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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每题3 分）
1．一元二次方程x（2x+3）=5 的常数项是（ ）
A．﹣5 B．2 C．3 D．5
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上
洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以
其正面的数字作为b 的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
5．小明乘车从广州到北京，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m 的A 处，用测角仪测得古塔
顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE 的高为（ ）
A．
（20
1.5
﹣
）mB．（20
+1.5）m C．31.5m D．28.5m
7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．
：
D．3：2
8．如图，正方形OABC 的两边OA、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D（5，3）在边AB 上，以C 为中
心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
二、填空题（每题4 分）
9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=______．
10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面______，这种投影
称为正投影．
11．已知关于x 的一元二次方程x2+bx+b
1=0
﹣
有两个相等的实数根，则b 的值是______．
12．反比例函数y=
的图象，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是______．
13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，OE∥DC 交BC 于点E，若AD=8cm，
则OE 的长为______cm．
14．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F，如
果AB=9，BD=3，那么CF 的长度为______．
15．某小区2012 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划2014 年屋顶绿化面积要达到2880 平
方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是______．
16．如图，Rt△ABO 中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A 在第二象限，点B 在第一象限，过点
A 的反比例函数表达式为y=﹣
，则过点B 的反比例函数表达式为______．
三、解答题
17．计算：2cos30°
tan45°
﹣
﹣
．
18．已知，如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，连接CD，∠1=∠2．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）如果AD=2，BD=1，求AC 的长．
19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D 四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购
买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．
（1）若他去买一本笔记本，则他买到A 种笔记本的概率是______；
（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求
出恰好买到A 种笔记本和C 种笔记本的概率．
20．已知，如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE 的长．
21．已知：y=2x2
ax
a
﹣
﹣2，且当x=1 时，y=0，先化简，再求值：（1﹣
）÷
．
五、解答题
22．如图，一艘渔船位于小岛M 的北偏东42°方向、距离小岛180 海里的A 处，渔船从A 处沿
正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B 处．
（1）求渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离（参考数据：参考数据：
sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，
≈1.732，结果精确到0.1 海里）
（2）若渔船以20 海里/小时的速度从B 沿BM 方向行驶，求渔船从B 到达小岛M 的航行时间
（结果精确到0.1 小时）
23．如图，直线y=x
1
﹣与反比例函数y=
的图象交于A、B 两点，与x 轴交于点C，已知点A
的坐标为（﹣1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，延长EP 交直线AB
于点F，求△CEF 的面积．
24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x
（元/千克）（0 ＜x＜30）存在下列关系：
x（元/千克）
5
10
15
20
y（千克）
4500
4000
3500
3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正
比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z，那么
此时市场处于平衡状态．
（1）请通过描点画图探究y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格
与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系
发生改变，而需求数量y 与市场价格x 的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，
该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600 元．请问这时该农副产品的市
场价格为多少元？
25．如图①所示，矩形ABCD 一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的
点P 处，折痕与边BC 交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA 的面积是△OCP 的面积的4 倍．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）求边AB 的长；
（3）连结BP．动点M 在线段AP 上（点M 与点P、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，
且BN=PM，连结MN 交PB 于点F，作ME⊥BP 于点E．
①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；
②当点M、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出
线段EF 的长度．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3 分）
1．一元二次方程x（2x+3）=5 的常数项是（ ）
A．﹣5 B．2 C．3 D．5
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】方程整理为一般形式后，找出常数项即可．
【解答】解：方程整理得：2x2+3x
5=0
﹣
，
则常数项为﹣5，
故选A．
2．如图所示的几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】解：从几何体的左边看可得直角三角形
，
故选：A．
3．有三张正面分别写有数字﹣1，1，2 的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上
洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以
其正面的数字作为b 的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】列表法与树状图法；点的坐标．
【分析】画出树状图，然后确定出在第二象限的点的个数，再根据概率公式列式进行计算即可
得解．
【解答】解：根据题意，画出树状图如下：
一共有6 种情况，在第二象限的点有（﹣1，1）（﹣1，2）共2 个，
所以，P=
=
．
故选B．
4．下列关于矩形的说法，正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直且平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
【考点】矩形的判定与性质．
【分析】根据定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．矩形的性质：
1．矩形的四个角都是直角
2．矩形的对角线相等
3．矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等
4．矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形（对称轴是任何一组对边中点的连线）．
5．对边平行且相等
6．对角线互相平分，对各个选项进行分析即可．
【解答】解：A、因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以本选项错误；
B、因为对角线互相平分且相等的四边形是矩形，所以本选项错误；
C、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项错误；
D、因为矩形的对角线相等且互相平分，所以本选项正确．
故选：D．
5．小明乘车从广州到北京，行车的平均速度y（km/h）和行车时间x（h）之间的函数图象
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】反比例函数的应用；反比例函数的图象．
【分析】根据时间x、速度y 和路程s 之间的关系，在路程不变的条件下，得y=
，则y 是x 的
反比例函数，且x＞0．
【解答】解：由题意可得：y=
（x＞0），
故y 是x 的反比例函数．
故选：B．
6．如图，小强和小明去测量一座古塔的高度，他们在离古塔60m 的A 处，用测角仪测得古塔
顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则古塔BE 的高为（ ）
A．
（20
1.5
﹣
）mB．（20
+1.5）m C．31.5m D．28.5m
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】作AC⊥BE 于点C．则CE=AD，AC=DE．在直角△ABC 中选择适当的三角函数求出
BC 即可得解．
【解答】解：过点A 作AC⊥BE 于点C．
根据题意有：AC=DE=60，CE=AD=1.5．
∴BC=AC×tan30°=20
．
故古塔BE 的高为BC+CE=（20
+1.5）m．
故选B．
7．若两个相似三角形的面积比为2：3，那么这两个三角形的周长的比为（ ）
A．4：9 B．2：3 C．
：
D．3：2
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方解答
即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为2：3，
∴这两个三角形的相似比为
：
，
∴这两个三角形的周长的比为
：
，
故选：C．
8．如图，正方形OABC 的两边OA、OC 分别在x 轴、y 轴上，点D（5，3）在边AB 上，以C 为中
心，把△CDB 旋转90°，则旋转后点D 的对应点D′的坐标是（ ）
A．（2，10）B．（﹣2，0）C．（2，10）或（﹣2，0）D．（10，2）或（﹣2，0）
【考点】坐标与图形变化-旋转．
【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．
【解答】解：∵点D（5，3）在边AB 上，
∴BC=5，BD=5
3=2
﹣
，
①若顺时针旋转，则点D′在x 轴上，OD′=2，
所以，D′（﹣2，0），
②若逆时针旋转，则点D′到x 轴的距离为10，到y 轴的距离为2，
所以，D′（2，10），
综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．
故选：C．
二、填空题（每题4 分）
9．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=12，sinA=
．
【考点】锐角三角函数的定义．
【分析】根据正弦的概念计算即可．
【解答】解：sinA=
=
，
故答案为：
．
10．我们知道，平行光线所形成的投影称为平行投影，当平行光线与投影面 垂直 ，这种投
影称为正投影．
【考点】平行投影．
【分析】根据正投影定义解答．
【解答】解：在平行投影中，当投影线垂直于投影面时，这种投影叫正投影，
故答案为：垂直．
11．已知关于x 的一元二次方程x2+bx+b
1=0
﹣
有两个相等的实数根，则b 的值是
2
．
【考点】根的判别式．
【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到根的判别式的值等于0，即可求出b 的值．
【解答】解：根据题意得：△=b2
4
﹣（b
1
﹣）=（b
2
﹣）2=0，
则b 的值为2．
故答案为：2
12．反比例函数y=
的图象，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是
k ＜
3
．
【考点】反比例函数的性质．
【分析】先根据当x＞0 时，y 随x 的增大而增大判断出k
3
﹣的符号，求出k 的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数y=
的图象，当x＞0 时，y 随x 的增大而增大，
∴k
3
﹣＜0，解得k＜3．
故答案为：k＜3．
13．如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，OE∥DC 交BC 于点E，若AD=8cm，
则OE 的长为
4
cm．
【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．
【分析】根据已知可得OE 是△ABC 的中位线，从而求得OE 的长．
【解答】解：∵OE∥DC，AO=CO
∴OE 是△ABC 的中位线
∵AB=AD=8cm
∴OE=4cm．
故答案为4．
14．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点D 在BC 边上，DE 与AC 相交于点F，如
果AB=9，BD=3，那么CF 的长度为
2
．
【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．
【解答】解：如图，∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9
3
﹣）：CF，
∴CF=2．
故答案为：2．
15．某小区2012 年屋顶绿化面积为2000 平方米，计划2014 年屋顶绿化面积要达到2880 平
方米，如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是
20%
．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设人均年收入的平均增长率为
x，根据题意即可列出方程．
【解答】解：设平均增长率为x，根据题意可列出方程为：
2000（1+x）2=2880，
（1+x）2=1.44．
1+x=±1.2．
所以x1=0.2，x2=
2.2
﹣
（舍去）．
故x=0.2=20%．
即：这个增长率为20%．
故答案是：20%．
16．如图，Rt△ABO 中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，点A 在第二象限，点B 在第一象限，过点
A 的反比例函数表达式为y=﹣
，则过点B 的反比例函数表达式为
y=
．
【考点】待定系数法求反比例函数解析式．
【分析】解直角三角形求得
=
，然后过A 作AC⊥x 轴于点C，过B 作BD⊥x 轴于点D，
可证明△AOC∽△OBD，由点A 在y=﹣
上，可求得△AOC 的面积，由相似三角形的性质
可求得△BOD 的面积，可求得答案．
【解答】解：∵Rt△ABO 中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴tan30°=
=
，
如图，过A 作AC⊥x 轴，过B 作BD⊥x 轴，垂足分别为C、D，
∵∠AOB=90°，
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD，
∴∠DBO=∠AOC，
∴△AOC∽△OBD，
∴
=（
）2=（
）2=
，
设A 点坐标为（xA，yA），
∵点A 在函数y=﹣
的图象上，
∴xAyA=k=
1
﹣，
∴S
AOC
△
=
|k|=
，
∴S
OBD
△
=3S
AOC
△
=
，
设B 点坐标为（xB，yB），
∴
xByB=
，
∴xByB=3，
∴过B 点的反比例函数的解析式为y=
，
故答案为：y=
．
三、解答题
17．计算：2cos30°
tan45°
﹣
﹣
．
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=2×
1
﹣﹣
=
1
﹣﹣（
﹣1）
=0．
18．已知，如图，在△ABC 中，点D 在AB 边上，连接CD，∠1=∠2．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）如果AD=2，BD=1，求AC 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到
，代入数据即可得到结果．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠2，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴
，
∴AC2=AB•AD，
∵AD=2，BD=1，
∴AB=3，
∴AC=
．
19．学校旁边的文具店里有A、B、C、D 四种笔记本，每种笔记本数量充足，某同学去该店购
买笔记本，每种笔记本被选中的可能性相同．
（1）若他去买一本笔记本，则他买到A 种笔记本的概率是
；
（2）若他两次去买笔记本，每次买一本，且两次所买笔记本品种不同，请用树状图或列表法求
出恰好买到A 种笔记本和C 种笔记本的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）由学校旁边的文具店里有A、B、C、D 四种笔记本，直接利用概率公式求解即可
求得答案；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好买到A 种笔记本
和C 种笔记本的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：（1）∵学校旁边的文具店里有A、B、C、D 四种笔记本，
∴若他去买一本笔记本，则他买到A 种笔记本的概率是：
；
故答案为：
．
（2）画树状图得：
∵共有12 种等可能的结果，恰好买到A 种笔记本和C 种笔记本的有2 种情况，
∴恰好买到A 种笔记本和C 种笔记本的概率为：
=
．
20．已知，如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB，DE∥BC，AD：DB=7：5，AC=24，求DE 的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据平行线分线段成比例的知识求出AE，EC，然后判断ED=EC，即可得出答案．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴
，
又∵AC=24，
∴AE=14，EC=10，
∵CD 平分∠ACB 交AB 于D，
∴∠ACD=∠DCB，
又∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠DCB，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DE=EC=10．
21．已知：y=2x2
ax
a
﹣
﹣2，且当x=1 时，y=0，先化简，再求值：（1﹣
）÷
．
【考点】分式的化简求值．
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由当x=1 时，y=0 求出a 的值，选取合
适的a 的值代入进行计算即可．
【解答】解：原式=[1﹣
]÷
=
•
=
，
∵y=2x2
ax
a
﹣
﹣2，且当x=1 时，y=0，
∴2
a
a
﹣﹣2=0，解得a1=1，a2=
2
﹣，
当a=1 时，原式=3；
当a=
2
﹣时，a+2=0，原式无意义．
故原式=3．
五、解答题
22．如图，一艘渔船位于小岛M 的北偏东42°方向、距离小岛180 海里的A 处，渔船从A 处沿
正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B 处．
（1）求渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离（参考数据：参考数据：
sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431，tan42°≈0.9044，
≈1.732，结果精确到0.1 海里）
（2）若渔船以20 海里/小时的速度从B 沿BM 方向行驶，求渔船从B 到达小岛M 的航行时间
（结果精确到0.1 小时）
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【分析】（1）过点M 作MD⊥AB 于点D，根据∠AME 的度数求出∠A=42°，再根据AM 的值
求出和特殊角的三角函数值即可求出答案；
（2）在Rt△DMB 中，根据∠BMF=60°，得出∠DMB=30°，再根据MD 的值求出MB 的值，最
后根据路程÷速度=时间，即可得出答案．
【解答】解：（1）过点M 作MD⊥AB 于点D，
∵∠AME=42°，
∴∠A=42°，
∵AM=180 海里，
∴MD=AM•sin42°≈120.4（海里），
答：渔船从A 到B 的航行过程中与小岛M 之间的最小距离约为120.4 海里；
（2）在Rt△DMB 中，
∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°，
∵MD=120.4 海里，
∴MB=
≈139，0，
∴139.0÷20≈7.0（小时），
答：渔船从B 到达小岛M 的航行时间约为7.0 小时．
23．如图，直线y=x
1
﹣与反比例函数y=
的图象交于A、B 两点，与x 轴交于点C，已知点A
的坐标为（﹣1，m）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P（n，﹣1）是反比例函数图象上一点，过点P 作PE⊥x 轴于点E，延长EP 交直线AB
于点F，求△CEF 的面积．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将点A 的坐标代入直线解析式求出m 的值，再将点A 的坐标代入反比例函数解
析式可求出k 的值，继而得出反比例函数关系式；
（2）将点P 的纵坐标代入反比例函数解析式可求出点P 的横坐标，将点P 的横坐标和点F 的
横坐标相等，将点F 的横坐标代入直线解析式可求出点F 的纵坐标，将点的坐标转换为线段
的长度后，即可计算△CEF 的面积．
【解答】解：（1）将点A 的坐标代入y=x
1
﹣，可得：m=
1
1=
2
﹣﹣
﹣，
将点A（﹣1，﹣2）代入反比例函数y=
，可得：k=
1
﹣×（﹣2）=2，
故反比例函数解析式为：y=
．
（2）将点P 的纵坐标y=
1
﹣，代入反比例函数关系式可得：x=
2
﹣，
将点F 的横坐标x=
2
﹣代入直线解析式可得：y=
3
﹣，
故可得EF=3，CE=OE+OC=2+1=3，
故可得S
CEF
△
=
CE×EF=
．
24．通过市场调查，一段时间内某地区某一种农副产品的需求数量y（千克）与市场价格x
（元/千克）（0 ＜x＜30）存在下列关系：
x（元/千克）
5
10
15
20
y（千克）
4500
4000
3500
3000
又假设该地区这种农副产品在这段时间内的生产数量z（千克）与市场价格x（元/千克）成正
比例关系：z=400x（0＜x＜30）．现不计其它因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z，那么
此时市场处于平衡状态．
（1）请通过描点画图探究y 与x 之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）根据以上市场调查，请你分析：当市场处于平衡状态时，该地区这种农副产品的市场价格
与这段时间内农民的总销售收入各是多少？
（3）如果该地区农民对这种农副产品进行精加工，此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系
发生改变，而需求数量y 与市场价格x 的函数关系未发生变化，那么当市场处于平衡状态时，
该地区农民的总销售收入比未精加工市场平衡时增加了17600 元．请问这时该农副产品的市
场价格为多少元？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）通过描点画图可知y 是x 的一次函数，从而利用待定系数法即可求出该解析式；
（2）令y=z，求出此时的x，则农民的总销售收入是xy 元；
（3）可设这时该农副产品的市场价格为a 元/千克，因为该地区农民的总销售收入比未精加工
市场平衡时增加了17600 元，则a（﹣100a+5000）=40000+17600，解之即可．
【解答】解：（1）描点．
因为由图象可知，y 是x 的一次函数，
所以设y=kx+b，
由x=5，y=4500；x=10，y=4000 得：
则
所以
即y=
100x
﹣
+5000
（2）∵y=z，
∴﹣100x+5000=400x，
∴x=10．
∴总销售收入=10×4000=40000（元）
∴农副产品的市场价格是10 元/千克，农民的总销售收入是40000 元．
（3）设这时该农副产品的市场价格为a 元/千克，则
a（﹣100a+5000）=40000+17600，
解之得：a1=18，a2=32．
∵0＜a＜30，
∴a=18．
∴这时该农副产品的市场价格为18 元/千克．
25．如图①所示，矩形ABCD 一条边AD=8，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的
点P 处，折痕与边BC 交于点O，连接AP，OP，OA，△PDA 的面积是△OCP 的面积的4 倍．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）求边AB 的长；
（3）连结BP．动点M 在线段AP 上（点M 与点P、A 不重合），动点N 在线段AB 的延长线上，
且BN=PM，连结MN 交PB 于点F，作ME⊥BP 于点E．
①按上面的叙述在图②中画出正确的图象；
②当点M、N 在移动过程中，线段EF 的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出
线段EF 的长度．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；
（2）利用面积比可求得PC 的长，在Rt△APD 中利用勾股定理可求得AB 的长；
（3）①结合描述画出图形即可，②作MQ∥AN 交PB 于点Q，利用条件证明△MFQ≌△NFB，
得到EF=
PB，且可求出PB 的长，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，
∴△OCP∽△PDA；
（2）解：∵△OCP 与△PDA 的面积比为1：4，
∴
=
=
，
∴CP=4，
设AB=x，则AP=x，DP=x
4
﹣，
在Rt△ADP 中，由勾股定理可得AP2=AD2+DP2，
即x2=82+（x
4
﹣）2，解得x=10，
即边AB 的长为10；
（3）解：①如图所示，
EF
②
的长度不变，理由如下：
作MQ∥AN，交PB 于点Q，如上图，
∵AP=AB，MQ∥AN，
∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP，
∴∠∠APB=∠MQP，
∴MP=MQ，
∵ME⊥PQ，
∴PE=EQ=
PQ，
∵BN=PN，MP=MQ，
∴BN=QM，
∵MQ∥AN，
∴∠QMF=∠BNF，
在△MFQ 和△NFB 中，
，
∴△MFQ≌△NFB（AAS），
∴QF=BF，
∴QF=
QB，
∴EF=EQ+QF=
PQ+
QB=
PB，
又由（1）可知在Rt△PBC 中，BC=8，PC=4，
∴PB=4
，
∴EF=2
，
即EF 的长度不变．
2016 年9 月20 日
