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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题满分45 分，共15 小题，每题3 分．在下列各小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．将一元二次方程x2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1
3．抛物线y=
（x+2）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．
（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
4．关于x 的一元二次方程9x2﹣6x+k=0 有两个实根，则k 的范围是（ ）
A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1
5．将抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到的抛物线，其解析式是
（ ）
A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3
6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0 的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．3 B．﹣2
C．﹣3
D．2
7．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
8．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500 元，降到了980 元，设平均
每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500
9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=59°，则∠C 等于（ ）
A．29° B．31° C．59° D．62°
10．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一
元二次方程x2﹣4x+m=0 的两个实数根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1
B．x1=﹣1，x2=2
C．x1=﹣1，x2=0
D．x1=1，x2=3
11．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD 的长为（ ）
A．2
B．4 C．8 D．
12．已知点（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函数y=x2+1 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
13．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转
90°得到△BOD，则
的长为（ ）
A．π
B．6π
C．3π
D．1.5π
14．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大
长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．已知一次函数y=﹣kx+k 的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx2﹣2x+k 的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
二、解答题：（本大题满分75 分，共9 小题）
16．解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10．
17．已知抛物线的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．求该抛物线的解析式．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，
3）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣6x+k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若x1，x2为该方程的两个实数根且满足x1
2x2
2﹣x1﹣x2=115，求k 的值．
20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=15，AD=20，求AB 和CD 的长．
21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m，水位上升3m 就达到警
戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到
达拱桥顶？
22．某工厂从1 月份起，每月生产收入是22 万元，但在生产过程中会引起环境污染；若再按
现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2 万元；如果投资111 万元治理污染，治污系
统可在1 月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1 至3 月的生产收入以
相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1 月份生产收入为25 万元，1 至3 月份的生产累计
可达91 万元；3 月份以后，每月生产收入稳定在3 月份的水平．
（1）求出投资治污后2、3 月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）
（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理
污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．
23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的
直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E、F 分别在正方形边CB、CD 上，连接AF，取AF 中点M，EF
的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，则△AEF 是 三角形，MD、MN 的数量关系是 ．
（2）如图2，将图1 中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN 的
数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1 中正方形ABCD 及直角三角板ECF 同时绕点C 顺时针旋转90°，如图3，其他条件
不变，则MD、MN 的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M
的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP 是以AM 为底的等腰直角三角形，若存在，请
求出点P 和点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题满分45 分，共15 小题，每题3 分．在下列各小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）
1．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】结合选项根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
2．将一元二次方程x2+3=x 化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．0、3 B．0、1 C．1、3 D．1、﹣1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】首先移项进而得出二次项系数和一次项系数即可．
【解答】解：∵x2+3=x，
∴x2﹣x+3=0，
∴二次项系数和一次项系数分别为：1，﹣1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确移项得出是解题关键．
3．抛物线y=
（x+2）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．
（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【考点】二次函数的性质．
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为y= （x+2）2+1 是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣
2，1）．
故选B．
【点评】考查顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x=h．要掌握顶点式的性质．
4．关于x 的一元二次方程9x2﹣6x+k=0 有两个实根，则k 的范围是（ ）
A．k≤1 B．k≥1 C．k＜1 D．k＞1
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于k 的不等式，求出不等
式的解集即可得到k 的范围．
【解答】解：根据题意得：△=36﹣36k≥0，
解得：k≤1．
故选A．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac 有如下
关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
5．将抛物线y=2x2向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位得到的抛物线，其解析式是
（ ）
A．y=2（x+1）2+3 B．y=2（x﹣1）2﹣3 C．y=2（x+1）2﹣3 D．y=2（x﹣1）2+3
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】抛物线平移不改变a 的值．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1 个单位，再向上平移3 个单位，那么新抛物
线的顶点为（﹣1，3）．可设新抛物线的解析式为y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2（x+1）2+3．
故选A．
【点评】解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
6．若x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2=0 的两个根，则x1x2的值是（ ）
A．3 B．﹣2
C．﹣3
D．2
【考点】根与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1x2=﹣2．
故选B．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，
x1+x2=
，x1x2=
．
7．下列命题中：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②平分弦的直径垂直于弦，并且平
分弦所对的两条弧；③相等的圆心角所对的弧相等；④长度相等的弧是等弧．真命题有
（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】命题与定理．
【专题】推理填空题．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：∵圆既是轴对称图形又是中心对称图形，
∴选项①正确；
∵所平分的弦是直径时不满足，
∴选项②不正确；
∵在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
∴选项③不正确；
∵能完全重合的弧是等弧，
∴选项④不正确．
综上，可得
正确的命题有1 个：①．
故选：A．
【点评】主要主要考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判
断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
8．某种型号的电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500 元，降到了980 元，设平均
每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．1500（1﹣x）2=980 B．1500（1+x）2=980 C．980（1﹣x）2=1500 D．980（1+x）2=1500
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据题意可得，原价×（1﹣降价百分率）2=现价，据此
列方程即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
由题意得，1500（1﹣x）2=980．
故选A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知
数，找出合适的等量关系，列方程．
9．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD=59°，则∠C 等于（ ）
A．29° B．31° C．59° D．62°
【考点】圆周角定理．
【分析】由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，求得∠ADB=90°，继而求得∠A
的度数，然后由圆周角定理，求得∠C 的度数．
【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=59°，
∴∠A=90°﹣∠ABD=31°，
∴∠C=∠A=31°．
故选B．
【点评】此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这
条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的
弦是直径．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
10．已知二次函数y=x2﹣4x+m（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），则关于x 的一
元二次方程x2﹣4x+m=0 的两个实数根是（ ）
A．x1=1，x2=﹣1
B．x1=﹣1，x2=2
C．x1=﹣1，x2=0
D．x1=1，x2=3
【考点】抛物线与x 轴的交点．
【分析】根据抛物线与x 轴交点的性质和根与系数的关系进行解答．
【解答】解：∵二次函数y=x2﹣4x+m（m 为常数）的图象与x 轴的一个交点为（1，0），
∴关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m=0 的一个根是x=1．
∴设关于x 的一元二次方程x2﹣4x+m=0 的另一根是t．
∴1+t=4，
解得 t=3．
即方程的另一根为3．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．注意二次函数解析式与一元二次方程间的转化关
系．
11．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直于弦CD，垂足为P．若PA=2，PB=8，则CD 的长为（ ）
A．2
B．4 C．8 D．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】连接OC，根据PA=2，PB=8 可得CO=5，OP=5﹣2=3，再根据垂径定理可得CD=2CP=8．
【解答】解：连接OC，
∵PA=2，PB=8，
∴AB=10，
∴CO=5，OP=5﹣2=3，
在Rt△POC 中：CP=
=4，
∵直径AB 垂直于弦CD，
∴CD=2CP=8，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理和垂径定理，关键是掌握平分弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的两条弧．
12．已知点（﹣3，y3），（﹣2，y1），（﹣1，y2）在函数y=x2+1 的图象上，则y1，y2，y3的大小关系
是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y1＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y2＞y1＞y3
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】将三个点的坐标分别代入函数关系式，求出y1，y2，y3的值，从而得解．
【解答】解：y1=（﹣3）2+1=9+1=10，
y2=（﹣2）2+1=4+1=5，
y3=（﹣1）2+1=1+1=2，
所以，y1＞y2＞y3．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点坐标特征，此类题目，可以利用二次函数的对称性以及
增减性求解，也可以求出具体的相关的函数值．
13．如图，在4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC 绕点O 顺时针旋转
90°得到△BOD，则
的长为（ ）
A．π
B．6π
C．3π
D．1.5π
【考点】旋转的性质；弧长的计算．
【专题】计算题．
【分析】根据弧长公式列式计算即可得解．
【解答】解：
的长=
=1.5π．
故选：D．
【点评】本题考查了旋转的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
14．如图，用一块直径为a 的圆桌布平铺在对角线长为a 的正方形桌面上，若四周下垂的最大
长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】垂径定理的应用；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】如图，正方形ABCD 为直径为a 的⊙O 的内接正方形，作OE⊥BC 于E，交⊙O 于F，连接
OB，则OB=
a，则可判断△OBE 为等腰直角三角形，所以OE=
OB=
a，然后计算OF﹣OE 即
可．
【解答】解：如图，正方形ABCD 为直径为a 的⊙O 的内接正方形，作OE⊥BC 于E，交⊙O 于F，
连接OB，则OB=
a，
∴△OBE 为等腰直角三角形，
∴OE=
OB=
a，
∴EF=OF﹣OE=
a﹣
a=
a．
即桌布下垂的最大长度x 为
a．
故选A．
【点评】本题考查了垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决
计算弦长、半径、弦心距等问题．也考查了正方形的性质．
15．已知一次函数y=﹣kx+k 的图象如图所示，则二次函数y=﹣kx2﹣2x+k 的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】根据一次函数的图象和性质判断k 的取值范围，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶
点坐标，得到答案．
【解答】解：从一次函数图象可知，k＞1，
﹣k＜0，抛物线开口向下，
﹣
＞﹣1，对称轴在x=﹣1 的右侧，
与y 轴的交点在（0，1）的上方．
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数的图象和性质、二次函数的图象和性质，掌握性质、读懂图象
从中获取正确的信息是解题的关键，解答二次函数图象问题时，要从开口方向、对称轴和顶
点坐标三个方面入手．
二、解答题：（本大题满分75 分，共9 小题）
16．解方程：x（2x﹣5）=4x﹣10．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】由于方程左右两边都含有（2x﹣5），可将（2x﹣5）看作一个整体，然后移项，再分解因
式求解．
【解答】解：原方程可变形为：
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）=0，
（2x﹣5）（x﹣2）=0，
2x﹣5=0 或x﹣2=0；
解得x1=
，x2=2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方
法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
17．已知抛物线的顶点为A（1，﹣4），且过点B（3，0）．求该抛物线的解析式．
【考点】待定系数法求二次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】根据顶点坐标设出顶点形式，把B 坐标代入求出a 的值，即可确定出解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2﹣4，
∵抛物线经过点B（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4=0，
解得：a=1，
∴y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，
3）．
（1）画出△ABC 关于x 轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2，并写出点C2的坐标；
【考点】作图-旋转变换；作图-轴对称变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）从三角形的各点向对称轴引垂线并延长相同单位得到各点的对应点，顺次连接即
可，然后从坐标中读出各点的坐标；
（2）让三角形的各顶点都绕点O 顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．
【解答】解：（1）点C1的坐标（﹣1，﹣3）．
（2）所作图形如下：
．
根据图形结合坐标系可得：C2（3，1）．
【点评】本题考查轴对称及旋转作图的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握两种几何变
换的特点，根据题意找到各点的对应点．
19．已知关于x 的一元二次方程x2﹣6x+k=0 有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围；
（2）若x1，x2为该方程的两个实数根且满足x1
2x2
2﹣x1﹣x2=115，求k 的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=36﹣4k＞0，解不等式求出k 的取值范围；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=6，x1•x2=k，代入x1
2x2
2﹣x1﹣x2=115 得到关于k 的方程，结
合k 的取值范围解方程即可．
【解答】解：（1）由题意可得△=36﹣4k＞0，
解得k＜9；
（2）∵x1，x2为该方程的两个实数根，
∴x1+x2=6，x1•x2=k，
∵x1
2x2
2﹣x1﹣x2=115，
∴k2﹣6=115，
解得k=±11．
∵k＜9，
∴k=﹣11．
【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）△
＞0 时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0 时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0 时，
方程没有实数根；（4）x1+x2=﹣
；（5）x1•x2=
．
20．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，且AB⊥CD，垂足为E．
（1）求证：BC=BD；
（2）若BC=15，AD=20，求AB 和CD 的长．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】探究型．
【分析】（1）直接根据垂径定理即可得出结论；
（2）先根据垂径定理判断出△ABD 是直角三角形，再根据勾股定理求出AB 的长，由
AB•DE=
AD•BD 即可求出DE 的长，再由CD=2DE 即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴
，
∴BC=BD；
（2）解：∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AB=
=
=25，
∵
AB•DE=
AD•BD，
∴
×25×DE=
×20×15．
∴DE=12．
∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD，
∴CD=2DE=2×12=24．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的
弧是解答此题的关键．
21．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m，水位上升3m 就达到警
戒线CD，这时水面宽度为10m．
（1）在如图的坐标系中求抛物线的解析式；
（2）若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到
达拱桥顶？
【考点】二次函数的应用．
【专题】函数思想．
【分析】先设抛物线的解析式，再找出几个点的坐标，代入解析式后可求解．
【解答】解：（1）设所求抛物线的解析式为：y=ax2（a≠0），
由CD=10m，可设D（5，b），
由AB=20m，水位上升3m 就达到警戒线CD，
则B（10，b﹣3），
把D、B 的坐标分别代入y=ax2得：
，
解得
．
∴y=
；
（2）∵b=﹣1，
∴拱桥顶O 到CD 的距离为1m，
∴
=5（小时）．
所以再持续5 小时到达拱桥顶．
【点评】命题立意：此题是把一个实际问题通过数学建模，转化为二次函数问题，用二次函数
的性质加以解决．
22．（2011•枝江市模拟）某工厂从1 月份起，每月生产收入是22 万元，但在生产过程中会引
起环境污染；若再按现状生产，将会受到环保部门的处罚，每月罚款2 万元；如果投资111 万
元治理污染，治污系统可在1 月份启用，这样，该厂不但不受处罚，还可降低生产成本，使1
至3 月的生产收入以相同的百分率递增，经测算，投资治污后，1 月份生产收入为25 万元，1
至3 月份的生产累计可达91 万元；3 月份以后，每月生产收入稳定在3 月份的水平．
（1）求出投资治污后2、3 月份生产收入增长的百分率（参考数据：3.62=1.912，11.56=3.402）
（2）如果把利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的处罚款，试问：治理
污染多少个月后，所投资金开始见效？（即治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润）．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设每月的增长率为x，那么2 月份的生产收入为25（1+x），三月份的生产收入为
25（1+x）2，根据1 至3 月份的生产累计可达91 万元，可列方程求解．
（2）设y 月后开始见成效，根据利润看做生产累计收入减去治理污染的投资额或环保部门的
处罚款且治污后所获利润不小于不治污情况下所获利润可列不等式求解．
【解答】解：（1）设每月的增长率为x，由题意得：
25+25（1+x）+25（1+x）2=91
解得，x=0.2，或x=﹣3.2（不合题意舍去）
答：每月的增长率是20%．
（2）三月份的收入是：25（1+20%）2=36（万元）
设y 月后开始见成效，由题意得：
91+36（y﹣3）﹣111≥22y﹣2y
解得，y≥8
答：治理污染8 个月后开始见成效．
【点评】本题考查理解题意能力，关键是找到1 至3 月份的生产累计可达91 万元和治污后所
获利润不小于不治污情况下所获利润这个等量关系和不等量关系可列方程和不等式求解．
23．如图1，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的
直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E、F 分别在正方形边CB、CD 上，连接AF，取AF 中点M，EF
的中点N，连接MD、MN．
（1）连接AE，则△AEF 是 等腰 三角形，MD、MN 的数量关系是
MD=MN
．
（2）如图2，将图1 中的直角三角板ECF 绕点C 顺时针旋转180°，其他条件不变，则MD、MN 的
数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）将图1 中正方形ABCD 及直角三角板ECF 同时绕点C 顺时针旋转90°，如图3，其他条件
不变，则MD、MN 的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
【考点】四边形综合题；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；等腰直角三角
形；三角形中位线定理；正方形的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出
△ABE≌△ADF，得到AE=AF，即△AEF 是等腰三角形；依据直角三角形斜边上中线的性质以及
三角形的中位线的性质，可得到MN 与MD 的数量关系；
（2）连接AE，根据正方形的性质以及等腰直角三角形的性质，得出BE=DF，继而证出
△ABE≌△ADF，得到AE=AF，再依据直角三角形斜边上中线的性质，可得DM=
AF，根据三角
形的中位线的性质，可得MN=
AE，最后得出MN 与MD 的数量关系；
（3）先连接AE，A′F，根据等腰直角三角形的性质得出CE=CF，继而证出△ADE≌△A′D′F，
得到AE=AF，再依据三角形的中位线的性质，可得DM=
A′F，MN=
AE，最后得出MN 与MD 的
数量关系．
【解答】解：（1）∵FC=EC，DC=BC，
∴DF=BE，
又∵AB=AD，∠B=∠ADF=90°，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，即△AEF 是等腰三角形，
又∵M、N 分别是AF 与EF 的中点，
∴Rt△ADF 中，DM=
AF，
△AEF 中，MN=
AE，
∴DM=MN，
故答案为：等腰，DM=MN；
（2）MD=MN 仍成立，
证明：连接AE，
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，
又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∵在Rt△ADF 中，点M 为AF 的中点，
∴DM=
AF，
∵点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点，
∴MN=
AE，
∴DM=MN；
（3）MD=MN 仍成立，理由如下：
连接AE，A′F，
∵CD=CD′，CE=CF，
∴CD﹣CE=CD′﹣CF，
即DE=D′F，
又∵AD=A′D′，∠ADE=∠D′，
∴△ADE≌△A′D′F（SAS），
∴AE=A′F，
又∵点D 是AA′的中点，点M 为AF 的中点，点N 为EF 的中点，
∴MN，MD 分别为△AEF 和△AA′F 的中位线，
∴MN=
AE，DM=
A′F，
∴MN=DM．
【点评】本题主要考查的是四边形的综合应用，解答本题需要掌握正方形的性质、等腰直角三
角形的性质以及全等三角形的性质和判定，综合性较强，难度较大．解题时注意：直角三角形
斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的中位线等于第三边的一半，是得出线段相等数量关
系的主要依据．
24．如图，抛物线y=（x+1）2+k 与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是抛物线上一动点，且在第三象限；
①当M 点运动到何处时，四边形AMCB 的面积最大？求出四边形AMCB 的最大面积及此时点M
的坐标；
②在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△AMP 是以AM 为底的等腰直角三角形，若存在，请
求出点P 和点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将C（0，﹣3）代入抛物线的解析式求得k 的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）连结AC，过点M 作MD⊥AC，交AD 于点D．先求得点A、B 的坐标，然后再求得直线AC 的解
析式，设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD=﹣x2﹣3x，然后依据四边形AMCB 的面积
=△ABC 面积+△AMC 面积列出S 与x 的函数关系式，然后依据配方法求得二次函数的最大值，
从而可求得点M 的坐标；
（3）先求得抛物线的对称轴方程为x=﹣1，然后过点M 作MD⊥直线x=﹣1，垂足为D，设直线
x=﹣1 与x 轴交于点E，先证明△APE≌△PMD，从而得到EP=MD，AE=PD．设点P（﹣1，a），点M
（a﹣1，a﹣2）．将点M 的坐标代入抛物线的解析式可求得a 的值，从而得到点M 与点P 的坐标．
【解答】解：（1）∵y=（x+1）2+k 与y 轴交于点C（0，﹣3）
﹣3=1+k，得，k=﹣4
∴抛物线解析式为y=（x+1）2﹣4，即y=x2+2x﹣3．
（2）如图1 所示：连结AC，过点M 作MD⊥AC，交AD 于点D．
令y=0 得：x2+2x﹣3=0，解得x1=﹣3，x2=1，
∴A（﹣3，0）、B（1，0）．
设直线AC 的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣3，0）、C（0，﹣3）代入得：
，解得k=﹣1，b=﹣3．
∴直线AC 解析式为y=﹣x﹣3．
设M（x，x2+2x﹣3），则D（x，﹣x﹣3），则MD=﹣x2﹣3x．
∵四边形AMCB 的面积=△ABC 面积+△AMC 面积，
∴四边形AMCB 的面积=
MD•AO+
AB•OC=
×（﹣x2﹣3x）×3+
×4×3=﹣
x2﹣
x+6=﹣
（x+
）2+
．
∴当x=﹣
时，S 最大值为
，点M 的坐标为（﹣
，﹣
）．
（3）存在，理由如下．
∵x=﹣
=﹣1，
∴抛物线的对称轴为x=﹣1．
如图2 所示：过点M 作MD⊥直线x=﹣1，垂足为D，设直线x=﹣1 与x 轴交于点E
∵△APM 为等腰直角三角形，
∴AP=PM，∠APE+∠MPD=90°．
∵∠MPD+∠PMD=90°，
∴∠PMD=∠APE．
在△APE 和△PMD 中
，
∴△APE≌△PMD．
∴EP=MD，AE=PD．
设点P（﹣1，a），点M（a﹣1，a﹣2）．
将M 点代入y=x2+2x﹣3 中，得（a﹣1）2+2（a﹣1）﹣3=a﹣2，整理得：a2﹣a﹣2=0，解得a=2 或
a=﹣1，
∵点P 在x 轴的下方，
∴a=﹣1．
∴P（﹣1，﹣1）、M（﹣2，﹣3）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函
数、二次函数的解析式、全等三角形的性质和判断、求二次函数的最大值，列出S 与x 的函数
关系式是解答问题（2）的关键，用含a 的式子表示点M 的坐标是解答问题（3）的关键．
