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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：每小题4 分，共40 分．
1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．
C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2
2
﹣
2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=
7
﹣
B．（x+4）2=
9
﹣
C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
3．若关于x 的一元二次方程x2
2x+m=0
﹣
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＜﹣1
C．m＞1 D．m＞﹣1
4．一元二次方程x2
x
2=0
﹣﹣
的解是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=
2
﹣
C．x1=
1
﹣，x2=
2
﹣D．x1=
1
﹣，x2=2
5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，在Rt
ABC
△
中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点
B 的对应点是点B′，点C 的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B 的大小是（
）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
7．抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为D（﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之
间，其部分图象如图，则以下结论：
b
①2
4ac
﹣
＜0；②a+b+c＜0；③c
a=2
﹣
；④方程ax2+bx+c
2=0
﹣
有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
8．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
9．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A=35°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
10．在同一坐标系中，一次函数y=
mx+n
﹣
2与二次函数y=x2+m 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题：每小题3 分，共18 分．
11．已知方程x2+mx+3=0 的一个根是1，则它的另一个根是 ．
12．若实数a、b 满足（4a+4b）（4a+4b
2
﹣）﹣8=0，则a+b= ．
13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，平移后抛物
线的解析式为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，
则点B′的坐标为 ．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC
上的动点，则△BEQ 周长的最小值为 ．
16．观察下列图形规律：当n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
三、解答题：8 题，共92 分．
17．计算：
﹣（2015+π）0．
18．解方程：2x2
7x+6=0
﹣
．
19．已知方程x2+3x
1=0
﹣
的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．
（1）α2+β2
（2）
．
20．在平面直角坐标系xOy 中，A 点的坐标为（3，4），将OA 绕原点O 顺时针旋转90°得到
OA′，求点A′的坐标．
21．如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且
=
．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠B=50°，求∠AOC 的度数．
22．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A、B 和D 的距离分别为1，2
，
，
△ADP 沿点A 旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP 与BC 相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ 的大小．
23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013
年市政府共投资3 亿元人民币建设了廉租房12 万平方米，2015 年投资6.75 亿元人民币建设
廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015 年建设了多少万平方米廉租房？
24．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣（m
3
﹣）x
m=0
﹣
．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m
3
﹣）x
m
﹣
与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距
离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2
x
﹣1|）
25．已知抛物线y=
x
﹣2
2x+a
﹣
（a≠0）与y 轴相交于A 点，顶点为M，直线y=
分别与x
轴、y 轴相交于B、C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．
（1）若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M、A 的坐标．
（2）将△NAC 沿着y 轴翻转，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴
相交于点D，连接CD，求a 的值及△PCD 的面积．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题4 分，共40 分．
1．下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c=0
B．
C．3（x+1）2=2（x+1）D．2x2+3x=2x2
2
﹣
【考点】一元二次方程的定义．
【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；
含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：A、a=0，ax2+bx+c=0 是一元一次方程，故A 错误；
B、（）2+
2=0
﹣
是分式方程，故B 错误；
C、3（x+1）2=2（x+1）是一元二次方程，故C 正确；
D、2x2+3x=2x2
2
﹣是一元一次方程，故D 错误；
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否
是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．用配方法解方程x2+8x+9=0，变形后的结果正确的是（ ）
A．（x+4）2=
7
﹣
B．（x+4）2=
9
﹣
C．（x+4）2=7 D．（x+4）2=25
【考点】解一元二次方程-配方法．
【专题】计算题．
【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方即可得到结果．
【解答】解：方程x2+8x+9=0，整理得：x2+8x=
9
﹣，
配方得：x2+8x+16=7，即（x+4）2=7，
故选C
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
3．若关于x 的一元二次方程x2
2x+m=0
﹣
有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m＜1 B．m＜﹣1
C．m＞1 D．m＞﹣1
【考点】根的判别式．
【专题】计算题．
【分析】根据根的判别式，令△＞0 即可求出根的判别式．
【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x2
2x+m=0
﹣
有两个不相等的实数根，
=
∴△（﹣2）2
4×m
﹣
＞0，
4
4m
∴﹣
＞0，
解得m＜1．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
4．一元二次方程x2
x
2=0
﹣﹣
的解是（ ）
A．x1=1，x2=2 B．x1=1，x2=
2
﹣
C．x1=
1
﹣，x2=
2
﹣D．x1=
1
﹣，x2=2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】因式分解．
【分析】直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根
【解答】解：x2
x
2=0
﹣﹣
（x
2
﹣）（x+1）=0，
解得：x1=
1
﹣，x2=2．
故选：D．
【点评】此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键．
5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图
形的概念，解答时要注意：
判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是
要寻找对称中心，图形旋转180 度后与原图重合．
6．如图，在Rt
ABC
△
中，∠BAC=90°，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点
B 的对应点是点B′，点C 的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B 的大小是（
）
A．32°
B．64°
C．77°
D．87°
【考点】旋转的性质．
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角
的性质求出∠C′B′A 的度数，进而求出∠B 的度数．
【解答】解：由旋转的性质可知，AC=AC′，
CAC′=90°
∠
∵
，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
CC′B′=32°
∵∠
，
C′B′A= C′CA+ CC′B′=45°+32°=77°
∴∠
∠
∠
，
B= C′B′A
∵∠
∠
，
B=77°
∴∠
，
故选C．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查
了等腰直角三角形的性质．
7．抛物线y=ax2+bx+c 的顶点为D（﹣1，2），与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之
间，其部分图象如图，则以下结论：
b
①2
4ac
﹣
＜0；②a+b+c＜0；③c
a=2
﹣
；④方程ax2+bx+c
2=0
﹣
有两个相等的实数根．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点．
【专题】数形结合．
【分析】由抛物线与x 轴有两个交点得到b2
4ac
﹣
＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称
轴为直线x=
1
﹣，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）
之间，所以当x=1 时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a
b+c=2
﹣
，由抛物
线的对称轴为直线x=﹣
=
1
﹣得b=2a，所以c
a=2
﹣
；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣
1 时，二次函数有最大值为2，即只有x=
1
﹣时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c
2=0
﹣
有两
个相等的实数根．
【解答】解：∵抛物线与x 轴有两个交点，
b
∴2
4ac
﹣
＞0，所以①错误；
∵顶点为D（﹣1，2），
∴抛物线的对称轴为直线x=
1
﹣，
∵抛物线与x 轴的一个交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴抛物线与x 轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x=1 时，y＜0，
a+b+c
∴
＜0，所以②正确；
∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），
a
b+c=2
∴﹣
，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣
=
1
﹣，
b=2a
∴
，
a
2a+c=2
∴﹣
，即c
a=2
﹣
，所以③正确；
∵当x=
1
﹣时，二次函数有最大值为2，
即只有x=
1
﹣时，ax2+bx+c=2，
∴方程ax2+bx+c
2=0
﹣
有两个相等的实数根，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物
线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣
；抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c）；当
b2
4ac
﹣
＞0，抛物线与x 轴有两个交点；当b2
4ac=0
﹣
，抛物线与x 轴有一个交点；当b2
4ac
﹣
＜0，抛物线与x 轴没有交点．
8．如图，已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】垂径定理；勾股定理．
【分析】过O 作OC AB
⊥
于C，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC 即可．
【解答】解：过O 作OC AB
⊥
于C，
OC
∵
过O，
AC=BC=
∴
AB=12，
在Rt
AOC
△
中，由勾股定理得：OC=
=5．
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，关键是求出OC 的长．
9．如图，已知AB 是△ABC 外接圆的直径，∠A=35°，则∠B 的度数是（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【考点】圆周角定理．
【专题】几何图形问题．
【分析】由AB 是△ABC 外接圆的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得∠ACB=90°，
又由∠A=35°，即可求得∠B 的度数．
【解答】解：∵AB 是△ABC 外接圆的直径，
C=90°
∴∠
，
A=35°
∵∠
，
B=90°
A=55°
∴∠
∠
﹣
．
故选：C．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
10．在同一坐标系中，一次函数y=
mx+n
﹣
2与二次函数y=x2+m 的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．
【分析】本题可先由一次函数y=
mx+n
﹣
2图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=x2+m 的
图象相比较看是否一致．
【解答】解：A、由直线与y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，n2＜0，错误；
B、由抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
C、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D、由抛物线y 轴的交点在y 轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
【点评】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法，
难度适中．
二、填空题：每小题3 分，共18 分．
11．已知方程x2+mx+3=0 的一个根是1，则它的另一个根是
3
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系，两个根的积是3，即可求解．
【解答】解：设方程的另一个解是a，则1×a=3，
解得：a=3．
故答案是：3．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确理解根与系数的关系是关键．
12．若实数a、b 满足（4a+4b）（4a+4b
2
﹣）﹣8=0，则a+b= ﹣或
1
．
【考点】换元法解一元二次方程．
【分析】设a+b=x，则原方程转化为关于x 的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x 即
（a+b）的值．
【解答】解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x
2
﹣）﹣8=0，
整理，得16x2
8x
8=0
﹣
﹣
，即2x2
x
1=0
﹣﹣
，
分解得：（2x+1）（x
1
﹣）=0，
解得：x1=﹣，x2=1．
则a+b 的值是﹣或1．
故答案是：﹣或1．
【点评】本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等
量替换．
13．把二次函数y=2x2的图象向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，平移后抛物
线的解析式为
y=2
（
x+1
）
2
2
﹣
．
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=2x2的图象向左平移1 个单位长度所
得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2，即y=2（x+1）2；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=2
（x+1）2向下平移2 个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x+1）2
2
﹣，即y=2（x+1）2
2
﹣．
故答案为：y=2（x+1）2
2
﹣．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的
关键．
14．如图，在平面直角坐标系中，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°后，得到线段AB′，
则点B′的坐标为 （
4 ，
2 ）
．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】几何变换．
【分析】画出旋转后的图形位置，根据图形求解．
【解答】解：AB 旋转后位置如图所示．
B′（4，2）．
【点评】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向
逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．
15．如图，在边长为4 的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC
上的动点，则△BEQ 周长的最小值为
6
．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B 与点D 关于直线AC 对称，故DE 的长即为
BQ+QE 的最小值，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴点B 与点D 关于直线AC 对称，
DE
∴
的长即为BQ+QE 的最小值，
DE=BQ+QE=
∵
=
=5，
BEQ
∴△
周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
16．观察下列图形规律：当n=
5
时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型．
【分析】首先根据n=1、2、3、4 时，“●”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中
“●”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“△”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个
“△”的个数是
；最后根据图形“●”的个数和“△”的个数相等，求出n 的值
是多少即可．
【解答】解：∵n=1 时，“●”的个数是3=3×1；
n=2 时，“●”的个数是6=3×2；
n=3 时，“●”的个数是9=3×3；
n=4 时，“●”的个数是12=3×4；
∴第n 个图形中“●”的个数是3n；
又∵n=1 时，“△”的个数是1=
；
n=2 时，“△”的个数是3=
；
n=3 时，“△”的个数是6=
；
n=4 时，“△”的个数是10=
；
∴第n 个“△”的个数是
；
由3n=
，
可得n2
5n=0
﹣
，
解得n=5 或n=0（舍去），
∴当n=5 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了规律型：图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是：首
先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规
律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
三、解答题：8 题，共92 分．
17．计算：
﹣（2015+π）0．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每
个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：
﹣（2015+π）0
=2
+3
2
﹣
3
1
﹣﹣
=
1
﹣．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关
键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
18．解方程：2x2
7x+6=0
﹣
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】利用十字相乘法因式分解得到（2x
3
﹣）（x
2
﹣）=0，推出2x
3=0
﹣
，x
2=0
﹣
，求出方程
的解即可．
【解答】解：2x2
7x+6=0
﹣
，
（2x
3
﹣）（x
2
﹣）=0，
2x
3=0
∴
﹣
，x
2=0
﹣
，
x1= ，x2=2，
【点评】此题主要考查了解一元二次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方
程转换成一元一次方程是解此题的关键．
19．已知方程x2+3x
1=0
﹣
的两个实数根为α、β，不解方程求下列程式的值．
（1）α2+β2
（2）
．
【考点】根与系数的关系．
【分析】（1）根据根与系数的关系得出α+β 和αβ，再把α2+β2变形（α+β）2
2αβ
﹣
，代入计算即
可；
（2）把
化为
，再代入计算即可．
【解答】解：（1）∵方程x2+3x
1=0
﹣
的两个实数根为α、β，
α+β=
3
∴
﹣，αβ=
1
﹣，
α
∴2+β2=（α+β）2
2αβ
﹣
=9+2
=11；
（2）∵α+β=
3
﹣，αβ=
1
﹣，
∴
=
=
=
11
﹣
．
【点评】本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经
常使用的解题方法．
20．在平面直角坐标系xOy 中，A 点的坐标为（3，4），将OA 绕原点O 顺时针旋转90°得到
OA′，求点A′的坐标．
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【专题】数形结合．
【分析】根据A 点坐标得到OB=4，AB=3，OA 绕原点O 顺时针旋转90°得到OA′可看作是
Rt
OAB
△
绕原点O 顺时针旋转90°得到RtOA′C，
根据旋转的性质得到A′C=AB=3，OC=OB=4，再写出A′点的坐标．
【解答】解：AB y
⊥轴于B，A′C x
⊥轴于C，如图，OB=4，AB=3，
OA 绕原点O 顺时针旋转90°得到OA′可看作是Rt
OAB
△
绕原点O 顺时针旋转90°得到
RtOA′C，
则A′C=AB=3，OC=OB=4，
所以点A′的坐标为（4，﹣3）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的
特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°．
21．如图，AB，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且
=
．
（1）求证：BE=CE；
（2）若∠B=50°，求∠AOC 的度数．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．
【分析】（1）根据∠AOD= BOE
∠
可知
=
，再由
=
即可得出结论；
（2）先根据等腰三角形的性质求出∠BOE 的度数，再由BE=CE 可得出∠BOE= COE
∠
，根据
补角的定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠AOD= BOE
∠
，
∴
=
．
∵
=
，
∴
=
，
BE=CE
∴
；
（2）解：∵∠B=50°，OB=OE，
BOE=180°
50°
50°=80°
∴∠
﹣
﹣
．
∵由（1）知，BE=CE，
COE= BOE=80°
∴∠
∠
，
AOC=180°
80°
80°=20°
∴∠
﹣
﹣
．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解答此题的关键．
22．如图，点P 是正方形ABCD 内一点，点P 到点A、B 和D 的距离分别为1，2
，
，
△ADP 沿点A 旋转至△ABP′，连结PP′，并延长AP 与BC 相交于点Q．
（1）求证：△APP′是等腰直角三角形；
（2）求∠BPQ 的大小．
【考点】旋转的性质；等腰直角三角形；正方形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，再利用旋转的性质得AP=AP′，
∠PAP′= DAB=90°
∠
，于是可判断△APP′是等腰直角三角形；
（2）根据等腰直角三角形的性质得PP′=
PA=
，∠APP′=45°，再利用旋转的性质得
PD=P′B=
，接着根据勾股定理的逆定理可证明△PP′B 为直角三角形，∠P′PB=90°，然后
利用平角定义计算∠BPQ 的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，
AB=AD
∴
，∠BAD=90°，
ADP
∵△
沿点A 旋转至△ABP′，
AP=AP′
∴
，∠PAP′= DAB=90°
∠
，
APP′
∴△
是等腰直角三角形；
（2）解：∵△APP′是等腰直角三角形，
PP′=
∴
PA=
，∠APP′=45°，
ADP
∵△
沿点A 旋转至△ABP′，
PD=P′B=
∴
，
在△PP′B 中，PP′=
，PB=2
，P′B=
，
∵（
）2+（2
）2=（
）2，
PP′
∴
2+PB2=P′B2，
PP′B
∴△
为直角三角形，∠P′PB=90°，
BPQ=180°
APP′
P′PB=
∴∠
∠
∠
﹣
﹣
180°
45°
90°=45°
﹣
﹣
．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和勾股定理的逆定理．
23．为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度．2013
年市政府共投资3 亿元人民币建设了廉租房12 万平方米，2015 年投资6.75 亿元人民币建设
廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求每年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2015 年建设了多少万平方米廉租房？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2015 年的投资，列出方程，解方程
即可；
（2）2015 年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．
【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，根据题意得：
3（1+x）2=6.75，
解得：x=0.5，或x=
2.5
﹣
（不合题意，舍去），
x=0.5=50%
∴
，
即每年市政府投资的增长率为50%；
（2）∵12（1+50%）2=27，
2015
∴
年建设了27 万平方米廉租房．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题
意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
24．已知关于x 的一元二次方程：x2﹣（m
3
﹣）x
m=0
﹣
．
（1）试判断原方程根的情况；
（2）若抛物线y=x2﹣（m
3
﹣）x
m
﹣
与x 轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B 两点间的距
离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．
（友情提示：AB=|x2
x
﹣1|）
【考点】抛物线与x 轴的交点；根的判别式．
【分析】（1）根据根的判别式，可得答案；
（2）根据根与系数的关系，可得A、B 间的距离，根据二次函数的性质，可得答案．
【解答】解：（1）△=[﹣（m
3
﹣）]2
4
﹣（﹣m）=m2
2m+9=
﹣
（m
1
﹣）2+8，
∵（m
1
﹣）2≥0，
=
∴△（m
1
﹣）2+8＞0，
∴原方程有两个不等实数根；
（2）存在，
由题意知x1，x2是原方程的两根，
x
∴1+x2=m
3
﹣，x1•x2=
m
﹣．
AB=|x
∵
1
x
﹣2|，
A
∴
B2=（x1
x
﹣2）2=（x1+x2）2
4x
﹣
1x2
=（m
3
﹣）2
4
﹣（﹣m）=（m
1
﹣）2+8，
∴当m=1 时，AB2有最小值8，
AB
∴
有最小值，即AB=
=2
【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点，利用了根的判别式，根据根与系数的关系，利用完
全平方公式得出二次函数是解题关键，又利用了二次函数的性质．
25．已知抛物线y=
x
﹣2
2x+a
﹣
（a≠0）与y 轴相交于A 点，顶点为M，直线y=
分别与x
轴、y 轴相交于B、C 两点，并且与直线MA 相交于N 点．
（1）若直线BC 和抛物线有两个不同交点，求a 的取值范围，并用a 表示交点M、A 的坐标．
（2）将△NAC 沿着y 轴翻转，若点N 的对称点P 恰好落在抛物线上，AP 与抛物线的对称轴
相交于点D，连接CD，求a 的值及△PCD 的面积．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据题意联立抛物线和直线的解析式，化为一元二次方程，运用△＞0 即可求出
a 的取值范围和交点的坐标；
（2）根据轴对称性质表示出点P 的坐标并代入抛物线，求出a 的值，用△ACP 的面积减去
△ADC 的面积即可求出△PCD 的面积．
【解答】解：（1）由题意联立
，
整理得：2x 2+5x
4a=0
﹣
，
由△=25+32a＞0，解得：
，
a≠0
∵
，
∴
且a≠0，
当x=0 时，y=a，
A
∴（0，a），
y=
x
∵
﹣2
2x+a=
﹣
﹣（x+1）2+a+1，
M
∴
（﹣1，a+1）．
（2）设直线MA 为：y=kx+b，代入A（0，a），M（﹣1，a+1）得，
，
解得：
，
所以直线MA 为y=
x+a
﹣
，
联立
，解得
，
所以：N（
，
），
∵点P 是N 关于y 轴的对称点，
P
∴（﹣
，
），
代入y=
x
﹣2
2x+a
﹣
，得
，
解得：a= ，或a=0（舍去），
∴抛物线为y=
x
﹣2
2x+
﹣
，直线BC 为y=
﹣，
当x=0 时，y=﹣，
C
∴（0，﹣），
A（0，），M（﹣1，
），
|AC|=
∴
，
S
∴
PCD
△
=S
PAC
△
S
﹣
DAC
△
= |AC|×|xp|﹣|AC|×|xD|
= × ×3﹣× ×1= ．
【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会运用待定系数法求函数解析式，会求函数图象
的交点和三角形的面积是解题的关键．
