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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题满分36 分，每小题3 分）
1．负3 与2 的和是（ ）
A．5 B．﹣5
C．1 D．﹣1
2．国家游泳中心﹣﹣“水立方”是北京2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约
为260 000 平方米，将260 000 用科学记数法表示应为（ ）
A．0.26×106 B．26×104
C．2.6×106 D．2.6×105
3．下面的一元二次方程中，一次项系数为5 的方程是（ ）
A．5x2﹣5x+1=0
B．3x2+5x+1=0C．3x2﹣x+5=0D．5x2﹣x=5
4．如图，▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m 的取值范围
是（ ）
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
5．观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm，AB+AC=14cm，则梯形DBCE 的周长是（ ）
A．13cm B．18cm
C．10cm D．上述答案都不对
7．下面命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．等腰梯形的两个角一定相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
8．反比例函数
的图象经过点（﹣2，3），则k 的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣6
C．﹣7
D．上述答案都不对
9．某超市一月份的营业额为30 万元，三月份的营业额为56 万元．设每月的平均增长率为x，
则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2=30 B．56（1﹣x）2=30 C．30（1+x）2=56 D．30（1+x）3=56
10．一元二次方程3x2=x 的解是（ ）
A．x=0
B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=
D．x=
11．如图甲、乙、丙三个三角形中能确定和右图△ABC 完全重合的是（ ）
A．甲和丙
B．丙和乙
C．只有甲
D．只有丙
12．在平行四边形ABCD 中，已知AB=4cm，BC=9cm，平行四边形ABCD 的面积为18cm2，则∠B 是
（ ）
A．45° B．30° C．60° D．22.5°
二、填空题（本大题满分18 分，每小题3 分）
13．计算：3
﹣2
= ．
14．配方x2﹣8x+ =（x﹣ ）2．
15．若关于x 的方程x2+4x+k=0 有实数根，则k 的取值范围是 ．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D 到直线AB 的距离DE= ，点D 到
直线BC 的距离等于 ．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，EF 经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是
．
18．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点M 是BC 的中点，BC=2AM，∠ACB=20°，则∠BAD= °．
三、解答题（本大题满分56 分）
19．解方程：（x﹣2）2=5
（2）解方程：3x2﹣4x+1=0．
20．如图是由若干个小正方体搭成的几何体，请你画出它的三视图（必须用尺子画图）
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC 向上平移5 个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O 为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O 对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
22．如图，现将一张矩形ABCD 的纸片一角折叠，若能使点D 落在AB 边上F 处，折痕为CE，恰
好∠AEF=60°，延长EF 交CB 的延长线于点G．
（1）求证：△CEG 是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB 的长．
23．（11 分）如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，点F、G 分别是边BC、CD 的中点，连接AF、
FG，过点D 作DE∥FG 交AF 于点E．
（1）求证：△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD 为直角梯形，∠B=90°，判断四边形DEFG 是什么特殊四边形？并证明你的
结论；
（3）若梯形ABCD 的面积为a（平方单位），则四边形DEFG 的面积为 （平方单位）．（只写结
果，不必说理）
24．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长28m），另三边用木栏围成，木栏
长32m．
（1）鸡场的面积能围到120㎡吗？
（2）鸡场的面积能围到130㎡吗？
（3）鸡场能建的最大面积是多少？如果（1）或（2）或（3）能，请你给出设计方案；如果不能，请
你说明理由．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题满分36 分，每小题3 分）
1．负3 与2 的和是（ ）
A．5 B．﹣5
C．1 D．﹣1
【考点】有理数的加法．
【分析】绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝
对值．依此即可求解．
【解答】解：﹣3+2=﹣1．
故选：D．
【点评】考查了有理数的加法，在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号
还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．
2．国家游泳中心﹣﹣“水立方”是北京2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约
为260 000 平方米，将260 000 用科学记数法表示应为（ ）
A．0.26×106 B．26×104
C．2.6×106 D．2.6×105
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【专题】应用题．
【分析】确定a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）中n 的值是易错点，由于260 000 有5 位，所以可
以确定n=5﹣1=4．
【解答】解：260 000=2.6×105．
故选：D．
【点评】把一个数M 记成a×10n（1≤|a|＜10，n 为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记
数法．规律：
（1）当|a|≥1 时，n 的值为a 的整数位数减1；
（2）当|a|＜1 时，n 的值是第一个不是0 的数字前0 的个数，包括整数位上的0．
3．下面的一元二次方程中，一次项系数为5 的方程是（ ）
A．5x2﹣5x+1=0
B．3x2+5x+1=0C．3x2﹣x+5=0D．5x2﹣x=5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】利用任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0
（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx
叫做一次项，进而分析得出答案．
【解答】解：A、5x2﹣5x+1=0，一次项系数为﹣5，故此选项错误；
B、3x2+5x+1=0，一次项系数为5，故此选项正确；
C、3x2﹣x+5=0，一次项系数为﹣1，故此选项错误；
D、5x2﹣x=5，一次项系数为﹣1，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确得出一次项系数是解题关键．
4．如图，▱ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O，如果AC=12、BD=10、AB=m，那么m 的取值范围
是（ ）
A．1＜m＜11 B．2＜m＜22 C．10＜m＜12 D．5＜m＜6
【考点】平行四边形的性质；三角形三边关系．
【分析】在平行四边形中，对角线互相平分，在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于
第三边，进而即可求解．
【解答】解：在平行四边形ABCD 中，则可得OA=
AC，OB=
BD，
在△AOB 中，由三角形三边关系可得OA﹣OB＜AB＜OA+OB，
即6﹣5＜m＜6+5，1＜m＜11．
故选A
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形的三边关系，关键是根据在三角形中，两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：A、主视图为矩形，俯视图为圆，错误；
B、主视图为矩形，俯视图为矩形，正确；
C、主视图为等腰梯形，俯视图为圆环，错误；
D、主视图为三角形，俯视图为有对角线的矩形，错误．
故选B．
【点评】本题重点考查了三视图的定义考查学生的空间想象能力．
6．如图，DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm，AB+AC=14cm，则梯形DBCE 的周长是（ ）
A．13cm B．18cm
C．10cm D．上述答案都不对
【考点】三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理，三角形的中位线平分三角形的两边，而且平行且等于底边的
一半，从而可以求出结果．
【解答】解：∵DE 是△ABC 的中位线，DE=2cm，
∴BC=4cm，
∵AB+AC=14cm，
∴BD+CE=
（AB+AC）=
×14=7cm，
∴梯形DBCE 的周长为：BD+BC+CE+DE=7+2+4=13cm．
故选A．
【点评】此题主要考查了三角形中位线定理，三角形中位线定理应用比较广泛同学们应特别
注意熟练掌握其定理．
7．下面命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．等腰梯形的两个角一定相等
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等
【考点】等腰梯形的性质；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
【专题】常规题型．
【分析】此题需要根据平行四边形的判定、等腰梯形的性质、菱形、三角形垂直平分线的性质
四个知识点，分别对四个结论进行判断，然后得出正确的结果．
【解答】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形，故本选项
错误；
B、等腰梯形的两个角不一定相等，还可能互补，故本选项错误；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
D、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等，故本选项正
确；
故选D．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的性质、菱形、三角形垂直平分线的性质，考
查的知识点较多，但难度不大，注意细心判断各个选项．
8．反比例函数
的图象经过点（﹣2，3），则k 的值是（ ）
A．﹣5
B．﹣6
C．﹣7
D．上述答案都不对
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】函数经过点（﹣2，3），将此点坐标代入函数解析式
（k≠0），即可求得k 的值．
【解答】解：∵函数经过点P（﹣2，3），
∴3=
，
得k=﹣5．
故选A．
【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
9．某超市一月份的营业额为30 万元，三月份的营业额为56 万元．设每月的平均增长率为x，
则可列方程为（ ）
A．56（1+x）2=30 B．56（1﹣x）2=30 C．30（1+x）2=56 D．30（1+x）3=56
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设每月的平均增长率为x，根据某超市一月份的营业额为30 万元，三月份的营业额为
56 万元．可列出方程．
【解答】解：设每月的平均增长率为x，
30（1+x）2=56．
故选C．
【点评】本题考查理解题意的能力，是个增长率问题，经过两次变化可列方程．
10．一元二次方程3x2=x 的解是（ ）
A．x=0
B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=
D．x=
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：3x2=x，
3x2﹣x=0，
x（3x﹣1）=0，
x=0，3x﹣1=0，
x1=0，x2=
，
故选C．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
11．如图甲、乙、丙三个三角形中能确定和右图△ABC 完全重合的是（ ）
A．甲和丙
B．丙和乙
C．只有甲
D．只有丙
【考点】全等三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定，甲通过条件SAS 可证得与右边图形全等即能重合；丙通过条
件ASA 可证得与右边图形全等即能重合；乙只有两个条件不能证明与右边图形全等，即可得
解．
【解答】解：∵a=BC，c=AB，50°=∠B，
∴甲与△ABC 全等（SAS），即两图形能重合；
∵85°=∠A，c=AB，50°=∠B，
∴丙与△ABC 全等（ASA），即两图形能重合；
乙的已知条件不能证明与△ABC 全等，即不能与△ABC 重合．
故选A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
12．在平行四边形ABCD 中，已知AB=4cm，BC=9cm，平行四边形ABCD 的面积为18cm2，则∠B 是
（ ）
A．45° B．30° C．60° D．22.5°
【考点】平行四边形的性质．
【分析】先画图形，过点A 作AE⊥BC，垂足为E，由▱ABCD 的面积为18cm2，则AE=2cm，再由直
角三角形的性质，求出∠B．
【解答】解：过点A 作AE⊥BC，垂足为E，
∵▱ABCD 的面积为18cm2，BC=9cm，
∴AE=2cm，
∵AB=4cm，
∴∠B=30°．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和直角三角形的性质，关键是掌握平行四边形的面积
公式：底×高．
二、填空题（本大题满分18 分，每小题3 分）
13．计算：3
﹣2
=
．
【考点】二次根式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】直接进行同类二次根式的合并即可得出答案．
【解答】解：原式=
．
故答案为：
．
【点评】本题考查二次根式的减法运算，比较简单，注意计算时要细心．
14．配方x2﹣8x+
16
=（x﹣
4
）2．
【考点】配方法的应用．
【专题】配方法．
【分析】由于二次项的系数为1，所给式子组成完全平方式，所以常数项是一次项系数一半的
平方．
【解答】解：∵所给代数式的二次项系数为1，一次项系数为﹣8，等号右边正好是一个完全平
方式，
∴常数项为（﹣8÷2）2=16，
∴x2﹣8x+16=（x﹣4）2．
故答案为16；4．
【点评】考查完全平方公式在配方法中的应用：若二次项的系数为1，常数项是一次项系数一
半的平方．
15．若关于x 的方程x2+4x+k=0 有实数根，则k 的取值范围是
k ≤
4
．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有实数根，那么方程根的判别式△=b2﹣4ac≥0，可据此求出k 的取
值范围．
【解答】解：关于x 的方程x2+4x+k=0 中，a=1，b=4，c=k；
若方程有实数根，则△=b2﹣4ac=42﹣4k≥0，解得k≤4；
故k 的取值范围是：k≤4．
【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．如图，在菱形ABCD 中，∠B=60°，对角线BD=22，则点D 到直线AB 的距离DE=
11
，点D
到直线BC 的距离等于
11
．
【考点】含30 度角的直角三角形；菱形的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据菱形的对角线平分第组对角可得∠EBD=30°，再根据直角三角形中30 度所对的
边是斜边的一半即可求得DE 的长，同理可求得D 到直线BC 的距离．
【解答】解：过点D 作DE⊥BA 的延长线于点E，
∵在菱形ABCD 中，∠B=60°，BD 为其对角线，
∴∠EBD=30°，
∵∠BED=90°，BD=22，
∴DE=11，
同理：D 到直线BC 的距离为11．
故答案为：11，11．
【点评】此题主要考查菱形的性质及含30 度的直角三角形的性质的综合运用．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=6，EF 经过对角线的交点O，则图中阴影部分的面积是
12
．
【考点】矩形的性质；三角形的面积．
【专题】计算题．
【分析】易证△AOE≌△COF，则阴影部分的面积为△CDO 的面积，根据矩形对角线分成的四部
分面积相等，即可计算阴影部分的面积，即可解题．
【解答】解：在△AOE 和△COF 中，
∠EAO=∠FCO，AO=CO，∠COF=∠EOA，
∴△AOE≌△COF，则△AOE 和△COF 面积相等，
∴阴影部分的面积与△CDO 的面积相等，
又∵矩形对角线将矩形分成面积相等的四部分，
∴阴影部分的面积为
=12，
故答案为 12．
【点评】本题考查了矩形对角线相等且互相平分的性质，考查了矩形面积的计算，本题中求证
阴影部分的面积与△CDO 的面积相等是解题的关键．
18．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，点M 是BC 的中点，BC=2AM，∠ACB=20°，则∠BAD=
110
°．
【考点】直角三角形斜边上的中线．
【专题】计算题．
【分析】由已知可判定△ABC 是直角三角形，已知∠ACB 的度数，根据三角形内角和定理可求
得∠B 的度数，再根据梯形的性质即可求解．
【解答】解：∵点M 是BC 的中点，BC=2AM，
∴△ABC 是直角三角形，
∵∠ACB=20°，
∴∠B=70°，
∵AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=80°，
∴∠BAD=110°．
故答案为：110．
【点评】此题主要考查定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三
角形是以这条边为斜边的直角三角形．
三、解答题（本大题满分56 分）
19．（1）解方程：（x﹣2）2=5
（2）解方程：3x2﹣4x+1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-直接开平方法．
【分析】（1）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣2）2=5，
x﹣2=
，
x1=2+
，x2=2﹣
；
（2）3x2﹣4x+1=0，
（3x﹣1）（x﹣1）=0，
3x﹣1=0，x﹣1=0，
x1=
，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的
关键，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
20．如图是由若干个小正方体搭成的几何体，请你画出它的三视图（必须用尺子画图）
【考点】作图-三视图．
【专题】作图题．
【分析】画出从物体的正面，左面，上面看得到的图形即可．
【解答】解：主视图从左往右3 列正方形的个数依次为2，1，1；
左视图从左往右2 列正方形的个数依次为2，1．
俯视图从左往右3 列正方形的个数依次为2，1，1．
【点评】考查画三视图的知识；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，
左面，上面看得到的图形．
21．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1 个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，
△ABC 的顶点均在格点上，点C 的坐标为（4，﹣1）．
①把△ABC 向上平移5 个单位后得到对应的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出C1的坐标；
②以原点O 为对称中心，再画出与△A1B1C1关于原点O 对称的△A2B2C2，并写出点C2的坐标．
【考点】作图-旋转变换；利用平移设计图案．
【分析】①A、B、C 三点的坐标纵坐标加5，横坐标不变即可得到对应点，再顺次连接即可；
②分别找出A1、B1、C1关于原点对称点的坐标，再顺次连接即可．
【解答】解：①如图所示：C1的坐标（4，4）．
②如图所示：点C2的坐标（﹣4，﹣4）．
【点评】此题主要考查了利用平移设计图案，以及旋转，关键是正确找出对应点．
22．如图，现将一张矩形ABCD 的纸片一角折叠，若能使点D 落在AB 边上F 处，折痕为CE，恰
好∠AEF=60°，延长EF 交CB 的延长线于点G．
（1）求证：△CEG 是等边三角形；
（2）若矩形的一边AD=3，求另一边AB 的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）由折叠可知∠DEC=∠FEC，已知∠AEF=60°，可知∠DEC=∠FEC=60°，由AD∥GC，
可知∠G=∠AEF=60°，故有∠G=∠FEC=60°，所以△CEG 是等边三角形；
（2）在Rt△AEF 中，∠AEF=60°，设AE=x，则EF=2x，由折叠的性质得ED=EF=2x，根据
AE+ED=AD，列方程求x，在Rt△CDE 中，DE=2，∠DEC=60°，可得CE=2DE=4，利用勾股定理可求
CD，即AB 的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD∥BC 即AD∥GC，
∴∠G=∠AEF=60°，
由折叠可知：∠CED=∠CEG，而∠GED=180°﹣∠AEF=120°
∴∠GEC=∠CED=
∠GED=60°即∠G=∠GEC=60°，
∴△CEG 是等边三角形；
（2）解：∵四边形ABCD 是矩形∴∠A=∠D=90°，AB=CD，
由（1）可知∠AEF=∠CED=60°，∴∠AFE=∠DCE=30°，
∴EF=2AE，CE=2DE．设AE=x，则EF=2x，ED=EF=2x，
∴AD=x+2x=3，CE=4x，解得，x=1，DE=2，CE=4，
在Rt△CDE 中，CD=
∴AB=2
．
【点评】本题考查了折叠的性质及其运用．关键是由折叠求相等的线段，相等的角，把问题集
中在直角三角形中使用勾股定理．
23．如图，在梯形ABCD 中，AD∥BC，BC=2AD，点F、G 分别是边BC、CD 的中点，连接AF、FG，过点
D 作DE∥FG 交AF 于点E．
（1）求证：△AED≌△CGF；
（2）若梯形ABCD 为直角梯形，∠B=90°，判断四边形DEFG 是什么特殊四边形？并证明你的
结论；
（3）若梯形ABCD 的面积为a（平方单位），则四边形DEFG 的面积为
a
（平方单位）．（只
写结果，不必说理）
【考点】梯形；全等三角形的判定；菱形的判定．
【专题】计算题．
【分析】（1）∵BC=2AD，点F 为BC 的中点，∴CF=AD．又∵AD∥BC，∴四边形AFCD 是平行四边形，
∴∠DAE=∠C，AF∥DC，∴∠AFG=∠CGF．∵DE∥GF，∴∠AED=∠AFG，∴∠AED=∠CGF 即可证明
△AED≌△CGF．
（2）结论：四边形DEFG 是菱形，连接DF．由（1）得AF∥DC，又∵DE∥GF，∴四边形DEFG 是平行
四边形．∵AD∥BC，AD=BF=
BC∴四边形ABFD 是平行四边形，又∵∠B=90°，∴四边形ABFD
是矩形，∴∠DFC=90°．∵点G 是CD 的中点，∴FG=DG=
CD 即可证明
四边形DEFG 是菱形；
（3）四边形DEFG 的面积=梯形ABCD 的面积﹣△ABF﹣2△CFG 即可求解；
【解答】（1）证明：∵BC=2AD，点F 为BC 的中点，
∴CF=AD．
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCD 是平行四边形，
∴∠DAE=∠C，AF∥DC，
∴∠AFG=∠CGF．
∵DE∥GF，
∴∠AED=∠AFG，
∴∠AED=∠CGF
∴△AED≌△CGF；
（2）解：结论：四边形DEFG 是菱形．
证明如下：连接DF．
由（1）得AF∥DC，
又∵DE∥GF，
∴四边形DEFG 是平行四边形．
∵AD∥BC，AD=BF=
BC，
∴四边形ABFD 是平行四边形，
又∵∠B=90°，
∴四边形ABFD 是矩形，
∴∠DFC=90°，
∵点G 是CD 的中点，
∴FG=DG=
CD，
∴四边形DEFG 是菱形；
（3）四边形DEFG 的面积=梯形ABCD 的面积﹣S△ABF﹣2S△CFG，
∵梯形ABCD 的面积为a，
∴四边形DEFG 的面积为
a；
【点评】本题考查了梯形及全等三角形的判定，难度较大，关键是掌握全等三角形的判定及菱
形的判定方法．
24．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长28m），另三边用木栏围成，木栏
长32m．
（1）鸡场的面积能围到120㎡吗？
（2）鸡场的面积能围到130㎡吗？
（3）鸡场能建的最大面积是多少？如果（1）或（2）或（3）能，请你给出设计方案；如果不能，请
你说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】对于（1）（2）我们假设120，130 成立，设出垂直墙的一边为x，可列出方程看看有没有
解，有解就可以无解就不行．
对于第（3）问可列出S=x（32﹣2x）=32x﹣2x2可用配方法求出最大值．
【解答】解：（1）设与墙垂直的一边长为xm，则与墙平行的一边长为（32﹣2x）m，
依题意，得x（32﹣2x）=120，（1 分）
整理得，x2﹣16x+60=0，
解得x1=6，x2=10
当x=6 时，32﹣2x=20；
当x=10 时，32﹣2x=12．（2 分）
所以，鸡场的面积能围到120㎡．
设计方案①：垂直于墙的边长为6m，平行于墙的边长为20m；
方案②：垂直于墙的边长为10m，平行于墙的边长为12m（4 分）
（2）设与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
x（32﹣2x）=130，整理得x2﹣16x+65=0，（5 分）
∵a=1，b=﹣16，c=65，∴b2﹣4ac=（﹣16）2﹣4×1×65=﹣4＜0，∴原方程无解（7 分）
所以，围成的鸡场面积不能达到130㎡．
方法二，设围成的鸡场面积为S，与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
S=x（32﹣2x）=﹣2x2+32x=﹣2（x﹣8）2+128≤128，（6 分）
所以，能围成的鸡场最大面积为128㎡，但130＞128，
故，围成的鸡场面积不能达到130㎡；
（3）设围成的鸡场面积为S㎡，与墙垂直的一边长为xm，依题意，得
S=x（32﹣2x）=﹣2x2+32x=﹣2（x﹣8）2+128≤128，
所以，当x=8 时，能围成的鸡场最大面积S 为128㎡．（12 分）
设计方案：垂直于墙的边长为8m，平行于墙的边长为16m．
【点评】本题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方
程，再求解．注意题目中的是否能围成我们可以假设能围成减轻了难度使思路清晰然后去列
方程求解即可．
