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勾股定理（基础）
【学习目标】
1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想；
2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）；
3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
要点一、勾股定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别
为
，斜边长为
，那么
．
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系．
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以
建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的．
（3）理解勾股定理的一些变式：
，
，
．
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．
图（1）中
，所以
．
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．
图（2）中
，所以
．
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
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，所以
．
要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3． 与勾股定理有关的面积计算；
4．勾股定理在实际生活中的应用．
【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为
、
、
．
（1）若
＝5，
＝12，求
；
（2）若
＝26，
＝24，求
．
【思路点拨】利用勾股定理
来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C＝90°，
，
＝5，
＝12，
所以
．所以
＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C＝90°，
，
＝26，
＝24，
所以
．所以
＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜
边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式】在△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为
、
、
．
（1）已知
＝6，
＝10，求
；
（2）已知
，
＝32，求
、
．
【答案】
解：（1）∵ ∠C＝90°，
＝6，
＝10，
∴
，
∴
＝8．
（2）设
，
，
∵ ∠C＝90°，
＝32，
∴
．
即
．
解得
＝8．
∴
，
．
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类型二、与勾股定理有关的证明
2、如图所示，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AM 是中线，MN⊥AB，垂足为N，
试说明
．
【答案与解析】
解：因为MN⊥AB，所以
，
，
所以
．
因为AM 是中线，所以MC＝MB．
又因为∠C＝90°，所以在Rt△AMC 中，
，
所以
．
【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若
没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．
举一反三：
【变式】如图，在△ABC 中，∠C＝90°，D 为BC 边的中点，DE⊥AB 于E，则AE2-BE2等于（ ）
A．AC2 B．BD2 C．BC2 D．DE2
【答案】连接AD 构造直角三角形，得
，选A．
类型三、与勾股定理有关的线段长
3、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落
在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB 的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D；
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【解析】
解：设AB＝
，则AF＝
，
∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE，
∴ △ABE≌△AFE．BE＝EF，
EC＝BC－BE＝8－3＝5，
在Rt△EFC 中，
由勾股定理解得FC＝4，
在Rt△ABC 中，
，解得
．
【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．
类型四、与勾股定理有关的面积计算
4、如图，直线l 上有三个正方形a，b，c，若a，c 的面积分别为5 和11，则b 的面积为（
）
A．6 B．5 C．11 D．16
【思路点拨】本题主要考察了全等三角形与勾股定理的综合应用，由b 是正方形，可求
△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b 的面积=a 的面积+c 的面积．
【答案】D
【解析】
解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，
∴∠ACB=∠DEC，
在△ABC 和△CDE 中，
∵
∴△ABC≌△CDE
∴BC=DE
∵
∴
∴b 的面积为5+11=16，故选D．
【总结升华】此题巧妙的运用了勾股定理解决了面积问题，考查了对勾股定理几何意义的理
解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．
类型五、利用勾股定理解决实际问题
5、一圆形饭盒，底面半径为8
，高为12
，若往里面放双筷子（精细不计），那么筷
子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
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【答案与解析】
解：如图所示，因为饭盒底面半径为8
，所以底面直径DC 长为16
．
则在Rt△BCD 中，
，
所以
(
)．
答：筷子最长不超过20
，可正好盖上盒盖．
【总结升华】本题实质是求饭盒中任意两点间的最大距离，其最大距离是以饭盒两底面的一
对平行直径和相应的两条高组成的长方形的对角线长．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5
处断裂，旗杆顶部落在离底部12
处，则旗杆折断前
有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C＝90°，BC＝5
，AC＝12
，
∴
．
∴
(
)．
∴ BC＋AB＝5＋13＝18(
)．
∴ 旗杆折断前的高度为18
．
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