Cn
1
﹣Dn
1
﹣沿An
1
﹣Bn
1
﹣的方向平移5 个单位，得
到矩形AnBnCnDn（n＞2）．
（1）求AB1和AB2的长．
（2）若ABn的长为56，求n．
五、（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．一透明的敞口正方体容器ABCD
A′B′C′D′
﹣
装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容
器底部的倾斜角为α （∠CBE=α，如图所示）．
探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视
图及尺寸如图2 所示．解决问题：
（1）CQ 与BE 的位置关系是 ，BQ 的长是 dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液=底面积S△BCQ×高AB）；
（3）求液面到桌面的高度和倾斜角α 的度数．（注：sin37°= ，tan37°= ）．
20．面对即将到来的五一小长假，胡老师一家计划用两天时间参观岱山湖、紫蓬山森林公园、
滨湖湿地公园、三国遗址公园四个景区中的两个；第一天从4 个景区中随机选择一个，第二
天从余下3 个景区中再随机选择一个，如果每个景区被选中的机会均等．
（1）请画树状图或表格的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求滨湖湿地公园被选中的概率．
六、（本题满分12 分）
21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M，经过
B，M 两点的⊙O 交BC 于点G，交AB 于点F，FB 恰为⊙O 的直径．
（1）求证：AE 与⊙O 相切；
（2）当BC=4，cosC= 时，求⊙O 的半径．
七、（本题满分12 分）
22．自2010 年6 月1 日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电
时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴．为确保商家利润不受损失，补贴
部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表：
补贴额度
新家电销售价格的10%
说明：电视补贴的金额最多不超过400 元/台；
洗衣机补贴的金额最多不超过250 元/台；
冰箱补贴的金额最多不超过300 元/台．
为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、冰箱共100 台，这批家电的进价和售价如下表：
家电名称
进价（元/台）
售价（元/台）
电视
3900
4300
洗衣机
1500
1800
冰箱
2000
2400
设购进的电视机和洗衣机数量均为x 台，这100 台家电政府需要补贴y 元，商场所获利润w
元（利润=售价﹣进价）
（1）请分别求出y 与x 和w 与x 的函数表达式；
（2）若商场决定购进每种家电不少于30 台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应
该怎样安排进货？若这100 台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？
八、（本题满分14 分）
23．如图1，在正方形ABCD 中，点M、N 分别在AD、CD 上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM= CB
∠
N，则易证 ．（选择正确答案填空）
AM+CN
①
＞MN；②
（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN=
ABC
∠
，在（1）中线段MN、AM、CN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立
给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC 与∠ADC 互补．点M、N 分别在DA、CD
的延长线上，若∠MBN=
ABC
∠
，试探究线段MN、AM、CN 又有怎样的数量关系？请写出
猜想并证明．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，满分40 分）
1．在﹣2，0，2，﹣3 这四个数中，最小的数是（ ）
A．2 B．0 C．﹣2
D．﹣3
【考点】有理数大小比较．
【专题】计算题．
【分析】根据有理数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个
负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可．
【解答】解：∵﹣3＜﹣2＜0＜2，
∴最小的数是﹣3，
故选D．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一
切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小．
2．如果我们都能改掉餐桌上的陋习，珍惜每一粒粮食，合肥市每年就能避免浪费30.1 亿元，
将30.1 亿用科学记数法表示为（ ）
A．30.1×108 B．3.01×108 C．3.01×109 D．0.301×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将30.1 亿用科学记数法表示为：3.01×109．
故选：C．
【点评】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．一元二次方程（x+6）2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6=4，
则另一个一元一次方程是（ ）
A．x
6=
4
﹣
﹣B．x
6=4
﹣
C．x+6=4D．x+6=
4
﹣
【考点】解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】方程两边直接开平方可达到降次的目的，进而可直接得到答案．
【解答】解：（x+6）2=16，
两边直接开平方得：x+6=±4，
则：x+6=4，x+6=
4
﹣，
故选：D．
【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是将方程右侧看做一个非负已
知数，根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求
得方程解”来求解．
4．设a=2
1
﹣，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1 和2 B．2 和3 C．3 和4 D．4 和5
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先估算出2
的大小，再求出a 的取值范围即可．
【解答】解：∵2
=
，9＜12＜16，
3
∴＜2
＜4，
2
∴＜2
1
﹣＜3，即a 在2 和3 之间．
故选B．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，根据题意估算出2
的大小是解答此题的关键．
5．直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中所标记的角中，与∠1 互余的角有几
个（ ）
A．2 个B．3 个C．4 个D．6 个
【考点】余角和补角．
【专题】计算题．
【分析】本题要注意到∠1 与∠2 互余，并且直尺的两边互相平行，可以考虑平行线的性质．
【解答】解：与∠1 互余的角有∠2，∠3，∠4；一共3 个．
故选：B．
【点评】正确观察图形，由图形联想到学过的定理是数学学习的一个基本要求．
6．某选手在青歌赛中的得分如下（单位：分）：99.60，99.45，99.60，99.70，98.80，99.60，99.83，
则这位选手得分的众数和中位数分别是（ ）
A．99.60，99.70 B．99.60，99.60
C．99.60，98.80
D．99.70，99.60
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数和中位数的定义求解即可．
【解答】解：数据99.60 出现3 次，次数最多，所以众数是99.60；
数据按从小到大排列：99.45，99.60，99.60，99.60，99.70，99.80，99.83，中位数是99.60．
故选B．
【点评】本题考查了中位数，众数的意义．找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇
数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则
找中间两位数的平均数．众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
[来源:学科网]
7．如图为抛物线y=ax2+bx+c 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下
列关系中正确的是（ ）
A．ac＜0 B．a
b=1
﹣
C．a+b=
1
﹣
D．b＞2a
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0 时，
抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对
称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左； 当a 与b 异号时（即ab＜0），对
称轴在y 轴右．（简称：左同右异）③常数项c 决定抛物线与y 轴交点． 抛物线与y 轴交于
（0，c）．
【解答】解：∵OC=1，
c=1
∴
，
又∵x=1 时，y＞0，
a+b+1
∴
＞0，
a+b
∴
＞﹣1，
∴选项A 不正确；
∵抛物线开口向上，
a
∴＞0；
又∵c=1，
ac=a
∴
＞0，
∴选项B 不正确；
OA=1
∵
，[来源:学科网ZXXK]
x=
∴
﹣
＜﹣1，
又∵a＞0，
b
∴＞2a，
∴选项C 不正确；
OA=1
∵
，
x=
1
∴
﹣时，y=0，
a
b+c=0
∴﹣
，
又∵c=1，
a
b=
1
∴﹣
﹣，
∴选项D 正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确二次函数各项的系数和图形的关系．
8．如图，过▱ABCD 的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF 与GH，那么
图中的▱AEMG 的面积S1与▱HCFM 的面积S2的大小关系是（ ）
A．S1＞S2
B．S1＜S2
C．S1=S2 D．2S1=S2
【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD
CDB
△
≌
，得
出△ABD 和△CDB 的面积相等；同理得出△BEM 和△MHB 的面积相等，△GMD 和△FDM
的面积相等，相减即可求出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，EF BC
∥
，HG AB
∥
，
AD=BC
∴
，AB=CD，AB GH CD
∥
∥
，AD EF BC
∥
∥
，
∴四边形HBEM、GMFD 是平行四边形，
在△ABD 和△CDB 中；
∵
，
ABD
CDB
∴△
△
≌
（SSS），
即△ABD 和△CDB 的面积相等；[来源:Zxxk.Com]
同理△BEM 和△MHB 的面积相等，△GMD 和△FDM 的面积相等，
故四边形AEMG 和四边形HCFM 的面积相等，即S1=S2．
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关
键是求出△ABD 和△CDB 的面积相等，△BEP 和△PGB 的面积相等，△HPD 和△FDP 的面
积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等
9．如果三角形的两条边分别为4 和6，那么连结该三角形三边中点所得的周长可能是下列数
据中的（ ）
A．6 B．8 C．10
D．12
【考点】三角形中位线定理；三角形三边关系．
【分析】本题依据三角形三边关系，可求第三边大于2 小于10，原三角形的周长大于12 小于
20，连接中点的三角形周长是原三角形周长的一半，那么新三角形的周长应大于6 而小于
10，看哪个符合就可以了．
【解答】解：设三角形的三边分别是a、b、c，令a=4，b=6，
则2＜c＜10，12＜三角形的周长＜20，
故6＜中点三角形周长＜10．
故选B．
【点评】本题重点考查了三角形的中位线定理，利用三角形三边关系，确定原三角形的周长范
围是解题的关键．
10．附加题：如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，点P 在BC 边上运动，连接DP，过点A 作
AE DP
⊥
，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】综合题．
【分析】根据实际情况求得自变量的取值范围．
【解答】解：
S
∵
APD
△
= PD×AE= AD×AB，
xy=3×4
∴
xy=12
∴
，
即：y=
，为反比例函数，
当P 点与C 点重合时，x 为最小值：x=3，
当P 点与B 点重合时，x 为最大值：x=BD=
=5，
3≤x≤5
∴
．
故选：C．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是利用面积公式求得函数关系式，
特别是要确定自变量的取值范围．
二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分．
11．
的平方根是
±
．
【考点】算术平方根；平方根．
【分析】线算出
=3，从而得出结论．
【解答】解：∵
=3，3 的平方根为±
，
故答案为：±
．
【点评】本题考查了数的平方根，解题的关键是牢记非负数的平方根有两个．
12．因式分解：a2b+2ab+b=
b （
a+1
）
2
．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】提取公因式b，剩下的正好是（a+1）的完全平方．
【解答】解：原式=b（a2+2a+1）=b（a+1）2．
故答案为：b（a+1）2．
【点评】本题考查了提取公因式法与公式法的综合运用，先提取公因式b，剩下是（a+1）的完
全平方．
13．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB=90°，AC=1，BC=2，以点C 为圆心，CA 为半径的圆
与AB 交于点D，则AD 的长为
．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】作CE AB
⊥
于E，根据勾股定理得到AB=
，利用三角形面积公式求出CE，根据勾股
定理求出AE，根据垂径定理计算即可．
【解答】解：作CE AB
⊥
于E，
则AE= AD，
ACB=
∵∠
90°，AC=1，BC=2，
AB=
∴
=
，
×AB×CE=
AC×BC，即
×CE=
，
解得，CE=
，
AE=
=
，
则AD=2AE=
，
故答案为：
．
【点评】本题考查的是勾股定理和垂径定理的应用，垂径定理：垂直弦的直径平分这条弦，并
且平分弦所对的两条弧．
14．如图，等腰直角△ABC 腰长为a，现分别按图1，图2 方式在△ABC 内内接一个正方形
ADFE 和正方形PMNQ．设△ABC 的面积为S，正方形ADFE 的面积为S1，正方形PMNQ 的
面积为S2．①AD：AB=1：2；②AP：AB=1：3；③S1+S2＞S；④设在△ABC 内任意截取一个正
方形的面积为S3，则S3≤S1．上述结论中正确的是 ①②④ ．
【考点】相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【分析】①如图1：根据等腰三角形的性质求解；
②图2：同图1 的证法；
③由（1）得出的AB、AD、AP、AB 的关系，然后用a 表示出AB、AD、AP 的值，这样就能表示
出S1、S2和S，然后进行比较即可；
④结合③，即可求得答案．
【解答】解：①图1 中，∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADFE 是正方形，
AD=DF
∴
，∠B=45°，
DF=DB
∴
，
AD=DB
∴
，
AD
∴
：AB=1：2；故正确；
②图2 中，同理：PM=MN，∠B=45°，
PM=MB
∴
，
MN=MB
∴
，
MN=MB=NC
∴
，
AP
∴
：AB=PQ：BC=MN：BC=1：3；故正确；
③图1 中，S1=（a）2= a2，
PQ
∵
：BC=AP：AB=1：3，
P
∴Q=
a，
S
∴
2=（
a）2= a2，
S
∴
1+S2=（+ ）a2=
a2，
S=
∵
a2=
a2，
S
∴
1+S2＜S；故错误；
④由③可得：在△ABC 内任意截取一个正方形的面积为S3，则S3≤S1；故正确．
故答案为：①②④．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．注意掌握面积的
求解方法是关键．
三、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
15．请从下列三个代数式中任选两个（一个作为分子，一个作为分母）构造一个分式，并化简
该分式．a2
1
﹣，a2
1
﹣，a2
2a+1
﹣
，然后请你自选一个合理的数代入求值．
【考点】分式的化简求值．
【专题】开放型．
【分析】根据分式的定义即可构造一个分式，然后取一个使得分式有意义的值代入即可．
【解答】解：
=
=
，
当a=2 时，原式=
=3．
或
=
，
当a=2 时，原式=
= ．
【点评】本题考查分式的定义，分式的约分，理解题意是解题的关键，取值时注意使得分式有
意义．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为（2，4），请解
答下列问题：
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）画出△A1B1C1绕原点O 旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【分析】（1）分别找出A、B、C 三点关于x 轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A 点
坐标；
（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O 旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连
接各对应点即得△A2B2C2．
【解答】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；
（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．
【点评】本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然
后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．
四、（本大题共2 小题，每小题8 分，满分16 分）
17．2014 年3 月8 日凌晨，马来西亚航空公司一架航班号为MH370 的波音777 客机于凌晨
零点左右从吉隆坡飞往北京，计划6：30 抵达北京首都国际机场，却在凌晨1：30 分失去联系．
已知该飞机起飞时油箱内存有15000 升油，起飞后一直保持速度为400km/h 匀速直线运动，
且每千米的耗油量为5 升，请用不等式的知识求出该飞机在失去联系后能最多航行多少千米？
【考点】一元一次不等式的应用．
【分析】根据飞机的耗油量得出它飞行的最大距离，进而得出的不等式求出答案．
【解答】解：设该飞机在失去联系后能航行x 千米，
1：30
0
﹣：00=1.5（小时），
由题意得：1.5×400×5+5x≤15000
解得：x≤2400．
答：该飞机在失去联系后最多能航行2400 千米．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意结合飞机飞行的距离得出正确不
等关系是解题关键．
18．如图，矩形ABCD 中，AB=6，第1 次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5 个单位，
得到矩形A1B1C1D1，第2 次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5 个单位，得到矩
形A2B2C2D2…，第n 次平移将矩形An
1
﹣Bn
1
﹣Cn
1
﹣Dn
1
﹣沿An
1
﹣Bn
1
﹣的方向平移5 个单位，得
到矩形AnBnCnDn（n＞2）．
（1）求AB1和AB2的长．
（2）若ABn的长为56，求n．
【考点】平移的性质；一元一次方程的应用；矩形的性质．
【专题】规律型．
【分析】（1）根据平移的性质得出AA1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1
A
﹣
1A2=6
5=1
﹣
，进而求出AB1
和AB2的长；
（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而得出ABn=（n+1）×5+1 求出n 即可．
【解答】解：（1）∵AB=6，第1 次平移将矩形ABCD 沿AB 的方向向右平移5 个单位，得到矩
形A1B1C1D1，
第2 次平移将矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5 个单位，得到矩形A2B2C2D2…，
AA
∴
1=5，A1A2=5，A2B1=A1B1
A
﹣
1A2=6
5=1
﹣
，
AB
∴
1=AA1+A1A2+A2B1=5+5+1=11，
AB
∴
2的长为：5+5+6=16；
（2）∵AB1=2×5+1=11，AB2=3×5+1=16，
AB
∴
n=（n+1）×5+1=56，
解得：n=10．
【点评】此题主要考查了平移的性质以及一元一次方程的应用，根据平移的性质得出
AA1=5，A1A2=5 是解题关键．
五、（本大题共2 小题，每小题10 分，满分20 分）
19．一透明的敞口正方体容器ABCD
A′B′C′D′
﹣
装有一些液体，棱AB 始终在水平桌面上，容
器底部的倾斜角为α （∠CBE=α，如图所示）．
探究 如图1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视
图及尺寸如图2 所示．解决问题：
（1）CQ 与BE 的位置关系是 平行 ，BQ 的长是
3
dm；
（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V 液=底面积S△BCQ×高AB）；
（3）求液面到桌面的高度和倾斜角α 的度数．（注：sin37°= ，tan37°= ）．
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】（1）根据水面与水平面平行可以得到CQ 与BE 平行，利用勾股定理即可求得BQ 的
长；
（2）液体正好是一个以△BCQ 是底面的直棱柱，据此即可求得液体的体积；
（3）求出∠BCQ 的正切值即可得到其度数．
【解答】解：（1）CQ BE
∥
，BQ=
=3dm；
故答案为：平行，3；
（2）V 液= ×3×4×4=24（dm3）；
（3）过点B 作BF CQ
⊥
，垂足为F，
∵×3×4= ×5×BF，
BF=
∴
，
∴液面到桌面的高度
；
∵在Rt
BCQ
△
中，tan BCQ=
∠
，
α= BCQ=37°
∴
∠
．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握四边形的体积计算以及对三视图的认识，
正确理解棱柱的体积的计算是关键．
20．面对即将到来的五一小长假，胡老师一家计划用两天时间参观岱山湖、紫蓬山森林公园、
滨湖湿地公园、三国遗址公园四个景区中的两个；第一天从4 个景区中随机选择一个，第二
天从余下3 个景区中再随机选择一个，如果每个景区被选中的机会均等．
（1）请画树状图或表格的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）求滨湖湿地公园被选中的概率．
【考点】列表法与树状图法．
【专题】计算题．
【分析】（1）用A、B、C、D 分别表示岱山湖、紫蓬山森林公园、滨湖湿地公园、三国遗址公园
四个景区，然后画树状图展示所有12 种等可能的结果数；
（2）在12 种等可能的结果中找出滨湖湿地公园被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）用A、B、C、D 分别表示岱山湖、紫蓬山森林公园、滨湖湿地公园、三国遗址公
园四个景区，
画树状图为：
共有12 种等可能的结果数；
（2）滨湖湿地公园被选中的结果数为6，
所以滨湖湿地公园被选中的概率=
= ．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
六、（本题满分12 分）
21．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M，经过
B，M 两点的⊙O 交BC 于点G，交AB 于点F，FB 恰为⊙O 的直径．
（1）求证：AE 与⊙O 相切；
（2）当BC=4，cosC= 时，求⊙O 的半径．
【考点】切线的判定；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）连接OM，证明OM BE
∥
，再结合等腰三角形的性质说明AE BE
⊥
，进而证明
OM AE
⊥
；
（2）结合已知求出AB，再证明△AOM
ABE
△
∽
，利用相似三角形的性质计算．
【解答】（1）证明：连接OM，则OM=OB
1= 2
∴∠
∠
BM
∵
平分∠ABC
1= 3
∴∠
∠
2= 3
∴∠
∠
OM BC
∴
∥
AMO= AEB
∴∠
∠
在△ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线
AE BC
∴
⊥
AEB=90°
∴∠
AMO=90°
∴∠
OM AE
∴
⊥
∵点M 在圆O 上，
AE
∴
与⊙O 相切；
（2）解：在△ABC 中，AB=AC，AE 是角平分线
BE=
∴
BC，∠ABC= C
∠
BC=4
∵
，cosC=
BE=2
∴
，cos ABC=
∠
在△ABE 中，∠AEB=90°
AB=
∴
=6
设⊙O 的半径为r，则AO=6
r
﹣
OM BC
∵
∥
AOM
ABE
∴△
△
∽
∴
∴
解得
O
∴⊙
的半径为．
【点评】本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三
角形等知识点．
七、（本题满分12 分）
22．自2010 年6 月1 日起我省开始实施家电以旧换新政策，消费者在购买政策限定的新家电
时，每台新家电用一台同类的旧家电换取一定数额的补贴．为确保商家利润不受损失，补贴
部分由政府提供，其中三种家电的补贴方式如下表：
补贴额度
新家电销售价格的10%
说明：电视补贴的金额最多不超过400 元/台；
洗衣机补贴的金额最多不超过250 元/台；
冰箱补贴的金额最多不超过300 元/台．
为此，某商场家电部准备购进电视、洗衣机、冰箱共100 台，这批家电的进价和售价如下表：
家电名称
进价（元/台）
售价（元/台）
电视
3900
4300
洗衣机
1500
1800
冰箱
2000
2400
设购进的电视机和洗衣机数量均为x 台，这100 台家电政府需要补贴y 元，商场所获利润w
元（利润=售价﹣进价）
（1）请分别求出y 与x 和w 与x 的函数表达式；
（2）若商场决定购进每种家电不少于30 台，则有几种进货方案？若商场想获得最大利润，应
该怎样安排进货？若这100 台家电全部售出，政府需要补贴多少元钱？
【考点】一次函数的应用．
【专题】优选方案问题．
【分析】（1）由于电视机每台售价4300 元，其10%为430 元，超过400 元，故其补贴额为400
元；而洗衣机、冰箱的补贴额度不超过400 元，故按照其销售价格的10%计算即可．
（2）根据商场决定购进每种家电不少于30 台，即电视机和洗衣机数x≥30 台；冰箱100﹣
2x≥30 台，列出不等式组解答即可．
【解答】解：（1）y=400x+1800×10%x+2400×10%（100
2x
﹣
）=100x+24000
商场所获利润：W=400x+300x+400（100
2x
﹣
）
=
100x+40000
﹣
．
（2）根据题意得
，
解得30≤x≤35，
因为x 为整数，所以x=30，31，32，33，34，35，因此共有6 种进货方案．
对于W=
100x+40000
﹣
，
k=
100
∵
﹣
＜0，30≤x≤35，
∴当x=30 时，W 有最大值，
所以当购进30 台电视，30 台洗衣机，40 台电冰箱时商场将获得最大的利润．
因此政府的补贴为y=100×30+24000=27000 元．
【点评】此题将一元二次方程与不等式组相结合，以实际问题为载体，体现了数学的实用价值，
也对同学们阅读理解能力提出了较高的要求，是考试中常见常新的题目．
八、（本题满分14 分）
23．如图1，在正方形ABCD 中，点M、N 分别在AD、CD 上．
（1）若∠MBN=45°且∠ABM= CBN
∠
，则易证 ③ ．（选择正确答案填空）
AM+CN
①
＞MN；②
（AM+CN）=MN；③MN=AM+CN．
（2）若∠MBN=
ABC
∠
，在（1）中线段MN、AM、CN 之间的数量关系是否仍然成立？若成立
给予证明，若不成立探究出它们之间关系．
【拓展】如图2，在四边形ABCD 中，AB=BC，∠ABC 与∠ADC 互补．点M、N 分别在DA、CD
的延长线上，若∠MBN=
ABC
∠
，试探究线段MN、AM、CN 又有怎样的数量关系？请写出
猜想并证明．
【考点】四边形综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）设BD 于MN 交于点H，如图1（1），根据正方形的性质得∠ABH= CBH=45°
∠
，
BA=BC，由于∠MBN=45°，∠ABM= CBN
∠
，则∠ABM= HBM= HBN= CBN
∠
∠
∠
，再证明
△ABM
CBN
≌△
得到BM=BN，AM=CN，接着根据等腰三角形的性质可判断BH MN
⊥
，于是
根据角平分线的性质得MA=MH，NH=NC，所以有MN=AM+CN；
（2）把△BAM 绕点B 顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），根据旋转的性质得BM=BP，
AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP= A=90°
∠
，再证明点P 在DC 的延长线上，则NC+CP=NP，利用
∠MBN=
ABC=45°
∠
得到∠NBP=45°，接着可证明△BNM
BNP
≌△
，则MN=NP，于是有
MN=CP+CN=AM+CN；
【拓展】如图2，由于∠ABC+ ADC=180°
∠
，根据四边形内角和得到∠BAD+ BCD=180°
∠
，则
∠BAM= BCD
∠
，根据旋转的定义，可把△BAM 绕点B 顺时针旋转90°得到△BCQ，则根据
旋转的性质得∠BAM= BCQ
∠
，BM=BQ，∠MBQ= ABC
∠
，则∠BCQ= BCD
∠
，则可判断点Q
在CN 上得到CN=CQ+MQ=AM+NQ，然后证明△BMN
BQN
≌△
得到MN=QN，则
CN=AM+MN．
【解答】（1）解：设BD 于MN 交于点H，如图1（1），
BD
∵
为正方形ABCD 的正方形，
ABH= CBH=45°
∴∠
∠
，BA=BC，
MBN=45°
∵∠
，∠ABM= CBN
∠
，
ABM= HBM= HBN= CBN
∴∠
∠
∠
∠
，
在△ABM 和△CBN 中
，
ABM
CBN
∴△
△
≌
，
BM=BN
∴
，AM=CN，
而∠HBM= HBN
∠
，
BH MN
∴
⊥
，
MA=MH
∴
，NH=NC，
AM=MH=HN=NC
∴
，
MN=AM+CN
∴
；
故答案为③；
（2）解：在（1）中线段MN、AM、CN 之间的数量关系仍然成立．理由如下：
把△BAM 绕点B 顺时针旋转90°得到△BCP，如图1（2），
BM=BP
∴
，AM=CP，∠MBP=90°，∠BCP= A=90°
∠
，
BCP+ BCN=180°
∵∠
∠
，
∴点P 在DC 的延长线上，
NC+CP=NP
∴
，
MBN=
∵∠
ABC=45°
∠
，
NBP=45°
∴∠
，
在△BNM 和△BNP 中
，
BNM
BNP
∴△
△
≌
，
MN=NP
∴
，
MN=CP+CN=AM+CN
∴
；
【拓展】解：如图2，∵∠ABC+ ADC=180°
∠
，
BAD+ BCD=180°
∴∠
∠
，
而∠BAD+ BAM=180°
∠
，
BAM= BCD
∴∠
∠
，
AB=BC
∵
，
∴把△BAM 绕点B 顺时针旋转90°得到△BCQ，
BAM= BCQ
∴∠
∠
，BM=BQ，∠MBQ= ABC
∠
，
BCQ= BCD
∴∠
∠
，
∴点Q 在CN 上，
CN=CQ+MQ=AM+NQ
∴
，
MBN=
∵∠
ABC
∠
，
MBN=
∴∠
MBQ，[来源:Zxxk.Com]
MBN= QBN
∴∠
∠
，
在△BMN 和△BQN 中[来源:Zxxk.Com]
，
BMN
BQN
∴△
△
≌
，
MN=QN
∴
，
CN=AM+MN
∴
，
即MN=CN
AM
﹣
．
【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和旋转的性质；灵活应用全等三
角形的判定与性质解决线段相等的问题；解决本题的关键是构建全等三角形．
