文档文本内容
勾股定理（提高）
【学习目标】
1． 掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为
，斜边长为
，那么
．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以
建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中
，所以
．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中
，所以
．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
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，所以
．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、与勾股定理有关的证明
1、在△ABC 中，AB=AC，D 是BC 延长线上的点，求证：
【答案与解析】
证明：作等腰三角形底边上的高AE
∵AB=AC，AE⊥BC
∴BE=EC,∠AEB=∠AEC=90°
∴
【总结升华】解决带有平方关系的问题，关键是找出直角三角形，利用勾股定理进行转化，若
没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再利用勾股定理解题．
类型二、与勾股定理有关的线段长
2、如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ABC=90°，D 为AC 边上中点，过D 点作DE 丄
DF，交AB 于E，交BC 于F，若AE=4，FC=3，求EF 长．
【答案与解析】
解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC 中，D 为AC 边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE 丄DF，
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∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB 与△FDC 中，
∵
，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF 中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
【总结升华】此题考查的知识点是勾股定理及全等三角形的判定，关键是由已知先证三角形
全等，求得BE 和BF，再由勾股定理求出EF 的长．
类型三、与勾股定理有关的面积计算
3、已知直角三角形斜边长为10，周长为24，求此三角形的面积．
【思路点拨】欲求Rt△的面积，只需求两直角边之积，而由已知得两直角边之和为14，结合勾
股定理又得其平方和为100，于是可转化为用方程求解．
【答案与解析】
解：设这个直角三角形的两直角边长分别为
，则
即
将①两边平方，得
③
③－②，得
，所以
因此这个直角三角形的面积为24．
【总结升华】此题通过设间接未知数
，通过变形直接得出
的值，而不需要分别求出
的值．本题运用了方程思想解决问题．
举一反三：
【变式】如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三
角形．若正方形A、B、C、D 的边长分别是4、6、3、4，则最大正方形E 的面积是（ ）
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A．17
B．36
C．77
D．94
【答案】C
类型四、利用勾股定理解决实际问题
4、如图所示，在一棵树的10
高的B 处有两只猴子，一只爬下树走到离树20
处的池
塘A 处，另外一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离的直线计算，如果两只猴子所经过的距离
相等，试问这棵树有多高？
【思路点拨】其中一只猴子从B→C→A 共走了(10+20)=30
，另一只猴子从B→D→A 也共
走了30
，并且树垂直于地面，于是这个问题可化归到直角三角形中利用勾股定理解决．
【答案与解析】
解：设树高CD 为
，则BD＝
－10，AD＝30－(
－10)＝40－
，
在Rt△ACD 中，
，
解得：
＝15．
答：这棵树高15
．
【总结升华】本题利用距离相等用未知数来表示出DC 和DA，然后利用勾股定理作等量关系列
方程求解．
举一反三：
【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12
，底面半径等于3
，在圆柱的底面A 点有
一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π 取
3)
【答案】
解：如图②所示，由题意可得：
，
在Rt△AA′B 中，根据勾股定理得：
则AB＝15
．
所以需要爬行的最短路程是15
．
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