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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题33 不等式第二缉
1．【2018 年贵州预赛】若实数a 使得不等式|x -2a|+|2 x -a|≥a
2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值
范围是_______．
【答案】[- 3
2 ，3
2]
【解析】
设x=ka（k∈R），则|ka-2a|+|2ka-a|≥a
2，
即对∀k ∈R，恒有
|k -2|+|2k -1|≥|a|⇔|k -2|+|2k -1|sin≥|a|，而|k -2|+|2k -1|min= 3
2
，所以
|a|≤3
2 ⇔a∈[- 3
2 ，3
2]
．
故答案为：[- 3
2 ，3
2]
2．【2018 年广西预赛】设a∈R，若x>0时均有( x
2+ax -5)(ax -1)≥0成立，则a=______．
【答案】1
2
【解析】
当a=0时，显然不能使原不等式对任意的x>0恒成立.因此a≠0.注意到y = x
2+ax -5的开口向上，所以必
然要求a>0.对于方程x
2+ax -5=0，设其两根为x1、x2，且x1<0，x2>0，令x3= 1
a
.由x>0时，原不等
式恒成立，可知x2= x3
，故-a+
❑√a
2+20
2
= 1
a
.
解得a= 1
2
.
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3．【2018 年湖北预赛】设正实数x、y满足x
2+ y
2+ 1
x + 1
y = 27
4
，则P = 15
x - 3
4 y
的最小值为______.
【答案】6
【解析】
由三元均值不等式，可得
x
2+ 1
x =(x
2+ 8
x + 8
x)- 15
x
≥3
3√x
2⋅8
x ⋅8
x - 15
x =12- 15
x , ①
y
2+ 1
y =( y
2+ 1
8 y + 1
8 y)+ 3
4 y
≥3
3√y
2⋅1
8 y ⋅1
8 y = 3
4 + 3
4 y
. ②
当且仅当x =2时，①中等号成立；当且仅当y = 1
2
时，②中等号成立.
①+②，得x
2+ y
2+ 1
x + 1
y ≥51
4 +(
3
4 y - 15
x )
.
又已知x
2+ y
2+ 1
x + 1
y = 27
4
，故51
4 +(
3
4 y - 15
x )≤27
4
，整理得15
x - 3
4 y ≥6.当且仅当x =2, y = 1
2
时等号成
立.所以，P = 15
x - 3
4 y
的最小值为6.
4．【2018 年甘肃预赛】设x , y满足¿只在点A (2,0)处取得最小值，则实数a的取值范围是______．
【答案】- 1
2 <a<2
【解析】
画出平面区域如下：
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由数形结合可得-2<-a< 1
2
，即- 1
2 <a<2．
5．【2018 年甘肃预赛】若正实数x , y满足y >2 x，则y
2-2 xy + x
2
xy -2 x
2
的最小值是______．
【答案】4
【解析】
y >2 x得y
x >2，设t = y
x （t >2），则
y
2-2 xy + x
2
xy -2 x
2
=(
y
x)
2
-2 y
x +1
y
x -2
= t
2-2+1
t -2
=(t -2)+ 1
t -2 +2≥2❑√
(t -2)⋅1
t -2 +2= 4，
当且仅当t =3时等号成立，故y
2-2 xy + x
2
xy -2 x
2
的最小值是4．
6．【2018 年吉林预赛】若实数a,b满足¿，则a+2b
2a+b
的最大值为_________.
【答案】7
5
【解析】试题分析：由a+2b
2a+b =
1
2 (2a+b)+ 3
2 b
2a+b
= 1
2 +
3
2 b
2a+b = 1
2 +
3
2
2 a
b +1
知，可行域内一点与原点连线的
斜率最大时，
a+2b
2a+b 最大，由¿，此时
a
b有最小值
1
3，得
a+2b
2a+b 最大值
，所以答案应填：
．
考点：线性规划．
7．【2018 年天津预赛】实数x、y 满足x
2+ y
2=20，则xy +8 x + y的最大值是____________
【答案】42
【解析】
注意xy ≤1
4 x
2+ y
2，8 x ≤x
2+16，y ≤1
4 y
2+1，这三者相加即得xy +8 x + y ≤5
4 (x
2+ y
2)+17= 42.
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当x = 4，y =2时等号成立，所以xy +8 x + y的最大值是42.
也可以直接用柯西（Cauchy）不等式(xy +8 x + y)
2≤(x
2+8
2+ y
2)( y
2+ x
2+1
2)=84×21= 42
2，得到最大值
为42.
故答案为：42
8．【2018 年河南预赛】已知a、b、c均为正数，则min{
1
a , 2
b , 4
c ,
3√abc}
的最大值为______．
【答案】❑√2
【解析】
记M =min{
1
a , 2
b , 4
c ,
3√abc}
，那么M ≤1
a ，M ≤2
b ，M ≤4
c
，
于是M
3≤8
abc
，得
3√abc≤2
M
． ①
又 M ≤
3√abc． ②
由①②可得M ≤2
M
，所以M ≤❑√2，即M max = ❑√2，当且仅当c =2b= 4 a=2❑√2时取得．
9．【2018 年河北预赛】若实数x、y、z 满足x
2+ y
2+ z
2=3，x +2 y -2 z = 4，则zmax+ zmin=_____.
【答案】- 16
9
【解析】
由柯西不等式得( x
2+ y
2)(1+2
2)≥( x +2 y )
2，由已知得x
2+ y
2=3- z
2，( x +2 y )
2=(4 +2 z)
2，所以有
5(3- z
2)≥(4 +2 z)
2，化简得9 z
2+16 z +1≤0，即Zmax、Zmin
为方程9 z
2+16 z +1=0的两根，由韦达定
理得Zmax+ Zmin=- 16
9
.
10．【2018 年河北预赛】已知x⩾1，y ⩾1 且lg
2 x +lg
2 y =lg10 x
2+lg10 y
2，则u=lg xy的最大值为
________.
【答案】2+2❑√2
【解析】
由已知得lg
2 x -2lg x +1+lg
2 y -2lg y +1= 4.
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所以(lg x -1)
2+(lg y -1)
2= 4.
因为x⩾1、y ⩾1，所以lg x⩾0、lg y ⩾0，设s=lg x，t =lg y，则有点（s，t）在以（1，1）为圆心，
2 为半径的圆弧（第一象限及坐标轴）上.
由线性规划知识直线u= s+t与圆弧相切于点(❑√2+1,❑√2+1)时，umax = ❑√2(❑√2+2)=2+2❑√2.
11．【2018 年辽宁预赛】若正实数x、y 满足x
3+ y
3=(4 x -5 y ) y，则y 的最大值为_____.
【答案】1
3
【解析】
设x =ky,则y = 4 k -5
k
3+1
.令f (k )= 4 k -5
k
3+1
，则f
'(k )= (k -2)(8k
2+k +2)
(k
3+1)
2
，
故f (k )≤f (2)= 1
3
，因此y 的最大值为1
3
.
故答案为:1
3
12．【2018 年江西预赛】设x，y ，z∈R
*，满足x + y + z = xyz，则函数
f (x , y , z)= x
2( yz -1)+ y
2(zx -1)+ z
2(xy -1)的最小值是______．
【答案】18
【解析】
根据条件得，y + z = x ( yz -1)，因此yz -1= y + z
x
，
同理有zx -1= z + x
y
，xy -1= x + y
z
．
又因xyz = x + y + z≥3
3√xyz，得xyz ≥3 ❑√3，
所以f (x , y , z)=2(xy + yz + zx)≥2⋅3
3√(xyz)
2≥18，
当x = y = z = ❑√3时取等号．
故答案为：18
13．【2018 年山西预赛】若正整数n 使得❑√3恒介于1+ 3
n 与1+
3
n+1
之间，则n=________.
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【答案】4
【解析】
当n 为正整数是，易知3
n+1 < 3
n，由❑√3-1< 3
n，得n<
3
❑√3-1 = 3+3 ❑√3
2
；由❑√3-1>
3
n+1，得
n> 1+3 ❑√3
2
，所以n∈(
1+3 ❑√3
2
, 3+3 ❑√3
2 )
，此区间长度为1，其中只有唯一的整数4，所以n=4.
14．【2018 年湖南预赛】设a+b=1,b>0,a≠0，则1
|a| + 2|a|
b
的最小值为_____.
【答案】2❑√2-1
【解析】
1
|a| + 2|a|
b
= a+b
|a| + 2|a|
b
=
a
|a| +(
b
|a| + 2|a|
b )≥
a
|a| +2❑√
b
|a| · 2|a|
b
=2❑√2+
a
|a|
，
其中等号成立的条件是b
|a| = 2|a|
b
，即b
2=2a
2.
当a>0时，1
|a| + 2|a|
b
≥2❑√2+1，当a= ❑√2-1，b= ❑√2a=2- ❑√2时达到最小值.
当a<0时，1
|a| + 2|a|
b
≥2❑√2-1，当a=-(❑√2+1),b=- ❑√2a时达到最小值2❑√2-1.
故答案为：2❑√2-1
15．【2018 年福建预赛】最近网络上有一篇文章很火．源于一道常见题目：（见图），这貌似易解的题目，
里面竟然蕴藏了深奥的大道理．（本题不作为本次考试的试题，本次试题如下）
设a，b∈{2,3,4,5,6,7,8}，则
a
10b+a +
b
10a+b
的最大值为______．
【答案】89
287
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【解析】
不妨设a≥b，x = a
b
，则1≤x ≤4，且
a
10b+a +
b
10a+b =
a
b
10+ a
b
+
1
10⋅a
b +1
=
x
10+ x +
1
10 x +1 = 10 x
2+2 x +10
10 x
2+101 x +10
=1-
99 x
10 x
2+101 x +10
=1-
99
10(x + 1
x)+101．
因为1≤x ≤4，当x = 4时，10(x + 1
x)+101取最大值10(4 + 1
4)+101．
所以当x = 4时，
1-
99
10(x + 1
x)+101取最大值
1-
99
10(4+ 1
4)+101
= 89
287 ．
所以当a=8，b=2（或a=2，b=8）时，
a
10b+a +
b
10a+b
取最大值89
287
．
16．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】若正整数a、b、c 满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，
b，c)的个数为
.
【答案】574
【解析】由条件知c⩽[
2017
1000]=2.
当c=1 时，有10≤b≤20.对于每个这样的正整数b，由10b≤a≤201 知，相应的a 的个数为202－10b.
从而这样的正整数组的个数为∑
b=10
20
(202-10b)= (102+2)×11
2
=572.
当c=2 时，由20⩽b⩽[
2017
100 ]
，知b=20.进而200⩽a⩽[
2017
10 ]=201，
故a=200，201.此时共有两组(a，b，c)
综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2=574.
17．【2017 年天津预赛】如果不等式x
3-ax +1≥0对一切x∈[-1,1]成立,则实数a的取值范围是
.
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【答案】[0, 3
3√2
2 ]
【解析】提示：当x =0时,不等式自然成立.
当x≠0时,记f (x)= x
2+ 1
x
若x∈[-1,0),则原不等式等价于f (x)≤a.
注意f (x)在[-1,0)上是减函数,其最大值为f (-1)=0,从而0≤a.
若x∈(0,1],则原不等式等价于f (x)≥a.
注意到x
2+ 1
x = x
2+ 1
2 x + 1
2 x ≥3
3√x
2⋅1
2 x ⋅1
2 x = 3
3√4
可知f (x)在(0,1]上的最小值为3
3√4
≥a.
综上,a的取值范围是[0, 3
3√4]
,也即[0, 3
3√2
2 ]
.
18．【2017 年河北预赛】已知x , y ∈R ,2 x
2+3 y
2≤12,则|x +2 y|的最大值为
.
【答案】❑√22
【解析】提示：根据柯西不等式得
|x +2 y|
2=(
1
❑√2 ⋅❑√2 x + 2
❑√3 ⋅❑√3 y)
2
≤(
1
2 + 4
3)(2 x
2+3 y
2)≤11
6 ×12=22，
故|x +2 y|≤❑√22,当且仅当{
❑√2 x
1
❑√2
=
❑√3 y
2
❑√3
2 x
2+3 y
2=12
，
即{
2 x = 3
2 y ,
2 x
2+3 y
2=12.
亦即{
x = 3 ❑√22
11
,
y = 4 ❑√22
11
.
x =- 3 ❑√22
11
y =- 4 ❑√22
11
时等号成立,
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故|x +2 y|的最大值为❑√22.
另解: x
2
6 + y
2
4 ≤1,令x
❑√6 =r cosθ , y
2 =r sinθ ,|r|≤1,
所以|x +2 y|=|❑√6r cosθ+ 4 r sinθ|=|❑√22r sin(θ+φ)|≤❑√22|r|≤❑√22，
其中cosφ=
4
❑√22 ,sinφ=
❑√6
❑√22
,当且仅当sin(θ+φ)=1且|r|=1,即
sinθ =cosφ=
4
❑√22 ,cosθ =sinφ=
❑√6
❑√22
且|r|=1时等号成立,
此时{
x = 3 ❑√22
11
,
y = 4 ❑√22
11
,
或{
x =- 3 ❑√22
11
,
y =- 4 ❑√22
11
.
故|x +2 y|的最大值为❑√22.
19．【2017 年吉林预赛】在平面直角坐标系中,由不等式|x|+|y|+|x + y|≤2确定的图形的面积为
.
【答案】3
【解析】在第一、三象限内是直角边长为1 的等腰直角三角形,在第二、四象限内是边长为1 的正方形,面积
是3.
20．【2017 年吉林预赛】已知x , y , z∈Z,且x + y + z =3, x
3+ y
3+ z
3=3,则x
2+ y
2+ z
2=
.
【答案】3 或57
【解析】由x + y =3- z , x
3+ y
3=3- z
3,解得xy = 8-9 z +3 z
2
3- z
,
从而x、y为关于t的方程t
2-(3- z)t + 8-9 z +3 z
2
3- z
=0的整数根.
于是Δ=(3- z)
2- 4⋅8-9 z +3 z
2
3- z
=(z -1)
2(1+
8
z -3)
必为完全平方数,从而z =1,4 ,-5.
当z =1时,(x , y , z)=(1,1,1);
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当z = 4时,(x , y , z)=(-5,4 ,4),(4 ,-5,4);
当z =-5时,(x , y , z)=(4 ,4 ,-5).
综上,x
2+ y
2+ z
2=3或57.
21．【2017 年山东预赛】设a,b,c是非负实数,满足a+b+c =8,ab+bc+ca=16.设m= min{ab,bc ,ca},
则m的最大值为
.
【答案】16
9
【解析】提示：不失一般性,设c≥b≥a,则3c≥a+b+c =8,因此c≥8
3 .
由0≤(a-b)
2=(a+b)
2- 4 ab=(8-c)
2- 4[16-c (a+b)]=c(16-3c)，可解得c≤16
3
.
因为bc≥ca≥ab,故m= min{ab,bc ,ca}=ab,
而ab=16-c (a+b)=16-c (8-c)=(c - 4)
2,结合8
3 ≤c≤16
3
,知ab≤16
9
.
因此m≤16
9
,当(a,b,c)=(
4
3 , 4
3 , 16
3 )
时取到等号.
22．【2017 年山东预赛】已知x , y , z∈R+,且x
2+ y
2+ xy =1, y
2+ z
2+ yz =2, x
2+ z
2+ xz =3.则x + y + z =
.
【答案】❑√3+ ❑√6
【解析】提示：如图,构造直角三角形△ABC,其中AB = ❑√3,CA = ❑√2,BC =1.
设F为△ABC内一点,满足∠AFB =∠BFC =∠CFA = 2π
3
,则F为△ABC的费马点.
令BF = x,CF = y , AF = z,由余弦定理得x , y , z满足题设的三个等式,
则x + y + z即为费马点到各顶点的距离之和.
作三角形△AFC的外接圆,连结BF并延长交圆于点D,连结DA 、DC,在DF上取点E满足FE = FA,连结AE
,则△AEF 、△ACD均为等边三角形.
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考虑△AFC和△AED,由AD = AC , AE = AF,以及
∠CAF =∠DAF -∠DAC =∠DAF - π
3 =∠DAF -∠EAF =∠DAE故△AFC ≅△AED,所以FC = ED,
因此BD = FA + FB+ FC ,在△BCD中,由余弦定理得BD = ❑√C B
2+C D
2-2CB⋅CDcos 5 π
6 = ❑√3+ ❑√6,
因此x + y + z = BD = ❑√3+ ❑√6.
23．【2017 年福建预赛】A ,B ,C为圆O上不同的三点,且∠AOB =120
∘,点C在劣弧^
AB内(点C与A ,B不重
合),若⃗OC = λ⃗OA + μ⃗OB(λ , μ∈R),则λ+ μ的取值范围为
.
【答案】(1,2]
【解析】提示：解法一如图1,连结OC交AB于点D .设⃗OD =m⃗OC,则由⃗OC = λ⃗OA + μ⃗OB,得⃗
OD =mλ⃗OA +mμ⃗OB,
因为A 、D ,B三点共线,所以mλ+mμ=1, λ+ μ= 1
m
,
不妨设圆的半径为1,作OE⊥AB于E,由∠AOB =120
∘,知OE = 1
2
.
因为OD≥OE = 1
2
,且点C在劣弧^
AB内(点C与A ,B不重合),所以1
2 ≤m<1.
于是,1< λ+ μ≤2.
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所以λ+ μ的取值范围为(1,2].
解法二如图2,以O为原点,线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建立直角坐标系.
不妨设圆O半径为2,则由∠AOB =120
∘,知A (- ❑√3,1),B(❑√3,1),
设C (2cosα ,2sinα ).则由⃗OC = λ⃗OA + μ⃗OB
得(2cosα ,2sinα )= λ(- ❑√3,1)+ μ(❑√3,1).所以
λ+ μ=2sinα.
因为点C在劣弧^
AB内(点C与A ,B不重合),所以30
∘<α <150
∘.
于是1
2 <sinα ≤1, λ+ μ=2sinα ∈(1,2].
所以λ+ μ的取值范围为(1,2].
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24．【2017 年河南预赛】实数x、y满足4 x
2-5 xy + 4 y
2=5.若S = x
2+ y
2,记S的最大值为p,S的最小值为
q,则1
p + 1
q =
.
【答案】8
5
【解析】提示:不妨设x = ❑√Scosθ , y = ❑√Ssinθ,
代入4 x
2-5 xy + 4 y
2=5可得S =
5
4 - 5
2 sin2θ ,
则p= 10
3 ,q = 10
13
,故1
p + 1
q = 8
5
.
25．【2017 年河南预赛】若a≥b≥c ,a+b+c =0,且x1, x2为二次方程a x
2+bx +c =0的两实根,则|x1
2- x2
2|的
最大值与最小值的和为
.
【答案】3
【解析】提示:由a+b+c =0,知方程a x
2+bx +c =0有一个实根为1.
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不妨设x1=1,则x2= c
a
.
而a≥b≥c ,a+b+c =0,故a>0,c<0,且a≥-a-c≥c .
则-2≤c
a ≤- 1
2
,故1
4 ≤x2≤4,从而|x1
2- x2
2|的最小值为0,最大值为3,
故最大值与最小值的和为3.
26．【2017 年湖北预赛】已知正实数a、b满足ab(a+b)= 4,则2a+b的最小值为
.
【答案】2❑√3
【解析】提示：由ab(a+b)= 4得a
2+ab= 4
b
,
则(2a+b)
2= 4 a
2+ 4 ab+b
2= 16
b
2 +b
2= 8
b + 8
b +b
2≥3⋅
3√
8
b ⋅8
b ⋅b
2=12.
在b
2= 8
b
,即b=2时取等号.此时a(a+2)=2,a= ❑√3-1,b=2.
所以2a+b的最小值为2❑√3.
27．【2017 年四川预赛】已知实数x1, x2, x3
满足: x1
2+ x2
2+ x3
2+ x1 x2+ x2 x3=2,则|x2|的最大值是
.
【答案】2
【解析】
由条件知x1
2+(x1+ x2)
2+(x2+ x3)
2+ x3
2= 4 .
注意到,x1
2+(x1+ x2)
2≥x2
2
2
，x3
2+(x2+ x3)
2≥x2
2
2
，故x2
2≤4,即|x2|≤2.
当x1= x3=-1, x2=2时,|x2|max=2.
28．【2017 年陕西预赛】设a,b,c是互不相同的正整数,则
abc
a+b+c
的最小值为
.
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【答案】1
【解析】提示：不妨设a>b>c,则a≥3,b≥2,c≥1.
从而,ab≥6,bc≥2,ca≥3.
于是,a+b+c
abc
= 1
bc + 1
ca + 1
ab ≤1
2 + 1
3 + 1
6 =1,即
abc
a+b+c ≥1.
当a=3,b=2,c =1时,上式等号成立.
故
abc
a+b+c
的最小值为1.
29．【2017 年甘肃预赛】已知a>0, x , y满足约束条件{
x ≥1,
x + y ≤3,
y ≥a(x -3).
若z =2 x + y的最小值为1,则a=
.
【答案】1
2
【解析】提示:作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).易知直线z =2 x + y过交点A时,z取最小值,
由{
x =1,
y =a(x -3),
得{
x =1,
y =-2a,
所以zmin=2-2a=1,解得a= 1
2
.
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30．【2017 年广西预赛】不等式(x -2)
❑√x
2-2 x -3≥0的解集是
.
【答案】{-1}∪[3,+ ∞)
【解析】提示：由x
2-2 x -3≥0得x ≥3或x ≤-1.当x ≥3时满足不等式;当x ≤-1时取x =-1.故原不等式的
解集是{-1}∪[3,+ ∞).
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