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二次根式的乘除（提高）知识讲解
责编：杜少波
【学习目标】
1.掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘除运算.
2.了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.
【要点梳理】
要点一、二次根式的乘法及积的算术平方根
1.乘法法则：
（
≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数
相乘.
要点诠释：
(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b 都必须是非负数；(在本章中，
如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).
(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：
≥0，
≥0，…..
≥0）.
(3)若二次根式相乘的结果能写成
的形式，则应化简，如
.
2.积的算术平方根:
（
≥0，
≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.
要点诠释：
(1)在这个性质中，a、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足
≥0，
≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立
了；
(2)
与
都是
的算术平方根；
(3)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有
形式的a 移到根号外面.
要点二、二次根式的除法及商的算术平方根
1.除法法则：
（
≥0，
>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.
要点诠释：
(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b 的取值范围应特别注意，≥0，>0，
因为b 在分母上，故b 不能为0；
(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果
中分母不能带根号.
2.商的算术平方根:
（
≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
要点诠释：
与
都是
的算术平方根.
要点三、最简二次根式
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；
（2）被开方数中不含有分母；
（3）分母中不含有根号.
满足这三个条件的二次根式叫做最简二次根式.
要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1) 被开方数是分数或分式；
（2）含有能开方的因数或因式.
【典型例题】
类型一、二次根式的乘除
【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9 （2），（3）】
1.（1）
； （2）
.
【答案与解析】
解：（1）原式＝
＝
.
(2)原式＝
.
【总结升华】根据二次根式的乘除法则灵活运算，注意最终结果要化简.
举一反三：
【高清课堂：二次根式及其乘除法（下）例9 （4）】
【变式】化简：
【答案】
解：原式＝
＝
2.计算：
(1)
·(-
)÷
(m＞0，n＞0)；
(2)-3
÷(
)×
(a＞0).
【思路点拨】复杂的二次根式计算，要注意在化简过程中运用幂的乘除运算和因式分解运算.
【答案与解析】
解：(1)原式＝-
÷
＝-
＝
＝-
；
(2)原式＝-2
＝-2
＝-
a.
【总结升华】熟练乘除运算，更要加强运算准确的训练.
举一反三：
【变式】已知
，且x 为偶数，求(1+x)
的值．
【答案】
解：由题意得
，即
,
∴6＜x≤9，∵x 为偶数，∴x＝8 .
∴原式＝(1+x)
＝(1+x)
＝(1+x)
＝
.
∴当x＝8 时，原式的值＝
＝6．
类型二、最简二次根式
3.
（x＞0，y＞0）
【思路点拨】根据二次根式的乘除法把根号外的相乘除，根号里的相乘除再化简即可．
【答案与解析】
解：原式=﹣
=﹣
，
∵x＞0，y＞0，
∴原式=﹣
=﹣3xy．
【总结升华】本题主要考查了最简二次根式及二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
4.（2016•罗平县三模）观察分析下列数据：0，﹣
，
，﹣3，2
，﹣
，3
，…，根据数据排
列得到第10 个数据应是
（结果化为最简二次根式）
【思路点拨】根据观察，可发现规律：（﹣1）n+1
，根据规律，可得答案．
【答案与解析】
解：由规律：（﹣1）n+1
，得第10 个数据为：（﹣1）11
=-
=﹣3
，
故答案为：﹣3
．
【总结升华】本题考查了最简二次根式，观察数据发现规律是解题关键．
举一反三：
【变式1】若
的整数部分是
，小数部分是
，求
的值.
【答案】
解：
.
又因为整数部分是
，小数部分是
，
则
＝13，
＝
.
＝
.
【变式2】阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将
分母有理化．
解：原式=
=
+
运用以上方法解决问题：
（1）将
分母有理化；
（2）比较大小：（在横线上填“＞”、“＜”或“=”）
（n≥2，且n 为整数）
（3）化简：
+
+
+…+
．
【答案】解：（1）
=
=
=2﹣
；
（2）∵
=
+
，
=
+
，
又
＜
，
∴
＜
，
∵
=
+
，
=
+
，
∴
＜
，
故答案为：＜，＜；
（3）原式=
+
+…+
=
﹣1+
﹣
+
﹣
+…+
﹣
=
﹣1.
