文档文本内容
九年级（上）期中数学试卷
一、选择题．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
2．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
3．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限．若反比例函数y=
的
图象经过点B，则k 的值是（ ）
A．1 B．2 C．
D．
4．若x=﹣2 是关于x 的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0 的一个根，则a 的值为（ ）
A．1 或4 B．﹣1 或﹣4 C．﹣1 或4
D．1 或﹣4
5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F，则EF：FC 等于（
）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
6．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15 个球，从中摸出红球的概
率为
，则袋中不是红球的个数为（ ）
A．10
B．15
C．5 D．2
7．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图，正比例函数y1=k1x 的图象与反比例函数y2=
的图象相交于A，B 两点，其中点A 的
横坐标为2，当y1＞y2时，x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 或x＞2 B．x＜﹣2 或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0 或0＜x＜2
D．﹣2＜x＜0 或x＞2
二、填空题．
9．正方形的对称轴有 条．
10．已知方程3x2﹣19x+m=0 的一个根是1，那么它的另一个根是 ，m= ．
11．一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10 000 尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼、鲫鱼
出现的频率分别是31%和42%，则这个水塘里大约有鲢鱼 尾．
12．已知AD 是△ABC 的角平分线，点E、F 分别是边AB，AC 的中点，连接DE，DF，在不再连接其
他线段的前提下，要使四边形AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是 （答
案不唯一）．
13．如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交AB，AC 于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE 的长为
．
14．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成
这个几何体的小正方体最少有 个．
15．设函数y=
与y=x﹣1 的图象的交点坐标为（a，b），则
﹣
的值为 ．
三、解答题．（本大题共8 小题，共75 分）
16．用适当方法求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3=0
（2）2x2﹣x﹣1=0．
17．已知关于x 的方程x2+（2m﹣1）x+4=0 有两个相等的实数根，求m 的值．
18．如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 与DC 的交点为O，连接
DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
19．请将如图所示实物的三视图画在规定位置内．
20．小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，
则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图
加以分析．
21．如图，在一块长为22 米，宽为17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路
（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方米，那么道
路的宽度应该是多少？
22．如图，△ABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE∥AB 交BC 于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC 的长
为 cm．
23．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B
（﹣1，﹣2）两点，与x 轴交于点C．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC 的面积．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．
1．下列命题中正确的是（ ）
A．有一组邻边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．对角线垂直的平行四边形是正方形
D．一组对边平行的四边形是平行四边形
【考点】命题与定理．
【分析】利用特殊四边形的判定定理对个选项逐一判断后即可得到正确的选项．
【解答】解：A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故选项错误；
B、正确；
C、对角线垂直的平行四边形是菱形，故选项错误；
D、两组对边平行的四边形才是平行四边形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是牢记特殊的四边形的判定定理，难度不
大，属于基础题．
2．正方形具备而菱形不具备的性质是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
【考点】正方形的性质；菱形的性质．
【专题】常规题型．
【分析】正方形具有矩形和菱形的性质，故根据正方形和菱形的性质即可解题．
【解答】解：（1）平行四边形的对角线互相平分，所以菱形和正方形对角线均互相平分，故本
选项错误；
（2）菱形和正方形的对角线均互相垂直，故本选项错误；
（3）正方形对角线相等，而菱形对角线不相等，故本选项正确；
（4）对角线即角平分线是菱形的性质，正方形具有全部菱形的性质，所以本选项错误．
故选 C．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了正方形和菱形的性质，熟悉掌握
菱形、正方形的性质是解本题的关键．
3．如图，点A 的坐标是（2，0），△ABO 是等边三角形，点B 在第一象限．若反比例函数y=
的
图象经过点B，则k 的值是（ ）
A．1 B．2 C．
D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
【分析】首先过点B 作BC 垂直OA 于C，根据AO=2，△ABO 是等边三角形，得出B 点坐标，进而
求出反比例函数解析式．
【解答】解：过点B 作BC 垂直OA 于C，
∵点A 的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO 是等边三角形，
∴OC=1，BC=
，
∴点B 的坐标是（1，
），
把（1，
）代入y=
，
得k=
．
故选C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特
点等知识，根据已知表示出B 点坐标是解题关键．
4．若x=﹣2 是关于x 的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0 的一个根，则a 的值为（ ）
A．1 或4 B．﹣1 或﹣4 C．﹣1 或4
D．1 或﹣4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】计算题．
【分析】将x=﹣2 代入关于x 的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0，再解关于a 的一元二次方程即
可．
【解答】解：∵x=﹣2 是关于x 的一元二次方程x2﹣
ax+a2=0 的一个根，
∴4+5a+a2=0，
∴（a+1）（a+4）=0，
解得a1=﹣1，a2=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x 的值代入，再解关于a 的
方程即可．
5．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F，则EF：FC 等于（
）
A．3：2 B．3：1 C．1：1 D．1：2
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出
=
，利用点E 是边AD 的中点得出答案即
可．
【解答】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴
=
，
∵点E 是边AD 的中点，
∴AE=DE=
AD，
∴
=
．
故选：D．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出
△DEF∽△BCF 是解题关键．
6．在一个不透明的布袋中，有大小、形状完全相同，颜色不同的15 个球，从中摸出红球的概
率为
，则袋中不是红球的个数为（ ）
A．10
B．15
C．5 D．2
【考点】概率公式．
【分析】设红球有x 个，根据概率公式求出红球的个数，再用总的个数减去红球的个数，即可
得出答案．
【解答】解：设红球有x 个，根据题意得：
=
，
解得：x=5，
则袋中不是红球的个数为15﹣5=10（个）；
故选A．
【点评】此题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
7．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
8．如图，正比例函数y1=k1x 的图象与反比例函数y2=
的图象相交于A，B 两点，其中点A 的
横坐标为2，当y1＞y2时，x 的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 或x＞2 B．x＜﹣2 或0＜x＜2
C．﹣2＜x＜0 或0＜x＜2
D．﹣2＜x＜0 或x＞2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】压轴题．
【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B 点坐标，再由函数图象即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B 两点关于原点对称，
∵点A 的横坐标为2，
∴点B 的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0 或x＞2 时函数y1=k1x 的图象在y2=
的上方，
∴当y1＞y2时，x 的取值范围是﹣2＜x＜0 或x＞2．
故选D．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x
的取值范围是解答此题的关键．
二、填空题．
9．正方形的对称轴有
4
条．
【考点】轴对称的性质．
【分析】根据正方形的轴对称性作出图形以及对称轴，即可得解．
【解答】解：如图，正方形对称轴为经过对边中点的直线，两条对角线所在的直线，共4 条．
故答案为：4．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称轴是解题的关键．
10．已知方程3x2﹣19x+m=0 的一个根是1，那么它的另一个根是
，m=
16
．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【专题】方程思想．
【分析】把方程的一个根代入方程，可以求出字母系数的值，然后根据根与系数的关系，由两
根之和求出方程的另一个根．
【解答】解：把1 代入方程有：
3﹣19+m=0
∴m=16．
设方程的另一个根是x，有两根之和有：
x+1=
∴x=
．
故答案分别是：
，16．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把已知根代入方程可以求出字母系数的值，根据根
与系数的关系可以求出方程的另一个根．
11．一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共10 000 尾，一渔民通过多次捕捞实验后发现，鲤鱼、鲫鱼
出现的频率分别是31%和42%，则这个水塘里大约有鲢鱼
2700
尾．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】根据频率、频数的关系：频数=频率×数据总和，可分别求鲤鱼，卿鱼的尾数，再根据
各小组频数之和等于数据总和，可求鲢鱼的尾数．
【解答】解：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼10000×31%=3100 尾，
鲫鱼10000×42%=4200 尾，
鲢鱼10000﹣3100﹣4200=2700 尾．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频
率之和等于1．
频率、频数的关系：频率=频数数据总和．
12．已知AD 是△ABC 的角平分线，点E、F 分别是边AB，AC 的中点，连接DE，DF，在不再连接其
他线段的前提下，要使四边形AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件可以是
AB=AC
或
∠
B=
∠
C 或
AE=AF
（答案不唯一）．
【考点】菱形的判定．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
【解答】解：由题意知，可添加：AB=AC．
则三角形是等腰三角形，
由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，
即点D 是BC 的中点，
∴DE，EF 是三角形的中位线，
∴DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形ADEF 是平行四边形，
∵AB=AC，
点E，F 分别是AB，AC 的中点，
∴AE=AF，
∴平行四边形ADEF 为菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、
等腰三角形的性质．也可添加∠B=∠C 或AE=AF．
13．如图，在△ABC 中，DE∥BC，分别交AB，AC 于点D、E．若AD=3，DB=2，BC=6，则DE 的长为
3.6
．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线得出△ADE∽△ABC，根据相似得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD=3，DB=2，
∴AB=AD+DB=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴
，
∵AD=3，AB=5，BC=6，
∴
，
∴DE=3.6．
故答案为：3.6．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，关键是求出相似后得出比例式，题目比较典型，
难度适中．
14．一个几何体是由一些大小相同的小正方体摆成的，其主视图与左视图如图所示，则组成
这个几何体的小正方体最少有
5
个．
【考点】由三视图判断几何体．
【专题】图表型．
【分析】根据三视图的知识，主视图是由3 个小正方形组成，而左视图是由4 个小正方形组成，
故这个几何体的底层最少有3 个小正方体，第2 层最少有2 个小正方体．
【解答】解：综合左视图和主视图，这个几何体的底层最少有2+1=3 个小正方体，
第二层最少有2 个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有3+2=5 个，
故答案为5．
【点评】本题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，
同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，
左视图拆违章”就容易得到答案．
15．设函数y=
与y=x﹣1 的图象的交点坐标为（a，b），则
﹣
的值为 ﹣
．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】计算题．
【分析】把交点坐标代入2 个函数后，得到2 个方程，求得a，b 的解，整理求得
﹣
的值即可．
【解答】解：∵函数y=
与y=x﹣1 的图象的交点坐标为（a，b），
∴b=
，b=a﹣1，
∴
=a﹣1，
a2﹣a﹣2=0，
（a﹣2）（a+1）=0，
解得a=2 或a=﹣1，
∴b=1 或b=﹣2，
∴
﹣
的值为﹣
．
故答案为：﹣
．
【点评】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题；得到2 个方程判断出a，b 的值是
解决本题的关键．
三、解答题．（本大题共8 小题，共75 分）
16．用适当方法求解下列方程：
（1）x2+2x﹣3=0
（2）2x2﹣x﹣1=0．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】计算题．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）（x+3）（x﹣1）=0，
x+3=0 或x﹣1=0，
所以x1=﹣3，x2=1；
（2）（2x+1）（x﹣1）=0，
2x+1=0 或x﹣1=0，
所以x1=﹣，
，x2=1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通
过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得
到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元
一次方程的问题了（数学转化思想）．
17．已知关于x 的方程x2+（2m﹣1）x+4=0 有两个相等的实数根，求m 的值．
【考点】根的判别式．
【分析】先根据一元二次方程有两个相等的实数根得出△=0 即可得到关于m 的方程，解方程
求出m 的值即可．
【解答】解：∵x2+（2m﹣1）x+4=0 有两个相等的实数根，
∴△=（2m﹣1）2﹣4×4=0，
解得m=﹣
或m=
．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据题意得出关于m 的方程是解答此题的
关键．
18．如图，四边形ABCD 是矩形，把矩形沿AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 与DC 的交点为O，连接
DE．
（1）求证：△ADE≌△CED；
（2）求证：DE∥AC．
【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质可得BC=CE=AD，AB=AE=CD，根据SSS 可证
△ADE≌△CED（SSS）；
（2）根据全等三角形的性质可得∠EDC=∠DEA，由于△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称，可
得∠OAC=∠CAB，根据等量代换可得∠OAC=∠DEA，再根据平行线的判定即可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，
又∵AC 是折痕，
∴BC=CE=AD，
AB=AE=CD，
在△ADE 与△CED 中，
，
∴△ADE≌△CED（SSS）；
（2）∵△ADE≌△CED，
∴∠EDC=∠DEA，
又∵△ACE 与△ACB 关于AC 所在直线对称，
∴∠OAC=∠CAB，
∵∠OCA=∠CAB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴2∠OAC=2∠DEA，
∴∠OAC=∠DEA，
∴DE∥AC．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确
证明三角形全等是关键．
19．请将如图所示实物的三视图画在规定位置内．
【考点】作图-三视图．
【分析】分别画出从几何体的正面、左边、上面看所得到的视图即可．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了作三视图，关键是注意几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被其他
部分遮挡而看不见的部分的轮廓线化成虚线．
20．小莉和小慧用如图所示的两个转盘做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字和为奇数，
则小莉胜；若两次数字和为偶数，则小慧胜．这个游戏对双方公平吗？试用列表法或树状图
加以分析．
【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．
【分析】游戏是否公平，关键要看是否游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是
否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．
【解答】解：这个游戏对双方公平．
理由如下：
1
2
3
4
2
2+1=3
2+2=4
2+3=5
2+4=6
3
3+1=4
3+2=5
3+3=6
3+4=7
4
4+1=5
4+2=6
4+3=7
4+4=8
从表中可以看出，总共有12 种结果，每种结果出现的可能性相同，而两数和为奇数的结果有
6 种．
∴P 小莉=
．因此，这个游戏对双方公平．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相
等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，在一块长为22 米，宽为17 米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路
（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300 平方米，那么道
路的宽度应该是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的种植花草部分是一
个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【解答】解：设道路的宽应为x 米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）=300，
解得：x1=37（舍去），x2=2．
答：修建的路宽为2 米．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面
的最上边和最左边是做本题的关键．
22．如图，△ABC 中，BD 是角平分线，过D 作DE∥AB 交BC 于点E，AB=5cm，BE=3cm，则EC 的长
为
4.5
cm．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】计算题．
【分析】根据平行的条件可以证明△CDE∽△CAB，DE=BE，根据相似三角形的对应边的比相等，
就可以求出EC 的长．
【解答】解：∵BD 平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC．
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE．
∴∠DBC=∠BDE．
∴DE=BE=3cm．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB．
∴
．
∴
．
解得EC=4.5cm．
【点评】根据相似三角形的对应边的比相等，可以把本题转化为方程问题进行解决．
23．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B
（﹣1，﹣2）两点，与x 轴交于点C．
（1）分别求反比例函数和一次函数的解析式（关系式）；
（2）连接OA，求△AOC 的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反
比例函数解析式；三角形的面积．
【分析】（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2= （a≠0），将A
（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得到方程组
，求出即可；将A（2，1）代入y2得出关于
a 的方程，求出即可；
（2）求出C 的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y1=kx+b（k≠0）；反比例函数解析式为y2= （a≠0），
∵将A（2，1）、B（﹣1，﹣2）代入y1得：
，
∴
，
∴y1=x﹣1；
∵将A（2，1）代入y2得：a=2，
∴
；
答：反比例函数的解析式是y2=
，一次函数的解析式是y1=x﹣1．
（2）∵y1=x﹣1，
当y1=0 时，x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1，
∴S△AOC=
×1×1=
．
答：△AOC 的面积为
．
【点评】本题考查了对一次函数与反比例函数的交点，三角形的面积，用待定系数法求一次函
数、反比例函数的解析式的应用，通过做此题培养了学生的计算能力，题目具有一定的代表
性，是一道比较好的题目．
