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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题32 不等式第一缉
1．【2021 年吉林预赛】已知四个整数a,b,c,d 都是偶数，且0<a<b<c<d ,d -a=90 ,若a,b,c 成等差数列，
b,c,d 成等比数列，则a+b+c +d =
.
【答案】194
【解析】由题设知a+c =2b,bd =c
2,d -a=90
,消去c,d,得b(a+90)=(2b-a)
2 .
即90b=(4 b-a)(b-a) ,因为4 b-a≡b-a( mod 6) ,所以4 b-a,b-a 都是6 的倍数,
又因为3b<4 b-a<4 b ,所以22.5<b-a<30 ,故b-a=24 ,
从而4 b-a= 15
4 b ,即b= 4 a ,从而c =7a,d = 49
4 a ,故49
4 a-a=90 .
所以a=8, b=32,c =56,d =98 ,故a+b+c +d =8+32+56+98=194 .
2．【2021 年福建预赛】若正实数x，y 满足x（x+2y）=9，则x5y 的最大值为
.
【答案】54
【解析】解法一：由题设及平均不等式知：
9= x( x +2 y)= x(
1
2 x + 1
2 x +2 y)≥x⋅3
3√
1
2 x⋅1
2 x⋅2 y .
所以,3
3≥x
3⋅1
2 x⋅1
2 x⋅2 y , x
5 y ≤2⋅3
3=54 ,
当且仅当1
2 x =2 y ,即x = ❑√6, y =
❑√6
4
时等号成立.
所以,最大值为54.
解法二：由题意可得y = 1
2(
9
x - x) (0< x<3) .
所以,x
5 y = x
5⋅1
2(
9
x - x)= 1
2 (9 x
4- x
6) ，
设f ( x)= 1
2 (9 x
4- x
6) ,则f
'( x)= 1
2 (36 x
3-6 x
5)=-3 x
3( x - ❑√6)( x + ❑√6) ,
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0< x<❑√6 时,f
'( x)>0;❑√6< x <3 时,f
'( x)<0 .
所以,f ( x) 在区间(0,❑√6] 上单调递增，在区间[ ❑√6,3) 上单调递减
所以，x = ❑√6 时，f ( x) 有最大值f (❑√6)=54 .
因此,x = ❑√6, y =
❑√6
4
时，x
5 y 取最大值54.
所以，x
5 y 的最大值为54.
3．【2021 年浙江预赛】设直角坐标平面上两个区域为M ={( x , y )∈R
2∣0≤y ≤min(2 x ,3- x)} ,
N ={( x , y )∈R
2∣t ≤x ≤t +2} ,记M 与N 的公共部分面积为f (t ) 。当0≤t ≤1 时，则
f (t ) 的表达式为
.
【答案】f (t )=- 3
2 t
2+t + 5
2
【解析】由图可知 f (t )=3-t
2- 1
2 (1-t )
2=- 3
2 t
2+t + 5
2
.
4．【2021 年广西预赛】已知xy + yz + zx =1 ,其中x,y,z 均为正数,则❑√3 xy +1+ ❑√3 yz +1+ ❑√3 zx +1 的整
数部分为
.
【答案】4
【解析】取x = y = z =
❑√3
3
易得结果，一般的证明可考虑使用幂函平均不等式.
5．【2020 年福建预赛】已知a、b、c、d 为正数,且a+20b=c +20d =2. 则1
a + 1
bcd
的最小值为
.
【答案】441
2
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【解析】由条件知0<cd = 1
20 ⋅c⋅20d ⩽1
20(
c +20d
2 )
2
= 1
20
.
则1
a + 1
bcd ⩾1
a + 20
b = 1
2(
1
a + 20
b )(a+20b)= 1
2(401+ 20b
a + 20a
b )⩾1
2(401+2❑√
20b
a ⋅20a
b )= 441
2 ,
当且仅当c =20d 且20b
a
= 20a
b
,即
a=b= 2
21 ,c =1,d = 1
20
时,上式等号成立.
故1
a + 1
bcd
的最小值为441
2 .
6．【2020 年福建预赛】已知实数m 满足当关于x 的实系数一元二次方程a x
2+bx +c =0 有实根时，
(a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2⩾ma
2 总成立.则m 的最大值为
.
【答案】9
8
【解析】设μ= (a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2
a
2
, 其中,a、b、c 为实数,a≠0.
当方程a x
2+bx +c =0 有实根时,设其两个根为x1, x2 .
由韦达定理知
x1+ x2=- b
a , x1 x2= c
a .
则μ= (a-b)
2+(b-c)
2+(c -a)
2
a
2
=(1- b
a)
2
+(
b
a - c
a)
2
+(
c
a -1)
2
=(1+ x1+ x2)
2+(- x1- x2- x1 x2)
2+(x1 x2-1)
2
=2(x1
2+ x1+1)(x2
2+ x2+1)
⩾2× 3
4 × 3
4 = 9
8 ,
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当且仅当x1= x2=- 1
2
,即a=b= 4 c≠0 时,
上式等号成立.
故μ 的最小值为9
8
.
从而,m 的最大值为9
8
.
7．【2020 年甘肃预赛】设x、y 均为正数.则M =
4 x
x +3 y + 3 y
x
的最小值为
.
【答案】3
【解析】注意到,M =
4 x
x +3 y + x +3 y
x
-1⩾3.
当x =3 y 时,M =3.
8．【2020 年吉林预赛】设x、y 满足约束条件{
x - y -2⩾0,
x -5⩽0,
y +2⩾0.
则z = x
2+ y
2 的最小值与最大值的和为
.
【答案】36
【解析】由约束条件作出可行域,如图1,即△ABC 内部及其边界,其中,A(5,3),B(5,-2) ,C(0,-2) .
注意到,x
2+ y
2 的几何意义是点P( x , y) 到坐标原点距离的平方, 于是,x
2+ y
2 的最大值为
A O
2=25+9=34.
而x
2+ y
2 的最小值为:原点到直线x - y - 2=0 距离的平方,即
PO
2=( 2
❑√2 )
2
=2 .
故所求为34 +2=36 .
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9．【2020 年四川预赛】已知正实数x、y 满足
1
x +3 y +
1
2 x + y =1 .则x + y 的最小值为
.
【答案】3+2❑√2
5
【解析】由1=
1
x +3 y +
1
2 x + y =
1
x +3 y +
2
4 x +2 y
⩾(1+ ❑√2)
2
5( x + y)
⇒x + y ⩾(1+ ❑√2)
2
5
= 3+2❑√2
5
.
当x = 4+ ❑√2
10
, y = 2+3 ❑√2
10
时,可得上式等号成立.
故x + y 的最小值为3+2❑√2
5
.
10．【2020 年重庆预赛】若x、y 为实数,则|2 x + y |,| x - y | 、|1+ y | 这三个数中的最大数的最小值
为
.
【答案】1
2
【解析】max {|2 x + y |,| x - y |,|1+ y |}
⩾1
6 (|2 x + y |+2| x - y |+3|1+ y |)
⩾1
6 |(2 x + y)-2( x - y)-3(1+ y)|
= 1
2
,
当且仅当x =0, y =- 1
2
时,上式取到最小值.
11．【2020 年新疆预赛】不等式1+2
x<3
x 的解集为
.
【答案】(1,+∞)
【解析】即( 1
3 )
x
+( 2
3 )
x
<1 ,令f ( x)=( 1
3 )
x
+( 2
3 )
x
,则f ( x) 在(-∞,+∞) 上为减涵数,且f (1)=1 ,所以解集
为(1,+∞) .
12．【2019 年江苏预赛】设a,b∈[1,2]，则a
2+b
2
ab
的最大值是
.
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【答案】5
2
【解析】因为a,b∈[1,2]，所以(2a-b)(a-2b)≤0，展开得a
2+b
2≤5
2 ab，即a
2+b
2
ab
≤5
2
.
且当a=1,b=2，或a=2,b=1时，a
2+b
2
ab
≤5
2
.
所以a
2+b
2
ab
≤5
2
的最大值为5
2.
13．【2019 年江西预赛】a,b,c 是互异正整数,使得{a+b,b+c ,c +a}={n
2,(n+1)
2,(n+2)
2},其中n 为正整
数,则a
2+b
2+c
2的最小值是
.
【答案】1297
【解析】设a>b>c,由于(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)为偶数,所以三个连续平方数{n
2,(n+1)
2,(n+2)
2}中有
两个奇平方数,一个偶平方数,于是n 为奇数,而b+c>1，则n>1;
若n=3,则{n
2,(n+1)
2,(n+2)
2}={3
2,4
2,5
2},且因50=3
2+ 4
2+5
2=2(a+b+c).则a+b+c=25,
另一方面,最大平方数a+b=5
2,导致c=0,不合题意;
若n=5,据{n
2,(n+1)
2,(n+2)
2}={5
2,6
2,7
2},得a=30,b=19,c=6,因此a
2+b
2+c
2=30
2+19
2+6
2=1297.
14．【2019 年内蒙古预赛】函数f ( x)=
❑√16+6 x - x
2+
❑√36 x -68- x
2的最大值为
.
【答案】6 ❑√6
【解析】f ( x)= ❑√( x +2)(8- x)+ ❑√( x -2)(34 - x),定义域[2,8].
由柯西不等式得:f ( x)≤❑√( x +2)+(34 - x)❑√(8- x)+( x -2)=6 ❑√6.
当x -2
8- x = 34 - x
x +2
,即x = 46
7
时,等号成立.
15．【2019 年上海预赛】若直线ax-by+2=0(a、b>0)与函数y =c
x +2+2(c>0,c≠1)的图像均恒过同一个定
点,则1
a + 1
b
的最小值为
.
【答案】5
2 + ❑√6
【解析】显然,函数y =c
x +2+2的图像恒过点(-2,3).
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据题目条件有：
-2a-3b+2=0
⇒b= 2-2a
3
(0<a<1)
⇒1
a + 1
b = 1
a +
3
2-2a
由(a+(1-a))(
1
a +
3
2-2a)⩾(1+ ❑√
3
2 )
2
= 5+2❑√6
2
⇒1
a + 1
b = 1
a +
3
2-2a ⩾5
2 + ❑√6.
故其最小值为5
2 + ❑√6.
16．【2019 年上海预赛】已知x、y∈[0,+∞).则x
3+ y
3-5 xy的最小值为
.
【答案】- 125
27
【解析】设x+y=t
由于x
3+ y
3⩾x
2 y + x y
2,于是,x
3+ y
3⩾1
4 ( x + y)
3.
又(x+y)2≥4xy,故x
3+ y
3-5 xy ⩾1
4 ( x + y)
3- 5
4 ( x + y)
2= 1
4 (t
3-5t
2).
令f(t)=t3-5t2,则f
'(t )=3t
2-10t.
再令f
'(t )=0,可求得t=0 或10
3
.
由于x、y∈[0,+∞),于是,不难分析出当t = 10
3
时,f(t)取到最小值- 125
27
.
故当x=y=5
3
时,原式最小值为- 125
27
.
17．【2019 年新疆预赛】已知x , y , z是正数且满足¿，则x + y + z + xy =
.
【答案】15
【解析】由x + y + xy =8知x + y + xy +1=9即(1+ x)(1+ y)=9.
(1)
同理可得¿.
(2)
结合(1)和(2)可得(1+ x)(1+ y)(1+ z)=3×4×6.
(3)
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由(1)和(3)可知z =7.同理可得x = 7
2
和y =1.从而x + y + z + xy =15.
18．【2019 年北京预赛】整数a,b,c满足a+b+c =2,且S =(2a+bc)(2b+ca)(2c +ab)>200,那么S的最小
值是
.
【答案】256
【解析】因为a+b+c =2,所以
S =(bc -2b-2c + 4)(ca-2c -2a+ 4)(ab-2a-2b+ 4)
=[(b-2)(c -2)]⋅[(c -2)(a-2)]⋅[(a-2)(b-2)]
=(a-2)
2(b-2)
2(c -2)
2是个平方数.
因为a+b+c =2,a,b,c是整数, 所以a,b,c中至少有一个是偶数, 因此S为偶数, 且已知S>200, 所以
S≥16
2=256.而当a= 4 ,b=0,c =-2时,S =256.所以S的的最小值为256.
19．【2019 年广西预赛】已知yz≠0,且集合{2x,3z,xy}也可以表示为{y,2x2,3xz},则x=
.
【答案】1
【解析】显然x≠0
①2 x = y ⇒¿,不符合;
②2 x =2 x
2⇒x =1⇒¿,符合
③2 x =3 xz⇒z = 2
3 ⇒¿不符合;
或¿,不符合
综上,可知x=1.
20．【2019 年广西预赛】设函数y( x)=(❑√1+ x + ❑√1- x +2)(
❑√1- x
2+1)( x∈[0,1]),则y(x)的最小值为
.
【答案】2+ ❑√2
【解析】记a= ❑√1+ x ,b= ❑√1- x⇒¿
⇒2=a
2+b
2⩽(a+b)
2⇒a+b⩾❑√2
原式=(a+b+2)(ab+1)= (a+b+2)(a+b)
2
2
⩾2+ ❑√2
当a= ❑√2,b=0,即x=1 时,取到等号
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21．【2019 年贵州预赛】平面区域S ={( x , y)| x , y ∈[0, π
2],sin
2 x -sin x⋅sin y +sin
2 y ⩽3
4}
的面积
为
.
【答案】π
2
6
【解析】由于2(sin
2 x -sin x ⋅sin y +sin
2 y)
=2-2cos( x + y)⋅cos( x - y)+cos( x + y)cos( x - y)
= 3
2 -2[cos( x + y)+ 1
2]⋅[cos( x - y)- 1
2]≤3
2
⇒[cos( x + y)+ 1
2]⋅[cos( x - y)- 1
2]≥0
¿或¿.
由x , y ∈[0, π
2]
,得0≤x + y ≤π ,- π
2 ≤x - y ≤π
2
.
所以¿,或¿
画出(x,y)的可行域(图中阴影部分),从而求得平面区域的面积为π
2
6
.
22．【2018 年江苏预赛】设函数f ( x)= 1- 4
x
2
x
- x，则不等式f (1- x
2)+ f (5 x -7)<0的解集为________.
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【答案】(2,3)
【解析】
因为f (- x)= 1- 4
- x
2
- x
+ x = 4
x -1
2
x
+ x =- f ( x)，所以f ( x)是奇函数。
f ( x)= 1- 4
x
2
x
- x =( 1
2 )
x
-2
x - x，由于y =( 1
2 )
x
, y =-2
x , y =- x都是定义域上的减函数，
所以函数f(x)是R 上的减函数，（减函数+减函数=减函数）.
由f (1- x
2)+ f (5 x -7)<0，得f (5 x -7)<f ( x
2-1)，所以5 x -7> x
2-1. 即x
2-5 x +6<0，解之得：
2< x<3.
故答案为：(2,3)
23．【2018 年贵州预赛】若实数a 使得不等式|x -2a|+|2 x -a|≥a
2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值
范围是_______．
【答案】[- 3
2 ，3
2]
【解析】
设x=ka（k∈R），则|ka-2a|+|2ka-a|≥a
2，
即对∀k ∈R，恒有
|k -2|+|2k -1|≥|a|⇔|k -2|+|2k -1|sin≥|a|，而|k -2|+|2k -1|min= 3
2
，所以
|a|≤3
2 ⇔a∈[- 3
2 ，3
2]
．
故答案为：[- 3
2 ，3
2]
24．【2018 年浙江预赛】设f ( x)=|x +1|+|x|-|x -2|，则f (f ( x))+1=0有________个不同的解.
【答案】3
【解析】
因为f ( x)=|x +1|+|x|-|x -2|=¿
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由f (f ( x))+1=0得到f ( x)=2，或f ( x)=0.
由f ( x)=-2，得一个解x =-1；由f ( x)=0得两个解x =-3，x = 1
3
，共3 个解.
25 ．【2018 年北京预赛】已知正整数x , y , z满足xyz =(22- x)(22- y)(22- z)，且
x + y + z<44 , x
2+ y
2+ z
2的最大值和最小值分别记作M 和N，则M + N =_______.
【答案】926
【解析】
由已知可知x , y , z均为小于22 的正整数，由题设等式得
2 xyz =22
3-22
2(x + y + z)+22(xy + yz+ zx)，
从而11¿，所以x , y , z中至少有一个数等于11.
不妨设x =11，由题设等式得y + z =22，由于y , z都是正整数，又
y
2+ z
2= ( y + z)
2+( y - z)
2
2
= 22
2+( y - z)
2
2
=242+ 1
2
( y - z)
2，
易知，当y = z =11时，y
2+ z
2取最小值242，此时N =11
2+242=363.
当|y - z|=|21-1|=20时，y
2+ z
2取最大值，此时M =11
2+21
2+1
2=563.
所以M + N =563+363=926.
26．【2018 年重庆预赛】已知复数z 的模为1，则| z - 4|
2+| z +3i|
2的最小值为________．
【答案】17
【解析】
解：在复平面内，设A(4,0)、B(0,-3)，P 为单位圆上的点，
问题转化为求| PA |
2+| PB|
2的最小值，设P(cosα ,sin α )，其中α ∈R
| PA |
2+| PB|
2=(cosα - 4)
2+sin
2α +cos
2α +(sin α +3)
2=27+6sin α -8cosα
=27+10sin(α +φ)≥17
由于α ∈R，必存在α 使sin(α +φ)=-1，即等号可以取到.
故答案为：17
27．【2018 年陕西预赛】设n是正整数，当n>100时，❑√n
2+3n+1
的小数部分的前两位数是________.
【答案】49
【解析】
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一方面，当n>100 时，有
0<n+ 3
2 -
❑√n
2+3n+1=(n+ 3
2)
2
-(n
2+3n+1)
n+ 3
2 +
❑√n
2+3n+1
<
5
4
n < 1
n < 1
100 =0.01，
所以❑√n
2+3n+1>(n+1)+0.49，
另一方面，
❑√n
2+3n+1<n+ 3
2 =(n+1)+0.5.
故当n>100 时，❑√n
2+3n+1
的小数部分的前两位数是49.
28．【2018 年湖南预赛】若不等式❑√x>ax + 3
2 (4 ,b)的解集是（4，b），则实数a=_____，b=_____.
【答案】1
8
36
【解析】
解法一： 设❑√x =t，则x =t
2，且t ∈(2,❑√b)，则不等式at
2-t + 3
2 <0的解集为(2,❑√b)，
所以2、❑√b是方程at
2-t + 3
2 =0的两根，即
¿
解得a= 1
8
，b=36.
解法二： 设y1= ❑√x，y2=ax + 3
2
，由不等式❑√x>ax + 3
2
的解集是（4，b），可得两函数
y1= ❑√x，y2=ax + 3
2
在同一坐标系中的图象.
设两函数图象的交点为A、B，则A(4,2)、B(b,❑√b)，所以
2= 4 a+ 3
2 ，❑√b=ab+ 3
2
.
解得a= 1
8
，b=36.
故答案为：(1). 1
8
(2). 36
29．【2018 年湖南预赛】设实数a、b 满足不等式||a|-(a+b)|<|a-|a+b||，则a、b 的正、负符号
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分别为_____.
【答案】a 负,b 正
【解析】
由已知得
[|a|-(a+b)]
2<(a-|a+b|)
2
⇒a
2-2|a|⋅(a+b)+(a+b)
2<a
2-2a|a+b|+(a+b)
2
⇒a
2⋅|a+b|<|a|⋅(a+b)
.
由于| x|≥x，因此得a<0⇒-(-a)⋅|a+b|<[|a|⋅(a+b)，
约去-a 的-|a+b|<a+b.
所以a+b>0⇒b>-a>0，a 为负数且b 为正数.
故答案为：a 负,b 正
30．【2018 年广东预赛】已知点A（1，1），B（1
2 ,0），C（3
2 ,0）经过点A、B 的直线和经过点A、C
的直线与直线y =a(0<a<1)所围成的平面区域为G.已知平面矩形区域¿中任意一点进入区域G 的可能性为
1
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，则a=__________.
【答案】1
2
【解析】
直线AB 方程为y =2 x -1，直线AC 方程为y =-2 x +3，直线y =a与它们的交点为
D（1-a
2
,a），E（3-a
2
,a）.G 的面积等于三角形ADE 的面积(1-a)
2
2
，因此(1-a)
2
4
= 1
16
，解之得a= 1
2
.
故答案为：1
2
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