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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．每小题只有一个正确选项）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知m 是方程x2
x
2=0
﹣﹣
的一个根，则代数式m2
m+2
﹣
的值等于（ ）
A．4 B．1 C．0 D．﹣1
3．已知点P 关于x 轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P 关于原点的对称点P2的坐标是（
）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．
（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
4．抛物线y=（x+2）2
3
﹣可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B．先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C．先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
D．先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
5．已知关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2
2x+1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围
是（ ）
A．k＜﹣2
B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2 且k≠1
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2
4ac
﹣
＞0；②2a+b＜0；
③4a
2b+c=0
﹣
；④a：b：c=
1
﹣：2：3．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
7．一元二次方程x2
3x=0
﹣
的根是 ．
8．某药品原价每盒25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在
售价每盒16 元，则该药品平均每次降价的百分率是 ．
9．我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．
在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ．
10．二次函数y=ax2+bx+c 和一次函数y=mx+n 的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n 时，x 的
取值范围是 ．
11．方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
的一个实数根为3，则另一个根为 ．
12．已知二次函数y= （x
1
﹣）2+4，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是 ．
13．已知抛物线y=x2
2
﹣（k+1）x+16 的顶点在x 轴上，则k 的值是 ．
14．如图，Rt
OAB
△
的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt
OAB
△
绕点O 顺时针旋转
90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P 的坐标为 ．
三、（本大题共4 小题，每小题6 分，共24 分）
15．解方程：x（2x+3）=4x+6．
16．如图，已知：BC 与CD 重合，∠ABC= CDE=90°
∠
，△ABC
CDE
△
≌
，并且△CDE 可由
△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最
后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 ．
17．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1 个单位长度；已知
△ABC．
（1）作出△ABC 以O 为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．
（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
18．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2
6x+k=0
﹣
的两个实数根，且x1
2x2
2
x
﹣1
x
﹣2=115．
（1）求k 的值；
（2）求x1
2+x2
2+8 的值．
四、（本大题共4 小题，每小题8 分，共32 分）
19．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x2+（2k
1
﹣）x+k+1 的图象与x 轴相交于O、A 两
点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标．
20．已知等腰△ABC 的一边长a=3，另两边长b、c 恰好是关于x 的方程x2﹣（k+2）x+2k=0 的
两个根，求△ABC 的周长．
21．如图，矩形ABCD 的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q 分别从A、B 同时出发，P 在边
AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度
匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y
（cm 2）．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）求△PBQ 的面积的最大值．
22．在同一平面内，△ABC 和△ABD 如图①放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得
到△DFA，如图②，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF 是平行四边形．
五、（本大题共10 分）
23．如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m，宽AB 为2m，
以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图1），y 轴是
抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则
该辆货运卡车还能通过隧道吗？
六、（本大题共12 分）
24．如图，直线y=3x+3 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A、B 两点的抛物线交x 轴于另一点
C（3，0）．
（1）求A、B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB 的周长最小，并求出最小值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的
Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分．每小题只有一个正确选项）
1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称
图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是
要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．
2．已知m 是方程x2
x
2=0
﹣﹣
的一个根，则代数式m2
m+2
﹣
的值等于（ ）
A．4 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m 代入方程x2
x
2=0
﹣﹣
求出m2
m=2
﹣
，代入求出即可．
【解答】解：把x=m 代入方程x2
x
2=0
﹣﹣
得：
m2
m
2=0
﹣﹣
，
m2
m=2
﹣
，
所以m2
m+2=2+2=4
﹣
．
故选A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值的应用，能求出m2
m=2
﹣
是解此题的
关键．
3．已知点P 关于x 轴的对称点P1的坐标是（2，3），那么点P 关于原点的对称点P2的坐标是（
）
A．（﹣3，﹣2）B．（2，﹣3）C．
（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）
【考点】关于原点对称的点的坐标；关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x 轴的对称点的坐标是（x，﹣y），关于y 轴
的对称点的坐标是（﹣x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵点P 关于x 轴的对称点P1的坐标是（2，3），
∴点P 的坐标是（2，﹣3）．
∴点P 关于原点的对称点P2的坐标是（﹣2，3）．故选D．
【点评】考查了平面内两个点关于坐标轴对称和原点对称的坐标关系．
4．抛物线y=（x+2）2
3
﹣可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ）
A．先向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位
B．先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位
C．先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位
D．先向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：抛物线y=x2向左平移2 个单位可得到抛物线y=（x+2）2，
抛物线y=（x+2）2，再向下平移3 个单位即可得到抛物线y=（x+2）2
3
﹣．
故平移过程为：先向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上
加下减．
5．已知关于x 的一元二次方程（k
1
﹣）x2
2x+1=0
﹣
有两个不相等的实数根，则k 的取值范围
是（ ）
A．k＜﹣2
B．k＜2 C．k＞2 D．k＜2 且k≠1
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0 列出关于k 的不等式，
求出不等式的解集即可得到k 的范围．
【解答】解：根据题意得：△=b2
4ac=4
4
﹣
﹣（k
1
﹣）=8
4k
﹣
＞0，且k
1≠0
﹣
，
解得：k＜2，且k≠1．
故选：D．
【点评】此题考查了根的判别式，以及一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．
6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2
4ac
﹣
＞0；②2a+b＜0；
③4a
2b+c=0
﹣
；④a：b：c=
1
﹣：2：3．其中正确的是（ ）
A．①②B．②③C．③④D．①④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】计算题．
【分析】由二次函数图象与x 轴有两个交点，得到根的判别式大于0，可得出选项①正确；由二
次函数的对称轴为直线x=1，利用对称轴公式列出关系式，化简后得到2a+b=0（i），选项②错
误；由﹣2 对应的函数值为负数，故将x=
2
﹣代入抛物线解析式，得到4a
2b+c
﹣
小于0，选项
③错误；由﹣1 对应的函数值等于0，将x=
1
﹣代入抛物线解析式，得到a
b+c=0
﹣
（ii），联立
（i）
（ii），用a 表示出b 及c，可得出a：b：c 的比值为﹣1：2：3，选项④正确，即可得到正确的选
项．
【解答】解：由二次函数图象与x 轴有两个交点，
b
∴2
4ac
﹣
＞0，选项①正确；
又对称轴为直线x=1，即﹣
=1，
可得2a+b=0（i），选项②错误；
2
∵﹣对应的函数值为负数，
∴当x=
2
﹣时，y=4a
2b+c
﹣
＜0，选项③错误；
1
∵﹣对应的函数值为0，
∴当x=
1
﹣时，y=a
b+c=0
﹣
（ii），
联立（i）（ii）可得：b=
2a
﹣
，c=
3a
﹣
，
a
∴：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=
1
﹣：2：3，选项④正确，
则正确的选项有：①④．
故选D
【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），a 的符合由抛
物线的开口方向决定；c 的符合由抛物线与y 轴交点的位置确定；b 的符合由对称轴的位置与
a 的符合决定；抛物线与x 轴的交点个数决定了根的判别式的符合，此外还有注意二次函数
图象上的一些特殊点，比如1，﹣1 或2 对应函数值的正负．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分）
7．一元二次方程x2
3x=0
﹣
的根是
x 1=0
，
x 2=3
．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【专题】方程思想；因式分解．
【分析】首先利用提取公因式法分解因式，由此即可求出方程的解．
【解答】解：x2
3x=0
﹣
，
x（x
3
﹣）=0，
x
∴1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键会进行因式分解．
8．某药品原价每盒25 元，为了响应国家解决老百姓看病贵的号召，经过连续两次降价，现在
售价每盒16 元，则该药品平均每次降价的百分率是
20%
．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的
百分率），则第一次降价后的价格是25（1
x
﹣），第二次后的价格是25（1
x
﹣）2，据此即可列方
程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16 元，
故25（1
x
﹣）2=16，
解得x=0.2 或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
【点评】本题考查数量平均变化率问题．原来的数量（价格）为a，平均每次增长或降低的百分
率为x 的话，经过第一次调整，就调整到a（1±x），再经过第二次调整就是a（1±x）（1±x）=a
（1±x）2．增长用“+”，下降用“﹣”．
9．我们在教材中已经学习了：①等边三角形；②矩形；③平行四边形；④等腰三角形；⑤菱形．
在以上五种几何图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是 ②⑤ ．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的定义即可作出判断．
【解答】解：①等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
②矩形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
③平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；
④等腰三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；
⑤菱形，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；
故答案为：②⑤．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，正确理解定义是关键．
10．二次函数y=ax2+bx+c 和一次函数y=mx+n 的图象如图所示，则ax2+bx+c≤mx+n 时，x 的
取值范围是 ﹣
2≤x≤1
．
【考点】二次函数与不等式（组）．
【分析】求关于x 的不等式ax2+bx+c≤mx+n 的解集，实质上就是根据图象找出函数
y=ax2+bx+c 的值小于或等于y=mx+n 的值时x 的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的
位置，可求范围．
【解答】解：依题意得求关于x 的不等式ax2+bx+c≤mx+n 的解集，
实质上就是根据图象找出函数y=ax2+bx+c 的值小于或等于y=mx+n 的值时x 的取值范围，
由两个函数图象的交点及图象的位置可以得到此时x 的取值范围是﹣2≤x≤1．
故填空答案：﹣2≤x≤1．
【点评】解答此题的关键是把解不等式的问题转化为比较函数值大小的问题，然后结合两个
函数图象的交点坐标解答，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
11．方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
的一个实数根为3，则另一个根为 ﹣
1
．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】根据题意把3 代入原方程求得k 的值，然后把k 的值代入原方程，从而解得原方程的
两个根，即可求解．
【解答】解：∵方程x2
2x
k=0
﹣
﹣
的一个实数根为3，
∴把3 代入方程得：9
6
k=0
﹣﹣
，
k=3
∴
，
∴把k=3 代入原方程得：x2
2x
3=0
﹣
﹣
，
∴解得方程的两根分别为3 和﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解（根）的意义．解答本题的关键就是把3 代入原方
程求得k 的值，然后再解得原方程的两个根．本题属于基础题比较简单．
12．已知二次函数y= （x
1
﹣）2+4，若y 随x 的增大而减小，则x 的取值范围是
x≤1
．
【考点】二次函数的性质．
【分析】根据二次函数的解析式的二次项系数判定该函数图象的开口方向、根据顶点式方程
确定其图象的顶点坐标，从而知该二次函数的单调区间．
【解答】解：∵二次函数的解析式
的二次项系数是，
∴该二次函数的开口方向是向上；
又∵该二次函数的图象的顶点坐标是（1，4），
∴该二次函数图象在[
∞1m
﹣
]上是减函数，即y 随x 的增大而减小；
即：当x≤1 时，y 随x 的增大而减小，
故答案为：x≤1．
【点评】本题考查了二次函数图象的性质．解答该题时，须熟知二次函数的系数与图象的关系、
二次函数的顶点式方程y=（k
h
﹣）x2
b
﹣中的h，b 的意义．
13．已知抛物线y=x2
2
﹣（k+1）x+16 的顶点在x 轴上，则k 的值是
3 或﹣
5
．
【考点】二次函数的性质．
【分析】抛物线y=ax2+bx+c 的顶点纵坐标为
，当抛物线的顶点在x 轴上时，顶点纵
坐标为0，解方程求k 的值．
【解答】解：根据顶点纵坐标公式，
抛物线y=x2
2
﹣（k+1）x+16 的顶点纵坐标为
，
∵抛物线的顶点在x 轴上时，
∴顶点纵坐标为0，即
=0，
解得k=3 或﹣5．
故本题答案为3 或﹣5．
【点评】本题考查了二次函数的顶点坐标的运用．抛物线y=ax2+bx+c 的顶点坐标为（﹣
，
）．
14．如图，Rt
OAB
△
的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt
OAB
△
绕点O 顺时针旋转
90°，得到△OCD，边CD 与该抛物线交于点P，则点P 的坐标为 （
，
2 ）
．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．
【分析】先根据待定系数法求得抛物线的解析式，然后根据题意求得D（0，2），且DC x
∥轴，从
而求得P 的纵坐标为2，代入求得的解析式即可求得P 的坐标．
【解答】解：∵Rt
OAB
△
的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，
4=4a
∴
，解得a=1，
∴抛物线为y=x2，
∵点A（﹣2，4），
B
∴（﹣2，0），
OB=2
∴
，
∵将Rt
OAB
△
绕点O 顺时针旋转90°，得到△OCD，
D
∴
点在y 轴上，且OD=OB=2，
D
∴（0，2），
DC
OD
∵
⊥
，
DC x
∴
∥轴，
P
∴点的纵坐标为2，
代入y=x2，得2=x2，
解得x=±
，
P
∴（
，2）．
故答案为（
，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，根据题
意求得P 的纵坐标是解题的关键．
三、（本大题共4 小题，每小题6 分，共24 分）
15．解方程：x（2x+3）=4x+6．
【考点】解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，
∴（2x+3）（x
2
﹣）=0，
2x+3=0
∴
或x
2=0
﹣
，
x
∴1=﹣，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法解一元二次方程的思想就
是把未知方程化成2 个因式相乘等于0 的形式，如（x
a
﹣）
（x
b
﹣）=0 的形式，这样就可直接得
出方程的解为x
a=0
﹣
或x
b=0
﹣
，即x=a 或x=b．注意“或”的数学含义，这里x1和x2就是
“或”的关系，它表两个解中任意一个成立时方程成立，同时成立时，方程也成立．
16．如图，已知：BC 与CD 重合，∠ABC= CDE=90°
∠
，△ABC
CDE
≌△
，并且△CDE 可由
△ABC 逆时针旋转而得到．请你利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法，注意最
后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是
90°
．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】作图题．
【分析】分别作出AC，CE 的垂直平分线进而得出其交点O，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：旋转角度是90°．
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了旋转变换，得出旋转中心的位置是解题关键．
17．如图：在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1 个单位长度；已知
△ABC．
（1）作出△ABC 以O 为旋转中心，顺时针旋转90°的△A1B1C1，（只画出图形）．
（2）作出△ABC 关于原点O 成中心对称的△A2B2C2，（只画出图形），写出B2和C2的坐标．
【考点】作图-旋转变换．
【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C 以O 为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点A1、
B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A、B、C 关于原点O 成中心对称的点A2、B2、C2的位置，然后顺次连
接即可，再根据平面直角坐标系写出B2和C2的坐标．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；
（2）△A2B2C2如图所示，
B2（4，﹣1），C2（1，﹣2）．
【点评】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的
关键．
18．已知x1，x2是关于x 的一元二次方程x2
6x+k=0
﹣
的两个实数根，且x1
2x2
2
x
﹣1
x
﹣2=115．
（1）求k 的值；
（2）求x1
2+x2
2+8 的值．
【考点】根与系数的关系；解一元二次方程-直接开平方法；根的判别式．
【专题】压轴题．
【分析】（1）方程有两个实数根，必须满足△=b2
4ac≥0
﹣
，从而求出实数k 的取值范围，再利
用根与系数的关系，x1
2x2
2
x
﹣1
x
﹣2=115．即x1
2x2
2﹣（x1+x2）=115，即可得到关于k 的方程，求
出k 的值．
（2）根据（1）即可求得x1+x2与x1x2的值，而x1
2+x2
2+8=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2+8 即可求得式子的值．
【解答】解：（1）∵x1，x2是方程x2
6x+k=0
﹣
的两个根，
x
∴1+x2=6，x1x2=k，
x
∵1
2x2
2
x
﹣1
x
﹣2=115，
k
∴2
6=115
﹣
，
解得k1=11，k2=
11
﹣
，
当k1=11 时，△=36
4k=36
44
﹣
﹣
＜0，
k
∴1=11 不合题意
当k2=
11
﹣
时，△=36
4k=36+44
﹣
＞0，
k
∴2=
11
﹣
符合题意，
k
∴的值为﹣11；
（2）∵x1+x2=6，x1x2=
11
﹣
x
∴1
2+x2
2+8=（x1+x2）2
2x
﹣
1x2+8=36+2×11+8=66．
【点评】总结：（1）一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
①△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
=0
②△
⇔方程有两个相等的实数根；
③△＜0⇔方程没有实数根．
（2）根与系数的关系是：x1+x2=
，x1x2= ．
根据根与系数的关系把x1
2x2
2
x
﹣1
x
﹣2=115 转化为关于k 的方程，解得k 的值是解决本题的
关键．
四、（本大题共4 小题，每小题8 分，共32 分）
19．如图，在直角坐标系xOy 中，二次函数y=x2+（2k
1
﹣）x+k+1 的图象与x 轴相交于O、A 两
点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB 的面积等于6，求点B 的坐标．
【考点】待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积．
【分析】（1）直接把原点坐标代入y=x2+（2k
1
﹣）x+k+1 求出k 的值即可得到二次函数解析式；
（2）先确定A（3，0）和抛物线的对称轴，设B（x，x2
3x
﹣
），再根据三角形面积公式得到•3•|x2
3x|=6
﹣
，则x2
3x=4
﹣
或x2
3x=
4
﹣
﹣，然后分别解方程求出x 即可确定满足条件的B 点坐标．
【解答】解：（1）把（0，0）代入得k+1=0，解得k=
1
﹣，
所以二次函数解析式为y=x2
3x
﹣
；
（2）当y=0 时，x2
3x=0
﹣
，解得x1=0，x2=3，则A（3，0），
抛物线的对称轴为直线x= ，
设B（x，x2
3x
﹣
），
因为△AOB 的面积等于6，
所以•3•|x2
3x|=6
﹣
，
当x2
3x=4
﹣
时，解得x1=
1
﹣，x2=4，则B 点坐标为（4，4）；
当x2
3x=
4
﹣
﹣时，方程无实数解．
所以点B 的坐标为（4，4）．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式
时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已
知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线
的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可
选择设其解析式为交点式来求解．
20．已知等腰△ABC 的一边长a=3，另两边长b、c 恰好是关于x 的方程x2﹣（k+2）x+2k=0 的
两个根，求△ABC 的周长．
【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】先利用因式分解法求出两根：x1=2，x2=k．先分类讨论：若a=3 为底边；若a=3 为腰，分
别确定b，c 的值，求出三角形的周长．
【解答】解：x2﹣（k+2）x+2k=0
（x
2
﹣）（x
k
﹣）=0，
则x1=2，x2=k，
当b=c，
k=2，
则△ABC 的周长=2+2+3=7，
当b=2，c=3 或c=2，b=3
则k=3，
则△ABC 的周长=2+3+3=8．
故△ABC 的周长是7 或8．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边
进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二
次方程的解．也考查了解等腰三角形的性质．
21．如图，矩形ABCD 的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q 分别从A、B 同时出发，P 在边
AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度
匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y
（cm2）．
（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）求△PBQ 的面积的最大值．
【考点】矩形的性质；二次函数的最值．
【专题】动点型．
【分析】（1）分别表示出PB、BQ 的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解；
（2）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答．
【解答】解：（1）∵S
PBQ
△
= PB•BQ，PB=AB
AP=18
2x
﹣
﹣
，BQ=x，
y=
∴
（18
2x
﹣
）x，
即y=
x
﹣2+9x（0＜x≤4）；
（2）由（1）知：y=
x
﹣2+9x，
y=
∴
﹣（x﹣）2+
，
∵当0＜x≤时，y 随x 的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x=4 时，y 最大值=20，
即△PBQ 的最大面积是20cm2．
【点评】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出PB、BQ 的长度是解
题的关键．
22．在同一平面内，△ABC 和△ABD 如图①放置，其中AB=BD．
小明做了如下操作：
将△ABC 绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD 绕着边AD 的中点旋转180°得
到△DFA，如图②，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形ABDF 是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）连接EF，CD，如图③，求证：四边形CDEF 是平行四边形．
【考点】旋转的性质；平行四边形的判定；菱形的判定．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）根旋转的性质得AB=DF，BD=FA，由于AB=BD，所以AB=BD=DF=FA，则可根
据菱形的判定方法得到四边形ABDF 是菱形；
（2）由于四边形ABDF 是菱形，则AB DF
∥
，且AB=DF，再根据旋转的性质易得四边形ABCE
为平行四边形，根据平行四边形的性质得AB CE
∥
，且AB=CE，
所以CE FD
∥
，CE=FD，所以可判断四边形CDEF 是平行四边形．
【解答】（1）解：四边形ABDF 是菱形．理由如下：
ABD
∵△
绕着边AD 的中点旋转180°得到△DFA，
AB=DF
∴
，BD=FA，
AB=BD
∵
，
AB=BD
∴
=DF=FA，
∴四边形ABDF 是菱形；
（2）证明：∵四边形ABDF 是菱形，
AB DF
∴
∥
，且AB=DF，
ABC
∵△
绕着边AC 的中点旋转180°得到△CEA，
AB=CE
∴
，BC=EA，
∴四边形ABCE 为平行四边形，
AB CE
∴
∥
，且AB=CE，
CE FD
∴
∥
，CE=FD，
∴四边形CDEF 是平行四边形．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应
点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行四边形的判定和菱形的判定．
五、（本大题共10 分）
23．如图，隧道的截面由抛物线AED 和矩形ABCD 构成，矩形的长BC 为8m，宽AB 为2m，
以BC 所在的直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系（如图1），y 轴是
抛物线的对称轴，顶点E 到坐标原点O 的距离为6m．
（1）求抛物线的解析式；
（2）现有一辆货运卡车，高4.4m，宽2.4m，它能通过该隧道吗？
（3）如果该隧道内设双向道（如图2），为了安全起见，在隧道正中间设有0.4m 的隔离带，则
该辆货运卡车还能通过隧道吗？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）抛物线的解析式为y=ax2+c，根据E 点及D 点的坐标由待定系数法就可以求出结
论；
（2）当y=2.4 时代入（1）的解析式求出x 的值就求出结论；
（3）将（2）求出的宽度﹣0.4m 后除以2 的值与2.4 比较就可以求出结论．
【解答】解：（1）∵OE 为线段BC 的中垂线，
OC=
∴
BC．
∵四边形ABCD 是矩形，
AD=BC=8m
∴
，AB=CD=2m，
OC=4
∴
．
D
∴（4，2，）．E（0，6）．
设抛物线的解析式为y=ax2+c，由题意，得
，
解得：
，
y=
∴
﹣x2+6；
（2）由题意，得
当y=4.4 时，4.4=﹣x2+6，
解得：x=±
，
∴宽度为：
＞2.4，
∴它能通过该隧道；
（3）由题意，得
（
﹣0.4）=
0.2
﹣
＞2.4，
∴该辆货运卡车还能通过隧道．
【点评】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的
运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
六、（本大题共12 分）
24．如图，直线y=3x+3 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A、B 两点的抛物线交x 轴于另一点
C（3，0）．
（1）求A、B 的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAB 的周长最小，并求出最小值；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的
Q 点坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】综合题；二次函数图象及其性质．
【分析】（1）对于直线y=3x+3，分别令x 与y 为0 求出对应y 与x 的值，确定出A 与B 坐标即
可；
（2）根据A，C 坐标，设出抛物线解析式，将C 坐标代入即可确定出解析式；
（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，此时△PAB 的周长最小，并求出最小值即
可；
（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ 是等腰三角形，分四种情况考虑，求出满足题
意Q 坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线y=3x+3，
令x=0，得到y=3 ；令y=0，得到x=
1
﹣，
则A（﹣1，0），B（0，3）；
（2）由A（﹣1，0），C（3，0），设抛物线解析式为y=a（x+1）（x
3
﹣），
把B（0，3）代入得：3=
3a
﹣
，即a=
1
﹣，
则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x
3
﹣）=
x
﹣2+2x+3；
（3）连接BC，与抛物线对称轴交于点P，连接AP，由对称性得AP=CP，如图1 所示，此时
△ABP 周长最小，
由抛物线解析式y=
x
﹣2+2x+3=﹣（x
1
﹣）2+4，得到对称轴为直线x=1，
设直线BC 解析式为y=mx+n，
将B（0，3），C（3，0）代入得：
，
解得：m=
1
﹣，n=3，即直线BC 解析式为y=
x+3
﹣
，
联立得：
，
解得：
，即P（1，2），
根据两点间的距离公式得：AB=
=
，BC=
=3
，
则P（1，2），周长为AB+BP+AP=AB+BP+PC=AB+BC=3
+
；
（4）在抛物线的对称轴上存在点Q，使△ABQ 是等腰三角形，
如图2 所示，分四种情况考虑：
当AB=AQ1=
=
时，
在Rt
AQ
△
1Q3中，AQ3=2，AQ1=
，
根据勾股定理得：Q1Q3=
=
，此时Q1（1，
）；
由对称性可得Q2（1，
）；
当AB=BQ3时，可得OQ3=OA=1，此时Q3（1，0）；
当AQ4=BQ4时，Q4为线段AB 垂直平分线与对称轴的交点，
A
∵（﹣1，0），B（0，3），
∴直线AB 斜率为
=3，中点坐标为（﹣，），
∴线段AB 垂直平分线方程为y﹣=﹣（x+ ），
令x=1，得到y=1，此时Q4（1，1），
综上，Q 的坐标为（1，
）或（1，﹣
）或（1，0）或（1，1）．
【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定二次函
数解析式，待定系数法确定一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，等腰三角形的性质，
线段垂直平分线定理，勾股定理，以及对称的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
