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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题35 不等式第四缉
1．【2015 年山东预赛】已知x、y ∈[0,+ ∞)且满足x
3+ y
3+3 xy =1.则x
2 y的最大值为______
【答案】4
27
【解析】
由已知得x
3+3 xy + y
3-1=(x + y -1)(x
2+ y
2- xy + x + y +1)=0.
又x
2+ y
2- xy + x + y +1≥xy + x + y +1>0，
⇒x + y =1.
故
x
2 y = 4× x
2 × x
2
(1- x)≤4[
x
2 + x
2 +(1- x)
3
]
3
= 4
27
.
当x = 2
3 , y = 1
3
时, x
2 y取得最大值4
27
.
2．【2015 年江西预赛】满足❑√1- x
2≥x
的实数x的取值范围是_____________。
【答案】[-1,
❑√2
2 ]
【解析】
令y =
❑√1- x
2，此为单位圆的上半圆，
其与直线y = x交于点(
1
❑√2 , 1
❑√2)
，半圆位于交点左侧的图像均在直线y = x上方.
因此，x∈[-1,
❑√2
2 ]
.
3．【2015 年江西预赛】若实数x、y 、z≥0，且x + y + z =30，3 x + y - z =50，则T =5 x + 4 y +2 z的
取值范围是__________。
【答案】[120,130]
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【解析】
注意到，T =5 x + 4 y +2 z =(x + y + z)+(4 x +3 y + z)=30+(4 x +3 y + z).
由4 x +2 y =(x + y + z)+(3 x + y - z)=80⇒T =110+( y + z).
又20=(3 x + y - z)-(x + y + z)=2(x - z)，则x - z =10.
因为x、z≥0，所以，x ≥10.
故由x + y + z =30，知y + z≤20.
于是，T =110+( y + z)≤130（当z =0，x =10，y =20时取等号）.
再由4 x +2 y =80，y ≥0，知x ≤20.
从而，y + z =30- x ≥10.
于是，T =110+( y + z) x ≥120（当x =20，y =0，z =10时取等号）.
因此，120≤T ≤130.
4．【2015 年江苏预赛】设实数
满足
，且
，则
的最大值为________.
【答案】
【解析】
试题分析：由0≤a,b≤8 ，且b2=16+a2 ，即b2−a2=16 ，也就是
b2
16 −a2
16 ==1
.分别以
，
轴为
横轴和纵轴，那么方程所表示的曲线为焦点在纵轴上的双曲线位于第一象限的部分双曲线弧，（包括纵轴
上的点），令b−a=z ,则b=a+z .由线性规划知识可知，当经过点(0,4)时，zmax=4−0=4 ，
∴(b−a)max=4 .
考点：双曲线方程，线性规划的综合使用．
【方法点晴】本题主要考查的是解析几何中双曲线的方程，特别是由限制条件下得出图形为双曲线的一部
分而不是整个双曲线．设b−a 为一个整体，巧妙得转化到线性规划的方法利用平行线与双曲线弧的位置
关系来确定最大值，也可以用换元的方法来完成该题.在画图时要注意图形的准确性，不同直线的倾斜程度
要表达出来．
5．【2015 年河南预赛】已知正实数
满足
，则
的最小值为___________．
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【答案】
【解析】
试题分析: 因为
,故应填答案
.
考点：基本不等式及灵活运用．
【易错点晴】基本不等式是高中数学中的重要内容和解答数学问题的重要工具之一.本题设置的目的是考查
基本不等式的灵活运用和灵活运用所学知识去分析问题解决问题的能力.求解时先将已知变形为
= 1
14 [(a+1)+3(2+b)]( 1
1+a + 4
2+b )= 1
14 [13+ 3(2+b)
a+1
+ 4(a+1)
2+b
]≥13+4√3
13
,然后再运
用基本不等式最后达到获解之目的.
6．【2015 年甘肃预赛】已知a、b 为两个互相垂直的单位向量,且c⋅a=c⋅b=1.则对任意的正实数t,
|c +ta+ 1
t b|
的最小值为______.
【答案】2❑√2
【解析】
设c = λa+ μb.则：
c⋅a= λ|a|
2+ μa⋅b= λ =1
,
c⋅b= λa⋅b+u|b|
2= μ=1.
于是,c =a+b
故c
2=(a+b)
2=a
2+b
2+2a⋅b=2.
又|c +ta+ 1
t b|
2
=(c +ta+ 1
t b)
2
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=c
2+t
2a
2+ 1
t
2 b
2+2tc⋅a+ 2
t c⋅b+2ta⋅1
t b
=2+t
2+ 1
t
2 +2t + 2
t =(t + 1
t +1)
2
-1
≥(2+1)
2-1=8(t >0),
从而,|c +ta+ 1
t b|≥2❑√2,当t =1时,以上各式等号成立.
因此,所求最小值为2❑√2.
7．【2015 年甘肃预赛】设x、y为正实数,且x+y=1.则x
2
x +2 +
y
2
y +1
的最小值为______.
【答案】1
4
【解析】
由柯西不等式得x
2
x +2 +
y
2
y +1 ≥
(x + y)
2
x +2+ y +1 = 1
4
，
当且仅当
x
2
x +2
x +2 =
y
2
y +1
y +1 ⇔x =2 y，即y = 1
3 , x = 2
3时,等号成立.
8．【2015 年福建预赛】已知实数x、y 、z满足x
2+2 y
2+3 z
2=24.则x +2 y +3 z的最小值为__________.
【答案】-12
【解析】
由
柯
西
不
等
式
知
(x +2 y +3 z)
2=(1× x + ❑√2×❑√2 y + ❑√3×❑√3 z)
2≤[1
2+(❑√2)
2+(❑√3)
2](x
2+2 y
2+3 z
2)=144.
于是，x +2 y +3 z≥-12，当且仅当x = y = z =-2时等号成立.
故x +2 y +3 z的最小值为-12.
9．【2021 年吉林预赛】设实数x,y 满足不等式组¿ ,则z = x +2 y - 1
x
的最大值为(
)
A.77
6
B.56
15
C.23
6
D.4
【答案】D
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【解析】z = x +2 y - 1
x =2( x + y)-(x + 1
x)⩽2×3-(x + 1
x)⩽2×3-2= 4
当且仅当¿ 时,等号成立.
选D.
10．【2021 年吉林预赛】方程组¿ 的解的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】C
【解析】由题意得:¿ 或¿ ，
有三组解(1,1),(1,-1),(
❑√6
2 ,1-
❑√6
2 )
.
选C.
11．【2019 年吉林预赛】若x、y 满足| y |⩽2- x,且x ≥-1,则2x+y 的最小值为( )
A.-7
B.-5
C.1
D.4
【答案】B
【解析】原题条件等价于:¿,做出可行域,可知2x+y 在x=-1,y=-3 时取得最小值-5.
12．【2018 年吉林预赛】已知实数a,b满足a>0,b>0,a≠1,b≠1，且x =a
lgb, y =b
lga, z =a
lga,w =b
lgb，
则（ ）。
A．存在实数a,b，使得x> y > z>w B．存在a≠b，使得x = y = z = w
C．任意符合条件的实数a,b都有x = y D．x , y , z ,w中至少有两个大于1
【答案】CD
【解析】
因为lg x =lga
lgb=lgblga,lg y =lgalgb，所以lg x =lg y，从而对任意符合条件的实数a,b都有x = y，所
以选项A 不正确，选项C 正确；又若x = z，即a
lgb=a
lga，从而lgb=lga，所以b=a，所以选项B 不正确；
当a,b都属于区间(1,+∞)或者都属于区间(0,1)时，x , y , z ,w都大于1，当a,b分属于区间(1,+∞)和(0,1)
时，不妨设a∈(1,+∞)，b∈(0,1)，则x，y ∈(0,1), z ,w ∈(1,+∞)，所以选项D 正确.
13．【2018 年吉林预赛】设x>0，y >0，z>0，满足x + y = xy ，x + y + z = xyz，则z 的取值范围是（
）
A．(0,❑√3]
B．(1,❑√3]
C．(0, 4
3]
D．(1, 4
3]
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【答案】D
【解析】
由已知y =
x
x -1，所以z = x + y
xy -1 =
x +
x
x -1
x
2
x -1 -1
=
x
2
x
2- x +1
=
1
1- 1
x + 1
x
2
.
因为x＞1，即0< 1
x <1，所以3
4 ≤1- 1
x + 1
x
2 <1，故1< z≤4
3 .
故答案为：D
14．【2017 年天津预赛】实数a,b满足|a|≤1,|a+b|≤1,则(a+1)(b+1)的取值范围是(
)
(A)[0, 9
4]
(B)[-2, 9
4]
(C)[0,2]
(D)[-2,2]
【答案】B
【解析】提示：令t =a+b,则|t|≤1,且(a+1)(b+1)=(a+1)(t -a+1)是关于t的一次函数,其一次项系数
a+1≥0,因此其最大值、最小值分别在t =1和t =-1时取到.
当t =1时,原式成为(a+1)(2-a),其最大值在a= 1
2
时取得,等于9
4
.
当t =-1时,原式成为(a+1)(-a),其最小值在a=1时取得,等于-2.
因此,所求的取值范围是[-2, 9
4]
,故选B.
15．【2017 年辽宁预赛】已知正数a,b,c ,d满足a+2b=1,c +2d =1,则1
a + 1
bcd
的最小值为(
)
(A) 1
16
(B)8
(C)1
5
(D)25
【答案】D
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【解析】提示：由平均值不等式及题设条件知2cd ≤(
c +2d
2 )
2
= 1
4
,
即cd ≤1
8 ,
①
当且仅当c = 1
2 ,d = 1
4
时取等号.
由①可得1
a + 1
bcd ≥1
a + 8
b ,
②
又由条件和柯西不等式可得1
a + 8
b =(
1
a + 8
b)(a+2b)≥(1+ 4)
2=25,
③
当且仅当b=2a时取等号,
结合条件便知此时a= 1
5 ,b= 2
5
.
由②③得1
a + 1
bcd ≥25.当a= 1
5 ,b= 2
5 ,c = 1
2 ,d = 1
4
时,1
a + 1
bcd
取最小值25.
16．【2017 年陕西预赛】设x ≥y >0,若存在实数a、b满足0≤a≤x ,0≤b≤y,且
(x -a)
2+( y -b)
2= x
2+b
2= y
2+a
2.则x
v
的最大值为(
)
(A)2❑√3
3
(B)❑√2
(C)
❑√6
2
(D)1
【答案】A
【解析】提示：如图,在直角坐标系xOy中,作矩形OABC,使A (x ,0),B (x , y),C(0,y).
在边OA 、AB上分别取点P ,Q,使P(a,,0)、Q (x , y -b),
则由(x -a)
2+( y -b)
2= x
2+b
2= y
2+a
2,得|PQ|=|QC|=|CP|,即△CPQ为正三角形.
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设∠OCP =θ(0≤θ≤π
6)
,则∠BCQ = π
6 -θ.
所以x
y =|BC|
|OC|=|BC|
|CQ|⋅|CP|
|OC|=
cos(θ - π
6)
cosθ
=
❑√3
2 cosθ+ 1
2 sinθ
cosθ
=
❑√3
2 + 1
2 tanθ≤
❑√3
2 + 1
2 tan π
6 = 2❑√3
3
，
当且仅当θ = π
6
时,上式等号成立.
故x
y 的最大值为2❑√3
3
.
17．【2017 年黑龙江预赛】如果实数x , y满足{
x - 4 y +3≤0,
3 x +5 y -25≤0,目
x ≥1,
标函数z =kx + y的最大值为12,最小值
为3,那么实数k的值为(
)
(A)2
(B)-2
(C)1
5
(D)不存在
【答案】A
【解析】提示:由直线方程联立方程组易得A(1, 22
5 ),B (1,1),C (5,2),
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将k =2代入,过B的截距Z =3,过C的截距Z =12,符合题意,故k =2.
18．【2016 年陕西预赛】在平面直角坐标系中，不等式组{
❑√3 x - y ≤0,
x - ❑√3 y +2≥0,
y ≥0
表示的平面区域的面积是
A．
❑√3
2
B．❑√3 C．2 D．2❑√3
【答案】B
【解析】由不等式组绘制可行域如图所示，则A(-2,0),B(1,❑√3) ，
不等式组表示的平面区域的面积是S = 1
2 ×2×❑√3= ❑√3 .
本题选择B 选项.
19．【2016 年陕西预赛】设非负实数a、b、c 满足ab+be+ca=a+b+c>0.则❑√ab+ ❑√bc + ❑√ca的最小值为（
）.
A．2 B．3 C．❑√3 D．2❑√2
【答案】A
【解析】
不
妨
设
a≥b≥c.
由
均
值
不
等
式
得
(a+b+c)(❑√ab+ ❑√bc + ❑√ca)≥(a+b)❑√ab+(b+c)❑√bc +(c +a)❑√ca≥2❑√ab ❑√ab+2❑√bc ❑√bc +2❑√ca ❑√ca=2(ab
当且仅当c=0 且a=b 时，上式等号成立.
又ab+bc+ca=a+b+c>0，则❑√ab+ ❑√bc + ❑√ca≥2.
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由c=0，a=b，ab+bc+ca=a+b+c，得a=b=2.
故当a、b、c 中有两个为2、一个为0 时，❑√ab+ ❑√bc + ❑√ca取得最小值为2. 选A.
20．【2016 年天津预赛】设0<a<b.已知a、s、t 、b依次成等差数列, a、u、v 、b依次成等比数列
记x = st (s+t ), y =uv (u+ v).则( )
A．x> y B．x = y C．x< y
D．既有x> y的情形,也有x< y的情形
【答案】A
【解析】
设公比q>1.则
b=aq
3,u=aq ,v =aq
2,
s= 2a+b
3
= (2+q
3)a
3
,
t = a+2b
3
= (1+2q
3)a
3
.
由a(1+q
3)-a(q+q
2)=a(q -1)(q
2-1)>0，
⇒s+t =a+b>u+ v，
由(2+2q
3)a
3
⋅(1+2q
3)a
3
-q
3a
2
= 2a
2(q
3-1)
9
>0
.
故st (s+t )>uv (u+ v)⇒x> y.
21．【2016 年浙江预赛】已知a、b∈R，函数f (x)=ax -b。若对于任意的x∈[-1,1]，有0≤f (x)≤1，
则3a+b+1
a+2b-2
的取值范围是（ ）。
A．[- 1
2 ,0]
B．[- 4
5 ,0]
C．[- 1
2 , 2
7]
D．[- 4
5 , 2
7]
【答案】D
【解析】
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由
题
意
得
¿.
令
u=a+b，v =a-b.
则
a= u+ v
2
，b= u- v
2
.
故
3a+b+1
a+2b-2 = 4u+2v +2
3u- v - 4 =-2+
10
3-(
5 v -11
5u-3 )
⇒- 4
5 ≤3a+b+1
a+2b-2 ≤2
7 .
22．【2015 年浙江预赛】若实数a、b满足¿的最大值为（ ）.
A．1 B．5
4
C．7
5
D．2
【答案】C
【解析】
由a、b满足的条件知1≤b
a ≤3.
故a+2b
2a+b = 1
2 +
3
2
2+ b
a
≤7
5
.
当(a,b)=(
1
2 , 3
2)
时，上式等号成立.
23．【2015 年湖南预赛】使关于x的不等式❑√x -3+ ❑√6- x ≥k有解的实数k的最大值为（ ）.
A．❑√6- ❑√3 B．❑√3 C．❑√6+ ❑√3 D．❑√6
【答案】D
【解析】
令y = ❑√x -3+ ❑√6- x (3< x<6).则y
2≤2[(x -3)+(6- x)]=6
⇒0< y ≤❑√6.从而，实数k的最大值为❑√6.
24．【2015 年黑龙江预赛】设变量x、y满足约束条件¿目标函数z =abx + y （a、b均大于0）的最大值
为8.则a+b的最小值为（）。
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】
通过作图，知在点（1,4）处：Zmax =ab+ 4 =8⇒ab= 4.
又a＞0，b＞0，故a+b≥2❑√ab= 4.
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25．【2015 年黑龙江预赛】设 a>0，b>0.则下面不等式中不恒成立的是（）。
A．
2
1
a + 1
b
≥❑√ab B．1
a + 1
b ≥
4
a+b
C．❑√|a-b|≥❑√a- ❑√b D．a
2+b
2+1＞a+b
【答案】A
【解析】
由
1
a + 1
b ≥2❑√
1
ab ⇒
2
1
a + 1
b
≤❑√ab.故选项A 不恒成立.
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