关注微信公众号：加油高三
专题七不等式
第二十一讲不等式的综合应用
答案部分
2019
年
1.解析
解析
解析
解析
解析
0
x
，
0
y
，
2
5
x
y
+
=
，
则
(
)(
)
1 2
1
2
2
1
2
6
6
2
x
y
xy
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
xy
+
+
+
+
+
+
=
=
=
+
；
由基本不等式，
6
6
2
2 2
4 3
xy
xy
xy
xy
+
=
…
（当且仅当
6
2 xy
xy
=
时，即
3
xy =
，且
2
5
x
y
+
=
时，即
3
1
x
y
=
=
或
2
3
2
x
y
=
=
时，等号成立）.
故
(
)(
)
1 2
1
x
y
xy
+
+
的最小值为4 3.
2010-2018
年
1．D【解析】点(2,1)在直线
1
x
y
−
= 上，
4
ax
y
+
=
表示过定点(0,4)，斜率为a
−
的直线，
当
0
a
时，
2
x
ay
−
=
表示过定点(2,0)，斜率为1
a
的直线，不等式
2
x
ay
−
≤
表示
的区域包含原点，不等式
4
ax
y
+
表示的区域不包含原点．直线
4
ax
y
+
=
与直线
2
x
ay
−
=
互相垂直，显然当直线
4
ax
y
+
=
的斜率
0
a
−
时，不等式
4
ax
y
+
表示
的区域不包含点(2,1)
，故排除
；点
A
(2,1)与点(0,4)连线的斜率为
3
2
−
，
当
3
2
a
−−
，即
3
2
a
时，
4
ax
y
+
表示的区域包含点(2,1) ，此时
2
x
ay
−
表示
的区域也包含点(2,1)
，故排除B；当直线
4
ax
y
+
=
的斜率
3
2
a
−= −
，即
3
2
a =
时，
4
ax
y
+
表示的区域不包含点(2,1)
，故排除C，故选
．
D
关注微信公众号：加油高三
解法二 若
(2,1)
A
，则
2
1
4
2
2
a
a
+
−
≤
，解得
3
2
a
，所以当且仅当
3
2
a ≤
时，
(2,1)
A
．故选
．
D
2．A【解析】解法一 函数
( )
f x 的图象如图所示，当
|
|
2
x
y
a
=
+
的图象经过点(0,2)时，可
知
2
a =
．当
2
x
y
a
=
+
的图象与
2
y
x
x
=
+
的图象相切时，由
2
2
x
a
x
x
+
=
+
，得
2
2
4
0
x
ax
−
+
=
，由
0
=
，并结合图象可得
2
a =
，要使
( )
|
|
2
x
f x
a
+
≥
恒成立，当
0
a≤
时，需满足
2
a
−≤
，即
2
0
a
− ≤≤
，当
0
a
时，需满足
2
a ≤
，所以
2
2
a
− ≤≤
．
x
y
–1
–2
–3
–4
1
2
3
4
–1
1
2
3
4
5
6
O
解法二由题意
0
x =
时，
( )
f x
的最小值，所以不等式
2
( )
|
|
2
x
f x
a
+
≥
等价于
|
|
2
2
x
a
+
≤
在R 上恒成立．
当
2 3
a =
时，令
0
x =
，得
|
2 3 | 2
2
x +
，不符合题意，排除
、；
C
D
当
2 3
a = −
时，令
0
x =
，得
|
2 3 | 2
2
x −
，不符合题意，排除
；
B
选
．
A
3．C 【解析】若{
}
na
是递减的等差数列，则选项,
A B 都不一定正确．若{
}
na
为公差为0
的等差数列，则选项
不正确．对于
选项，由条件可知
D
C
{
}
na
为公差不为
的正确
0
数列，由等差中项的性质得
1
3
2
2
a
a
a
+
=
，由基本不等式得
1
3
1
3
2
a
a
a a
+
>
，所以C
正确．
4
B
．【解析】∵ 0
a
b
<
<
，∴
2
a
b
ab
+
>
，又
( )
ln
f x
x
=
在
(0,
)
+?
上单调递增，
故
(
)
(
)
2
a b
f
ab
f
+
<
，即q
p
>
，
关注微信公众号：加油高三
∵
1
1
( ( )
( ))
(ln
ln )
ln
(
)
2
2
r
f a
f b
a
b
ab
f
ab
p
=
+
=
+
=
=
=
，
∴
p
r
q
= <
．
5
D
．【解析】由已知得
3
4
a
b
ab
+
=
，且
0
ab
，可知
0,
0
a
b
，
所以4
3
1
a
b
+
=
(
0,
0
a
b
)，
4
3
4
3
(
)(
)
7
7
4 3
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
+
=
+
+
=
+
+
+
≥
．
当且仅当4
3
b
a
a
b
=
时取等号．
6
D
．【解析】本题考查的是均值不等式．因为
y
x
y
x
2
2
2
2
2
1
+
=
，即
2
2
2
−
+
y
x
，
所以
2
−
+ y
x
，当且仅当
y
x
2
2 =
，即
y
x =
时取等号．
7
B
．【解析】由
2
2
3
4
0
x
xy
y
z
−
+
−
=
，得
2
2
3
4
z
x
xy
y
=
−
+
．
所以
2
2
1
4
3
4
3
xy
xy
x
y
z
x
xy
y
y
x
=
=
−
+
+
−
1
1
4
2
3
x
y
y
x
=
−
，当且仅当
4
x
y
y
x
=
，
即
2
x
y
=
时取等号此时
2
2y
z =
，
1
)
(
max =
z
xy
.
xy
y
y
z
y
x
2
1
2
2
2
1
2
−
+
=
−
+
)
2
1
1(
2
)
1
1(
2
y
y
x
y
−
=
−
=
1
)
2
2
1
1
2
1
(
4
2 =
−
+
y
y
，
故选B.
8
C
．【解析】由
2
2
3
4
0
x
xy
y
z
−
+
−
=
得
2
2
4
3
x
y
xy
z
+
−
=
，
2
2
2
2
2
4
4
4
3
3
3
1
x
y
z
x
y
xy
xy
xy
xy
xy
+
=
−
−=
−
= ，
当且仅当
2
2
4
x
y
=
即
2
x
y
=
时，z
xy
有最小值1，
将
2
x
y
=
代入原式得
2
2
z
y
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
z
y
y
y
y
y
+
−
=
+
−
= −
+
，
当
1
y =
时有最大值．故选
．
2
C
9
C
．【解析】
3
5
x
y
xy
+
=
，1
3
5
y
x
+
=
，
1
1
3
1 3
12
13
(3
4 ) (
)
(
)
5
5
5
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
=
+
+
1
13
2
36
5
5
5
+
=
.
关注微信公众号：加油高三
10．C【解析】
3
5
x
y
xy
+
=
，1
3
5
y
x
+
=
，
1
1
3
1 3
12
13
(3
4 ) (
)
(
)
5
5
5
x
y
x
y
y
x
y
x
+
+
=
+
+
1
13
2
36
5
5
5
+
=
.
11．【解析】设从甲地到乙地所走路程为
A
S ，
则
2
2
2
2
1
1
2
S
ab
ab
v
ab
S
S
a
b
ab
a
b
a
b
=
=
=
=
+
+
+
．
∵ a
b
,
∴
2
2
2
2
ab
a
v
a
a
b
a
=
=
+
,∴
a
v
ab
．选
．
A
12．B【解析】在同一坐标系中作出y
m
=
， y =
8
2
1
m +
(
0
m
)，
2
log
y
x
=
图像
如下图，
由
2
log x = m，得
1
2
2
,
2
m
m
x
x
−
=
=
，
2
log x =
8
2
1
m +
，得
8
2
1
8
2
1
3
4
2
,
2
m
m
x
x
+
−
+
=
=
．
依题意得
8
2
1
8
2
1
8
2
1
8
2
1
2
2
2
2
,
2
2
,
2
2
m
m
m
m
m
m
m
m
b
a
b
a
+
+
−
−
+
−
−
+
−
=
−
=
−
=
−
8
2
1
8
2
1
2 2
2
m
m
m
m
+
+
+
=
=
．
8
1
4
1
1
1
4
3
1
2
1
2
2
2
2
2
m
m
m
m
+
=
+
+
−
−
=
+
+
，
min
( )
8 2
b
a
=
．
13．B【解】（方法一）已知a
b
和
2
a
b
ab
+
，比较a 与
ab ，
因为
2
2
(
)
(
)
0
a
ab
a a b
−
=
−
，所以 a
ab
，同理由
2
2
(
)
(
)
0
b
ab
b b
a
−
=
−
得
ab
b
；作差法：
0
2
2
a
b
b
a
b
+
−
−
=
，
关注微信公众号：加油高三
所以
2
a
b
b
+
，综上可得
2
a
b
a
ab
b
+
；故选
．
B
（方法二）取
2
a =
，
8
b =
，
则
4
ab =
，
5
2
a
b
+
=
，所以
2
a
b
a
ab
b
+
．
14．D【解析】对于
取
A
1
a
b
=
= ，此时
2
2
2
2
a
b
ab
+
=
=
，因此
不正确；对于
取
A
B
1
a
b
=
= −，此时
2
2
2
a
b
ab
+
= −
=
，因此
不正确；对于
取
B
C
1
a
b
=
= −，
此时
1
1
2
2
2
a
b
ab
+
= −
=
，因此
不正确；对于
，∵
C
D
0
ab
，
∴
0
b
a
，
0
b
a
∴
2
2
b
a
b a
a
b
a b
+
=
≥
，
正确．
D
15．1
4
【解析】由
3
6
0
a
b
−
+
=
，得
3
6
a
b
=
−
，
所以
3
6
3
6
3
3
3
1
1
1
1
2
2
2 2
2 2
8
2
2
4
a
b
b
b
b
b
−
−
−
+
=
+
=
=
≥
，
当且仅当
3
6
3
1
2
2
b
b
−=
，即
1
b = 时等号成立．
16．(1,4) ；
(1,3]
(4,
)
+【解析】若
2
=
，则当
2
x≥
时，令
4
0
x −
，得
2
4
x
≤
；
当
2
x
时，令
2
4
3
0
x
x
−
+
，得1
2
x
．综上可知1
4
x
，所以不等式
( )
0
f x
的解集为(1,4) ．令
4
0
x −
=
，解得
4
x =
；令
2
4
3
0
x
x
−
+ =
，解得
1
x =
或
3
x =
．因
为函数
( )
f x
恰有
个零点，结合函数的图象（图略）可知
2
1
3
≤
或
4
．
17．1 [ ,1]
2
【解析】由题意，
2
2
2
2
2
2
1
1
(1
)
2
2
1
2(
)
2
2
u
x
y
x
x
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
+ =
−
+
，且
[0,1]
x
，又
0
x =
时，
2
2
1
u
x
y
=
+
=
，
1
2
x =
时，
2
2
min
1
2
u
x
y
=
+
=
，当
1
x = 时，
2
2
1
u
x
y
=
+
=
，所以
2
2
x
y
+
取值范围为1 [
,1]
2
．
18．4【解析】
4
4
2
2
4
1
4
1
1
4
4
a
b
a b
ab
ab
ab
ab
+
+
+
=
+
≥
≥
，
当且仅当
2
2
2
a
b
=
，且
1
2
ab =
，即
2
2
2
a =
时取等号．
关注微信公众号：加油高三
19．30【解析】总费用为
600
900
4
6
4(
)
4
2 900
240
x
x
x
x
+
=
+
=
，当且仅当
900
x
x
=
，即
30
x =
时等号成立．
20．
9
(
, ]
2
−
【解析】∵
[1,4]
x
，∴
4
[4,5]
x
x
+
①当
5
a≥时，
4
4
4
( )
2
2
2
2
4
f x
a
x
a
a
x
a
x
a
x
x
x
=
−
−
+
=
−−
−
=
−
≤
，
所以
( )
f x 的最大值
2
4
5
a −
=
，即
9
2
a =
（舍去）
②当
4
a ≤时，
4
4
( )
5
f x
x
a
a
x
x
x
=
+
−
+
=
+
≤，此时命题成立．
③当4
5
a
时，
max
( )
max{| 4
|
,| 5
|
}
f x
a
a
a
a
=
−
+
−
+
，则
| 4
|
| 5
|
| 4
|
5
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
−
+ =
≥
或
| 4
|
| 5
|
| 5
|
5
a
a
a
a
a
a
−
+
−
+
−
+ =
，
解得
9
2
a =
或
9
2
a
，
综上可得，实数a 的取值范围是
9
(
, ]
2
−
．
21．6
3
【解析】由
0
a
b
c
+ + =
得，
a
b
c
= −−
，则
2
2
2
2
(
)
2
a
b
c
b
c
bc
= −−
=
+
+
(
)
2
2
2
2
2
2
2
b
c
b
c
b
c
+
+
+
=
+
≤
，又
2
2
2
1
a
b
c
+
+
=
，所以
2
3
2
a ≤
，
解得
6
6
3
3
a
−
≤≤
，故a 的最大值为
6
3
．
22．－1【解析】设
| 2
|
a
b
+
最大，则必须,a b 同号，
因为
2
2
2
2
4
4
6
3(
)
2
a
b
a
b
ab
c
ab
c
+
+
+
=
+
+
≤
，
故有
2
(2
)
4
a
b
c
+
≤
，
2
2
(
)
2
a
b
c
+
≥
，当且仅当2a
b
=
时取等号，此时
2
c
b
=
，
所以
1
2
4
a
b
c
+
+
=
2
2
4
4
1
1
4(
)
1
1
2
b
b
b
+
=
+
−
−
≥
．
23．－2 【解析】设
2a
b
t
+
=
，则
2a
t
b
= −
，因为
2
2
4
2
4
0
a
ab
b
c
−
+
−
=
，
所以将
2a
t
b
= −代入整理可得
2
2
6
3
0
b
tb
t
c
−
+
−=
①，
由
0
≥解得
8
8
5
5
c
t
c
−
≤≤
，当2a
b
+
取得最大值时，
8
5
t
c
=
，
关注微信公众号：加油高三
代入①式得
10
c
b =
，再由
2a
t
b
= −得
3
2
10
c
a =
，
所以
3
4
5
a
b
c
−
+
=
2 10
4 10
5
5
2 10
c
c
c
c
c
−
+
=
−
2
5
(
2)
2
2
c
=
−
−
−
≥
．
当且仅当
5
2
c =
时等号成立．
24．1900 100【解析】（Ⅰ）
76000
76000
1900
20 6.05
2 121 18
18
F
v
v
=
=
+
+
+
≤
，
当且仅当
11
v =
时等号成立．
（）
Ⅱ
76000
76000
2000
20 5
2 100
18
18
F
v
v
=
=
+
+
+
≤
，当且仅当
10
v =
时等号成立．
2000 1900
100
−
=
．
25．－2【解析】∵
1
|
|
2 |
|
a
a
b
+
=
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
a
b
a
a
b
a
a
b
a
a
b
+
+
=
+
+
|
|
1
3
2
1
1
4 |
|
4 |
|
4|
|
4
4
a
b
a
a
a
a
b
a
+
=
+
−
+ =
≥
≥
当且仅当
|
| ,
0
4 |
|
b
a
a
a
b
=
，即
2,
4
a
b
= −
=
时取等号
故
1
|
|
2 |
|
a
a
b
+
取得最小值时，
2
a = −．
26．36 【解析】因为
0,
0
x
a
，
( )
4
2 4
4
a
a
f x
x
x
a
x
x
=
+
=
，
当且仅当4
a
x
x
=
，即
3
4
a
x =
=
，解得
36
a =
．
27．2 3
3
【解析】∵
2
2
1
x
y
xy
+
+
=
，
∴
2
(
)
1
x
y
xy
+
−
=
，即
2
2
(
)
(
)
1
2
x
y
x
y
+
+
−
≤，
∴
2
4
(
)
3
x
y
+
≤
，
2 3
3
x
y
+
≤
．
28．9【解析】由柯西不等式可知
2
2
2
2
2
1
1
(
)(
4
)
(1
2)
9
x
y
y
x
+
+
+
=
．
关注微信公众号：加油高三
29．①③⑤【解析】令
1
a
b
=
=
，排除②④；由
2
2
1
a
b
ab
ab
=
+
，
命题①正确；
2
2
2
(
)
2
4
2
2
a
b
a
b
ab
ab
+
=
+
−
=
−
，
命题③正确；
1
1
2
2
a
b
a
b
ab
ab
+
+
=
=
，命题⑤
．
正确
