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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题34 不等式第三缉
1．【2017 年浙江预赛】设f (x)= x
2+ax +b在[0,1]中有两个实数根,则a
2-2b
的取值范围为
.
【答案】[0,2]
【解析】提示：因为f (x)= x
2+ax +b=(x + a
2)
2
+b- a
2
4
在[0,1]中有两个实数根,
所以a,b满足f (0)=b≥0,f (1)=a+b+1≥0,a
2- 4 b≥0,0≤- a
2 ≤1，
由此可以得到a
2-2b的取值范围为[0,2].
2．【2017 年江苏预赛】设x、y是实数,则2 x + ❑√2 y
2 x
4+ 4 y
4+9
的最大值是
.
【答案】1
4
【解析】提示:因为2 x
4+2+2+2≥8 x ,4 y
4+1+1+1≥4 ❑√2 y,
所以2 x
4+ 4 y
4+9≥8 x + 4 ❑√2 y .
两边同除以2 x
4+ 4 y
4+9,得2 x + ❑√2 y
2 x
4+ 4 y
4+9
≤1
4 ,
当x =1, y =
❑√2
2
时取等号.
因此2 x + ❑√2 y
2 x
4+ 4 y
4+9
的最大值是1
4 .
3．【2016 年陕西预赛】设m、n 均为正整数，且满足24m=n4.则m 的最小值为________.
【答案】54
【解析】
由n4=24m=23×3m，知mmin=2×33=54.
4．【2016 年陕西预赛】设f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数、偶函数，且f(x)+g(x)=2x.若对x∈[1，
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2]，不等式af(x)+g(2x)≥0 恒成立，则实数a 的取值范围是_______.
【答案】[- 17
6 ，+ ∞)
【解析】
由f(x)+g(x)=2x ①
⇒ f(-x)+g(-x)=2-x
⇒-f(x)+g(x)=2-x. ②
由式①、②得，
g(x)=2
x+2
- x
2
，f(x)=2
x -2
- x
2
.
由af(x)+g(2x)≥0
⇒a(2x-2-x)+22x+2-2x≥0. ③
令t=2x-2 –x，由x[1，2]，得t∈[ 3
2 ，15
4 ] ，且22x+2-2x=t2+2.
则对t∈[ 3
2 ，15
4 ]由式③得-a≤t + 2
t
.
因为函数t + 2
t 在区间[ 3
2 ，15
4 ]内单调递增，所以t=
❑√3
2
时，(t + 2
t )
min
= 17
6 .
故-a≤17
6
，即a≥- 17
6
.
5．【2016 年陕西预赛】设a∈R.则函数f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值为_______.
【答案】1
【解析】
注意到，f ( x)=2| x - 1
2 |+3| x - 2
3 |+ 4| x - 3
4 |+5| x - 2
5 |
=2(| x - 1
2 |+| x - 4
5 |)+3(| x - 2
3 |+| x - 4
5 |+ 4| x - 3
4 |)
≥2|( x - 1
2 )-( x - 4
5 )|+3|( x - 2
3 )-( x - 4
5 )| =2| 4
5 - 1
2 |+3| 4
5 - 2
3 |=1
当且仅当( x - 1
2 )( x - 4
5 )≤0，( x - 2
3 )( x - 4
5 )≤0，x - 3
4 =0，即x = 3
4
时，等号成立.
故f （x ）min= f ( 3
4 )=1
6．【2016 年福建预赛】设f(x)为定义在R 上的函数，若f(0)=1008，且对任意的x∈R，满足f(x+4)-
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f(x)≤2(x+1)，f(x+12)-f(x)≥6(x+5).则f (2016)
2016
= _________.
【答案】504.
【解析】
由条件知
f(x+12)-f(x) =(f(x+12)-f(x+8))+(f(x+8)-f(x+4))+(f(x+4)-f(x))
≤2((x+8)+1)+2((x+4)+1)+2(x+1) =6x+30-6(x+5).
又f(x+12)-f(x)≥6(x+5)，于是，f(x+12)-f(x)=6(x+5).
则f(2016)=∑
k =0
167
(f (12k +12)- f (12k ))+ f (0) =6∑
k =0
167
(12k +5)+1008
=6× (2009+5)×168
2
+1008
=1008×1008.
故f (2016)
2016
= 1008
2
=504.
7．【2016 年福建预赛】当x、y、z 为正数时，4 xz+ yz
x
2+ y
2+ z
2的最大值为________.
【答案】
❑√17
2
.
【解析】
注意到，
（1）x
2+ 16
17 z
2≥2❑√
16
17 xz，当且仅当x =
4
❑√17 z时，等号成立；
（2）y
2+ 1
17 z
2≥2❑√
1
17 yz，当且仅当x =
1
❑√17 z时，等号成立.
则x2+y2+z2=( x
2+ 16
17 z
2)+( y
2+ 1
16 z
2)≥2❑√
16
17 xz +2❑√
1
17 yz
=
2
❑√17 (4 xz - yz) ⇒4 xz + yz
x
2+ y
2+ z
2 ≤
❑√17
2
.
当且仅当x：y：z=4：1：❑√17时，上式等号成立.
从而，4 xz + yz
x
2+ y
2+ z
2的最大值为
❑√17
2
.
8．【2016 年新疆预赛】已知x、y >0,且x +2 y =2.则x
2
2 y + 4 y
2
x
的最小值为______.
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【答案】2
【解析】
令a=(
❑√
x
2
2 y ,
❑√
4 y
2
x ),b=(❑√2 y ,❑√x)，
则|a|=
❑√
x
2
2 y +
❑√
4 y
2
x ,|b|= ❑√2 y + x = ❑√2.
a⋅b= x +2 y =2，
由|a||b|≥a⋅b⇒x
2
2 y + 4 y
2
x ≥2,当且仅当a 与b 同向时,上式等号成立.
故当x =2 y =1时, x
2
2 y + 4 y
2
x
取得最小值2.
9．【2016 年山西预赛】设n 为正整数，使❑√3介于n+3
n
与n+ 4
n+1
之间．则n＝__________.
【答案】4
【解析】
注意到，n+ 4
n+1 =1+
3
n+1 <1+ 3
n = n+3
n
.
而❑√3为无理数，则
1+
3
n+1 <❑√3<1+ 3
n ⇒
3
n+1 <❑√3-1< 3
n ⇒n<
3
❑√3-1 <n+1.
故n=[
3
❑√3-1]= 4（[x]表示不超过实数x 的最大整数).
10．【2016 年全国】设实数a 满足a<9a
3-11a<|a|.则a 的取值范围是________.
【答案】a∈(- 2❑√3
3
,-
❑√10
3 )
【解析】
由a<|a|⇒a<0.
则由原不等式得:
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-1<9a
2-11<1⇒a
2∈(
10
9 , 4
3)
.
又a<0，故a∈(- 2❑√3
3
,-
❑√10
3 )
.
11．【2016 年吉林预赛】设实数x、y 满足¿则2x-y 的最大值为________.
【答案】1
【解析】
试题分析：画出线性约束条件¿的可行域，由可行域知目标函数z =2 x - y的最大值为1.
考点：线性规划的有关知识。
点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数
转化为斜截式的形式，即
的形式，
但要注意
的正负。当
为正时，求z 的最大值就是求直线
在y 轴上的截距最大时对应的点；
当
为负时，求z 的最大值就是求直线
在y 轴上的截距最小时对应的点。
12．【2016 年吉林预赛】设实数x、y 满足¿则2x-y 的最大值为________.
【答案】1
【解析】
试题分析：画出线性约束条件¿的可行域，由可行域知目标函数z =2 x - y的最大值为1.
考点：线性规划的有关知识。
点评：求目标函数的最值，通常要把目标函数
转化为斜截式的形式，即
的形式，
但要注意
的正负。当
为正时，求z 的最大值就是求直线
在y 轴上的截距最大时对应的点；
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当
为负时，求z 的最大值就是求直线
在y 轴上的截距最小时对应的点。
13．【2016 年浙江预赛】已知a、b、c为互不相等的整数。则4(a
2+b
2+c
2)-(a+b+c)
2的最小值为
__________。
【答案】8
【解析】
注意到，4(a
2+b
2+c
2)-(a+b+c)
2=(a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2+a
2+b
2+c
2，其最小值为8.
14．【2016 年上海预赛】已知
，则
的取值范围为__________．
【答案】
;
【解析】由
及
有
，所
故结果为
．
15 ．【2016
年四川预赛】设实数
x 、y 、z 、w
满足x + y + z + w =1. 则
M = xw +2 yw +3 xy +3 zw + 4 xz+5 yz的最大值为________.
【答案】3
2
【解析】
易知，对任意的实数t，有t (1-t )≤1
4
，当且仅当t = 1
2
时等号成立.
注意到M = x ( y + z + w)+2 y (x + z + w)+3 z (x + y + w)
= x (1- x)+2 y (1- y)+3 z (1- z)
≤1
4 +2× 1
4 +3× 1
4 = 3
2
.
当且仅当x = y = z = 1
2 ，w =- 1
2
时，上式等号成立.
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从而，M 的最大值为3
2
.
16．【2016 年江西预赛】若对于所有的正数x、y,均有❑√x + ❑√y ≤a ❑√x + y,则实数a 的最小值为______.
【答案】❑√2
【解析】
由(
❑√x
❑√x + y)
2
+(
❑√y
❑√x + y)
2
=1⇒
❑√x
❑√x + y +
❑√y
❑√x + y ≤❑√2当x=y 时,上式等号成立.
所以a≥❑√2, 实数a 的最小值为❑√2.
17．【2016 年湖北预赛】已知实数x、y 满足x
2
3 + y
2=1.则p=|2 x + y - 4|+|4 - x -2 y|的取值范围是
___________.
【答案】[2,14]
【解析】
设x = ❑√3cosθ ，y =sinθ(θ∈[0 ，2π)).
则2 x + y =2❑√3cosθ+sinθ
= ❑√13sin (θ+α )<4，
x +2 y = ❑√3cosθ+2sinθ
= ❑√7sin (θ+ β)<4
.
故P =|2 x + y - 4|+|4 - x -2 y|
=(4 -2 x - y)+(4 - x -2 y)
=8-3(x + y)
=8-3(❑√3cosθ+sinθ)
=8-6sin(θ+π
3 )
由θ∈[0,2π)，得2≤P≤14.
18．【2016 年河南预赛】若实数x、y满足x
2-2 xy +5 y
2= 4，则x
2+ y
2的取值范围是_____。
【答案】[3- ❑√5,3+ ❑√5]
【解析】
依题意有(x - y)
2+(2 y)
2= 4.
令x - y =2cosθ，y =sinθ.
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于是，x =sinθ+2cosθ，y =sinθ.
则x
2+ y
2=(sinθ+2cosθ)
2+sin
2θ =3+ ❑√5sin (2θ+φ).
故x
2+ y
2的取值范围是[3- ❑√5,3+ ❑√5].
19．【2016 年河南预赛】已知函数f (x)= 1
3 x
3+ 1
2 b x
2+cx +d在区间（0,2）内既有极大值又有极小值。则
c
2+2bc + 4 c的取值范围是______________。
【答案】(0,1)
【解析】
依题意，知f ' (x)=0在区间（0,2）上有两个不同的零点，即x
2+bx +c =0在区间（0,2）上有两个不同的实
根，不妨设为x1、x2 (x1、x2∈(0,2), x1≠x2).
则x1+ x2=-b，x1 x2=c.
⇒c
2+2bc + 4 c =c (c +2b+ 4)
= x1 x2(x1 x2-2 x1-2 x2+ 4)
= x1 x2(2- x1)(2- x2)
=(x1(2- x1))(x2(2- x2))
＜(
x1+(2- x1)
2
)
2
(
x2+(2- x2)
2
)
2
=1
故c
2+2bc + 4 c的取值范围是（0,1）.
20．【2016 年甘肃预赛】若实数x , y满足x
2+ y
2+ xy =1, 则x + y的最大值为________________.
【答案】2❑√3
3
【解析】
x
2+ y
2+ xy =1≥2 xy + xy ,∴xy ≤1
3 , x + y ≥2❑√xy ≥2❑√
1
3 = 2❑√3
3
21．【2016 年甘肃预赛】已知甲、乙两个工程队各有若干人.若从甲工程队调90 人到乙工程队，则乙工程
队的总人数是甲工程队的2 倍；若从乙工程队调部分人到甲工程队，则甲工程队的总人数是乙工程队的6
倍.则甲工程队原来最少有__________人.
【答案】153
【解析】
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设甲、乙两队原来各有a、b 人.则2(a-90)=b+90. ①
再设从乙工程队调c 人到甲工程队.则.a+c =6(b-c) ②
由①、②消去b，整理得11a-7 c =1620⇒c = 11a-1620
7
=a-232+ 4 (a+1)
7
.
由于a、c 为正整数，从而，c = 11a-1620
7
≥1⇒a≥148.
又7¿，于是，7¿.
则a 的最小值为153.
因此，甲工程队原来最少有153 人.
22．【2016 年北京预赛】记自然数x的数字和为S (x).则方程x + S (x)+ S(S (x))+ S(S(S (x)))=2016的解集
为__________.
【答案】1980
【解析】
易知，x<2016.注意到，小于2016 的自然数中的数字和最大为28，例如，S (1999)=28，这表明，
S (x)≤28.进一步，S(S (x))≤S (19)=10.
最后，S(S(S (x)))≤9.
由方程得x =2016- S (x)- S(S (x))- S(S(S (x)))
≥2016-28-10-9=1969.
故x∈{1969,1970,⋯,2015}.
又x、S (x)、S(S (x))、S(S(S (x)))除以9 的余数相同，而2016 除以9 的余数为0，从而，每个数除以9
的余数为0.于是，x只能取1971、1980、1989、1998、2007.
经检验，只有1980+18+9+9=2016.因此，方程的解集为{1980}.
23．【2016 高中数学联赛（第01 试）】设实数a 满足a<9a
3-11a<|a|，则a 的取值范围是
.
【答案】(- 2❑√3
3
,-
❑√10
3 )
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【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可变形为1> 9a
3-11a
a
>|a|
a
=-1，
即-1<9a
2-11<1，所以a
2∈(
10
9 , 4
3)
.
又a<0，故a∈(- 2❑√3
3
,-
❑√10
3 )
.
24
．
【
2015
年
全
国
】
在
平
面
直
角
坐
标
系
xOy中
，
点
集
K ={( x , y)|(| x|+|3 y |-6)⋅(|3 x|+| y |-6)≤0}所对应的平面区域的面积为______.
【答案】24
【解析】
设K 1={( x , y)|| x|+|3 y |-6≤0}.
先考虑点集K 1在第一象限中的部分，此时，x +3 y ≤6.故这些点对应于图中的△OCD及其内部.
由对称性，知点集K 1对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD及其内部.
类似地，设K 2={( x , y)||3 x|+| y |-6≤0}.
则点集K 2对应的区域是图中以O为中心的菱形EFGH及其内部.
由点集K的定义，知K所对应的平面区域是被点集K 1、K 2中恰一个所覆盖的部分.
因此，本题所要求的即为图中阴影区域的面积S.
由lCD: x +3 y =6，lGH :3 x + y =6，知两直线的交点为P( 3
2 , 3
2 ).
由对称性知S =8 S△CPG=8× 1
2 ×4× 3
2 =24.
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故答案为：24
25．【2015 年浙江预赛】设a、b∈Z.若对任意的x ≤0，均有(ax +2)(x
2+2b)≤0，则a=______，b=
______.
【答案】a=1 b=-2
【解析】
令x =0，知b≤0.
考虑过定点(0,2)的直线y =ax +2，与开口向上的抛物线y = x
2+2b，满足对任意x ≤0所对图像上的点不在
x轴同侧.
因此，- ❑√-2b= 2
a
.
又a、b∈Z，故a=1，b=-2.
26．【2015 年上海预赛】若实数x、y 满足x -3 ❑√x +1=3 ❑√y +2- y，则x + y的最大值为________.
【答案】9+3 ❑√15
【解析】
已知等式即
x + y =3 ❑√x +1+3 ❑√y +2 . ①
令u= ❑√x +1,v = ❑√y +2.
则u≥0,v ≥0, x + y =u
2+ v
2-3.
故式①变形为
u
2+ v
2-3=3u+3 v
⇔(u- 3
2)
2
+(v - 3
2)
2
= 15
2
.
于是，点M（u，v）在圆弧⃗AB：
(u- 3
2)
2
+(v - 3
2)
2
=(
❑√30
2 )
2
(u、v ≥0)上变动，如图.
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显然，当M 取点C(
3+ ❑√15
2
, 3+ ❑√15
2
,)
时，最大|OM|，此时，
(u
2+ v
2)max =|OC|
2=2(
3+ ❑√15
2 )
2
=12+3 ❑√15.
故(x + y)max=12+3 ❑√15-3=9+3 ❑√15.
27．【2015 年新疆预赛】若实数x、y 满足2 x
2+3 xy +2 y
2=1，则x + y + xy的最小值为 ______.
【答案】- 9
8
【解析】
令k = x + y + xy.
由2 x
2+3 xy +2 y
2=1⇒2(x + y)
2=1+ xy
⇒2(x + y)
2=k -(x + y)+1
⇒2(x + y)
2+(x + y)-(1-k )=0
.
将上面方程视为关于x + y的二次方程.
由x + y为实数知
Δ=1+8(1+k )≥0⇒k ≥- 9
8
.
故x + y + xy的最小值为- 9
8
.
28 ．【2015 年天津预赛】设a、b、c、d均为实数，满足a+2b+3c + 4 d = ❑√10. 则
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a
2+b
2+c
2+d
2+(a+b+c +d)
2的最小值为__________.
【答案】1
【解析】
由已知等式得
(1-t )a+(2-t )b+(3-t )c +(4 -t )d +t (a+b+c +d)= ❑√10.
再由柯西不等式得
[(1-t )
2+(2-t )
2+(3-t )
2+(4 -t )
2+t
2].
[a
2+b
2+c
2+d
2+(a+b+c +d)
2]≥10
⇒a
2+b
2+c
2+d
2+(a+b+c +d)
2
≥
10
5t
2-20t +30
=
10
5(t -2)
2+10
=1
当且仅当
t =2，a=-
❑√10
10 ，b=0，c =
❑√10
10 ，d =
❑√10
5
时，上式等号成立.
故所求的最小值为1.
29．【2015 年四川预赛】已知点P（x、y）满足|x|+|y|≤2。则到x 轴的距离d ≤1的点P 的概率为
________。
【答案】3
4
【解析】
如图，|x|+|y|≤2围成的区域为正方形ABCD.
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易知，正方形ABCD 的面积为8.
由于直线y=1 与AD 、AB 分别交于点E 、F ，直线y=-1 与CD 、CB 交于点H 、G ，从而，
S ΔAEF =1,S ΔCHG=1，S六边形EFBGHD=6.
故点P 的概率p= S六边形EFBGED
S正方形ABCD
= 3
4
.
30．【2015 年北京预赛】实数x、y 、a使得：x + y =a+1和xy =a
2-7 a+16.则x
2+ y
2的最大值为
_________.
【答案】32
【解析】
注意到，x
2+ y
2=(x + y)
2-2 xy =(a+1)
2-2(a
2-7 a+16)
=-a
2+16a-31=-(a-8)
2+33
.
又(x - y)
2=(a+1)
2- 4(a
2-7 a+16)≥0
⇒-3a
2+30a-63≥0⇒3≤a≤7.
于是，在闭区间[3,7]上，函数f (a)=-(a-8)
2+33为增加的.
故其最大值在a=7时得到，即x
2+ y
2的最大值为32.
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