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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题42 平面解析几何第二缉
1．【2018 年湖北预赛】已知点P在离心率为❑√2的双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0)上，F1、F2
为双曲线的
两个焦点，且⃑P F1⋅⃑PF2=0，则ΔP F1 F2
的内切圆半径r与外接圆半径R之比为______.
【答案】
❑√6
2 -1
【解析】
由⃑PF1⋅⃑P F2=0，知∠P1 P F2=90°.设|P F1|=m,|P F2|=n，又|F1 F2|=2c，则可得
R =c ,r = 1
2
(m+n-2c)，
m
2+n
2= 4 c
2， ①
|m-n|=2a. ②
设r
R =k，则r =kR =kc = 1
2
(m+n-2c)，即有
m+n=(2k +2)c. ③
由①②③可得(2k +2)
2c
2+ 4 a
2=8c
2，所以
(k +1)
2= 2c
2-a
2
c
2
=2- 1
e
2 = 3
2
，
解得k =
❑√6
2 -1.
2．【2018 年甘肃预赛】已知点P为直线x +2 y = 4上一动点，过点P作椭圆x
2+ 4 y
2= 4的两条切线，切点
分别为A ,B．当点P运动时，直线AB过定点的坐标是______．
【答案】(1, 1
2)
【解析】
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点P(x0, y0)的切点弦AB：x0 x + 4 y0 y = 4，又因为x0+2 y0= 4，对比系数可知切点弦过定点(1, 1
2)
．
3．【2018 年吉林预赛】已知圆C 的方程为x
2+ y
2-8 x +15=0，若直线y =kx -2(k ∈R)上至少存在一点，
使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值等于__________.
【答案】4
3
【解析】
因为圆C 的方程可化为(x - 4)
2+ y
2=1，所以圆C 的圆心为（4，0），半径为1.
若y =kx -2上至少存在一点A（x0,k x0-2），以该点为圆心，1 为半径的圆与圆C 有公共点，那么存在
x0∈R，使得|AC|≤1+1=2成立，即有|AC|min≤2，又因为|AC|min为点C 到直线y =kx -2的距离
d =|4 k -2|
❑√k
2+1
，所以|4 k -2|
❑√k
2+1
≤2，解得0≤k ≤4
3
，因此k 的最大值是4
3
.
故答案为：4
3
4．【2018 年吉林预赛】已知点P 在直线x +2 y -1=0上，点Q 在直线x +2 y +3=0上，PQ 的中点为M（
x0, y0
），且y0> x0+2，则y0
x0
的取值范围是_____________.
【答案】（- 1
2 ，- 1
5
）
【解析】
注意到两直线是平行的，故点M 的轨迹为与两直线的距离相等，且平行于两直线的直线，其方程为
x +2 y +1=0，即M（x0, y0）满足xo+2 y0+1=0，而且满足不等式y0> xo+2的点都在直线y = x +2的左
上方.
问题转化为求射线x0+2 y0+1=0（x0<- 5
3
）上点M（x0, y0
）的y0
x0
的取值范围，而y0
x0
的几何意义是M
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（x0, y0
）与原点连线的斜率，故kOM = y0
x0
∈（- 1
2 ，- 1
5
）.
故答案为：（- 1
2 ，- 1
5
）
5．【2018 年河南预赛】设经过定点M (a,0)的直线l与抛物线y
2= 4 x相交于P、Q两点，若
1
|PM|
2 +
1
|QM|
2
为常数，则a的值为______．
【答案】2
【解析】
设直线l的参数方程为¿是参数，α是倾斜角且α ∈(0,π)，
代入抛物线方程得t
2sin
2α - 4t cosα - 4 a=0．
设该方程的两根为t1、t2，则t1+t2= 4 cosα
sin
2α
，t1⋅t2=-
4 a
sin
2t❑
，
则
1
|PM|
2 +
1
|QM|
2 = 1
t1
2 + 1
t2
2 = t1
2+t2
2
(t1t2)
2 = (t1+t2)
2-2t1t2
(t t1t2)
2
=
16cos
2α
sin
4α
+ 8a
sin
2α
16a
2
sin
4α
= 2cos
2α +asin
2α
2a
2
为常数，
所以a=2．
6．【2018 年河北预赛】在平面直角坐标系中，若与点A（2，2）的距离为1，且与点B（m，0）的距离
为3 的直线恰有三条，则实数m 的取值集合是________.
【答案】{2-2❑√3,2+2❑√3}
【解析】
以A 为圆心，1 为半径的圆，和以B 为圆心，3 为半径的圆相外切时，恰有三条公切线.利用AB=1+3，可
得❑√(m-2)
2+ 4 = 4∴m=2±2❑√3，即实数m 的取值集合是{2-2❑√3,2+2❑√3}.
7．【2018 年辽宁预赛】已知A、B 分别为C1: x
2- y +1=0和C2: y
2- x +1=0上的点，则| AB|的最小值
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为_____.
【答案】3 ❑√2
4
【解析】
由于抛物线C1、C2关于直线y = x对称，则A、B 也关于直线y = x对称.（否则A、B 关于y = x的对称点
A
'、B
'也分别在另一条抛物线上，且| AB|=| A
' B
'|.设AB 交A
'、B
'于点M，则
| AB|+| A
' B
'|=| MA |+| M A
'|+| M B
'|>| A A
'|+|B B
'|，故| A A
'|和|B B
'|中必有一个小于
| AB|，矛盾.）因此只需求点A 到直线y = x的距离最小值的二倍，则A 为平行于y = x的直线与y = x
2+1
的切点，解得A( 1
2 , 5
4 )，故| AB|的最小值为3 ❑√2
4
.
故答案为：3 ❑√2
4
8．【2018 年江西预赛】若双曲线L的两个焦点恰是椭圆T : x
2
16 + y
2
9 =1的两个顶点，而双曲线L的两个顶点
恰是椭圆T的两个焦点，则双曲线L的方程为______．
【答案】x
2
7 - y
2
9 =1
【解析】
据条件知，双曲线L的中心在原点，实对称轴为x轴．
设其方程为x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，则其顶点为(±a,0)，焦点为(±c ,0)．
而椭圆的长轴顶点为(± 4,0)，焦点为(± ❑√7 ,0)，于是a= ❑√7，c = 4．
因此b=
❑√c
2-a
2=3，故所求双曲线方程为x
2
7 - y
2
9 =1．
故答案为：x
2
7 - y
2
9 =1
9．【2018 年山西预赛】若双曲线L1
的两个焦点分别是椭圆L2: x
2
5
2 + y
2
4
2 =1的两个顶点，而双曲线L1
的两条
准线分别通过椭圆L2的两个焦点，则双曲线L1的方程是：________.
【答案】x
2
15 - y
2
10 =1
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【解析】
椭圆的长轴顶点为A (-5,0),B (5,0)，则其焦点在X 轴上，用c1，c2分别表示L1, L2的半焦距，则c1=5，
而c2
2=5
2- 4
2=9，c2=3；所以椭圆焦点为F1(-3,0), F2(3,0).所以双曲线的实轴为X 轴，设其方程为
x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，由a
2
c1
=3，所以a
2=15.b
2=c1
2-a
2=5
2-15=10，因此双曲线L1
的方程是x
2
15 - y
2
10 =1.
10．【2018 年福建预赛】已知F1、F2分别为双曲线C : x
2
4 - y
2
12 =1的左、右焦点，点P在双曲线C上，
G、I分别为△F1 P F2的重心、内心．若GI ∥x轴，则△F1 P F2的外接圆半径R =______．
【答案】5
【解析】
不妨设P(x0, y0)在第一象限，|P F1|=r1，|P F2|=r2
．
依题意，r1-r2= 4，|F1 F2|=8．
由G、I分别为△F1 P F2的重心、内心，GI ∥x轴，得△F1 P F2的内切圆半径r = 1
3 y0．
所以S△F1 P F2= 1
2 (|F1 P|+|F1 F2|+|F2 P|)⋅r = 1
2 (r1+r2+8)⋅1
3 y0．
又S△F1 P F2= 1
2 ⋅|F1 F2|⋅y0= 4 y0．所以1
2 (r1+r1+8)⋅1
3 y0= 4 y0．
故r1+r2=16，结合r1-r2= 4，得r1=10，r2=6．
由此得到，|F1 P|
2=|F1 F2|
2+|F2 P|
2．因此P F2⊥F1 F2．
所以△F1 P F2的外接圆半径R = 1
2|F1 P|=5．
11．【2018 年全国】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1, F2
，
椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，PV，PT 的长分别为1，2，
3，6，则ΔP F1 F2的面积为
【答案】❑√15
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【解析】由对称性，不妨设P(x p, y p)在第一象限，则由条件知
x p= 1
2 (| PT |-| PS|)=2, y P= 1
2 (| PV |-| PU |)=1.
即P（2，1）.进而由x p=| PU |=1,| PS|=2得U（2，2）），S（4，1），
代入椭圆C 的方程知4⋅1
a
2 + 4⋅1
b
2 =16⋅1
a
2 + 1
b
2 =1，解得a2=20，b2=5.
从而SΔP F1 F2= 1
2 ⋅|F1 F2|⋅|yP|=
❑√a
2-b
2⋅yP= ❑√15.
12．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、
右焦点分别是F1, F2，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P.已知线段PU，PS，
PV，PT 的长分别为1，2，3，6，则△PF1F2的面积为
.
【答案】❑√15
【解析】由对称性，不妨设P(x p, y p)在第一象限，则由条件知
x p= 1
2 (| PT |-| PS|)=2, y p= 1
2 (| PV |-| PU |)=1，
即P(2，1).进而由x p=| PU |=1,| PS|=2得U(2，2)，S(4，1)，
代入椭圆C 的方程知4⋅1
a
2 + 4⋅1
b
2 =16⋅1
a
2 + 1
b
2 =1，
解得a
2=20,b
2=5.
从而S△P F1 F2= 1
2 ⋅|F1 F2|⋅|yP|=
❑√a
2-b
2⋅yP= ❑√15.
13．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设抛物线C:y2=2x 的准线与x 轴交于点A，过点B(－1，0)作一
直线l 与抛物线C 相切于点K，过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点M，N，则△KMN 的面积为
.
【答案】1
2
【解析】设直线l 与MN 的斜率为k，则l: x = 1
k y -1, MN : x = 1
k y - 1
2
.
将l 与C 联立，得方程y
2- 2
k y +2=0，由条件知其判别式为零，故k =±
❑√2
2
.
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将MN 与C 联立，得方程y
2- 2
k y +2=0，
于是|y M - y N|= ❑√( y M + y N)
2- 4 y M y N = ❑√
4
k
2 - 4 =2，
结合l 与MN 平行，
可知S△KMN = S△BMN =|S△BAM - S△BAN|= 1
2 ⋅| AB|⋅|y M - y N|= 1
2 ⋅1
2 ⋅2= 1
2
.
14．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为x
2
9 + y
2
10 =1，F
为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为
.
【答案】3 ❑√11
2
【解析】易知A(3，0)、F(0，1).设P 的坐标是(3cosθ ,❑√10sinθ),θ∈(0, π
2)
，
则S四边形OAPF = S△OAP+ S△OFP= 1
2 ⋅3⋅❑√10sinθ+ 1
2 ⋅1⋅3cosθ
= 3
2 (❑√10sinθ+cosθ)= 3 ❑√11
2
sin(θ+φ).
其中φ =arctan
❑√10
10
.
当θ =arctan ❑√10时，四边形OAPF 面积的最大值为3 ❑√11
2
.
15．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线
x
2+a y
2+a
2=0的焦距为4，则a 的值为
.
【答案】1- ❑√17
2
【解析】二次曲线的方程可以写成- x
2
a
2 - y
2
a =1.
显然必须有－a>0，故二次曲线为双曲线，其标准方程为
y
2
(❑√-a)
2 -
x
2
(-a)
2 =1.
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则c
2=(❑√-a)
2+(-a)
2=a
2-a，
注意到焦距2c=4，可知a
2-a= 4，又a<0，所以a= 1- ❑√17
2
.
16．【2017 年天津预赛】设F是椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左焦点,A是该椭圆上位于第一象限的一点.过A
作圆x
2+ y
2=b
2的切线,切点为P.则|AF|-|AP|=
.
【答案】a
【解析】提示:设F (-c ,0), A (acost ,bsint ),其中t ∈(0, π
2)
,
则
AF ∣=
❑√(acost +c)
2+(bsint )
2=
❑√a
2cos
2t +2accost +c
2+(a
2-c
2)sin
2t =
❑√a
2+2accost +c
2cos
2t =a+ccost ,
同时|AP|=
❑√A O
2-O P
2=
❑√(acost )
2+(bsint )
2-b
2=
❑√(a
2-b
2)cos
2t =ccost .可见|AF|-|AP|=a.
17．【2017 年河北预赛】双曲线C : x
2- y
2=2的右焦点为F , P为其左支上任意一点,点A的坐标为(-1,1),
则△APF周长的最小值为
.
【答案】3 ❑√2+ ❑√10
【解析】提示:易得|AF|= ❑√10.设双曲线的左焦点为F
',
则由双曲线定义知|PF|-|P F
'|=2❑√2.
△APF周长为
l =|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+2❑√2+|P F
'|+ ❑√10=|PA|+|P F
'|+2❑√2+ ❑√10≥|A F
'|+2❑√2+ ❑√10=3 ❑√2+ ❑√10.
18．【2017 年山西预赛】直线y =kx -2交抛物线y
2=8 x于A 、B两点,若线段AB的中点横坐标为2,则线段
AB的长度|AB|=
.
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【答案】2❑√15
【解析】提示:由kx = y +2,有k y
2=8kx =8 y +16, y1,2= 4
k ± 4
k
❑√k +1,
于是x1,2= 2+ y1,2
k
= 2
k + 4
k
2 ± 4
k
2
❑√k +1,
由条件,2= x1+ x2
2
= 2
k + 4
k
2
,得k =2或k =-1.
若k =-1,由{
y =- x -2,
y
2=8 x ,
这时直线与抛物线只有唯一交点(2,- 4),不合题意.
若k =2,则由{
y =2 x -2,
y
2=8 x ,
解得两交点A (2+ ❑√3,2+2❑√3),B(2- ❑√3,2-2❑√3),这时|AB|=2❑√15.
19．【2017 年辽宁预赛】已知F1, F2
分别为椭圆Γ : x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的左、右焦点,|F1 F2|=2. A为Γ
的右端点,直线l过点A且垂直于x轴,P为直线l上一动点,若∠F1 P F2的最大值为π
4
,则此时点P的坐标为
.
【答案】P(❑√2,1)或(❑√2,-1)
【解析】设PA =|x|,则tanα =
x
a+c ,tan β =
x
a-c
,
tanθ =tan(β -α )=
x
a-c -
x
a+c
1+
x
a-c ⋅
x
a+c
= 2cx
b
2+ x
2 ≤2cx
2bx = c
b ,当且仅当x =b时等号成立.
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因为∠F1 P F2的最大值为π
4
,故c
b =tan π
4 =1,即b=c.
又|F1 F2|=2,则c =1,b=1,a= ❑√2.∠F1 P F2
最大时|x|=b,
即P(❑√2,1)或(❑√2,-1).
20．【2017 年吉林预赛】若椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)恒过定点(
❑√2
2 ,
❑√2
2 )
,且其长轴长的取值范围是
[❑√5,❑√6]
,则椭圆的离心率的取值范围是
.
【答案】[
❑√3
3 ,
❑√2
2 ]
【解析】由椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1过定点(
❑√2
2 ,
❑√2
2 )
,得1
2a
2 + 1
2b
2 =1,即a
2+b
2=2a
2b
2. ①
又因为e
2= c
2
a
2 = a
2-b
2
a
2
,得a
2e
2=a
2-b
2,即b
2=a
2-a
2e
2， ②
由①②得,e = 2a
2-2
2a
2-1
=1-
1
2a
2-1
.
因为a∈[
❑√5
2 ,
❑√6
2 ]
,所以e∈[
❑√3
3 ,
❑√2
2 ]
.
21．【2017 年福建预赛】已知P为双曲线C : x
2
4 - y
2
12 =1上一点,F1, F2为双曲线C的左、右焦点,M、I 分别
为△P F1 F2的重心、内心,若MI ⊥x轴,则△P F1 F2内切圆的半径为
.
【答案】❑√6
【解析】提示:如图,不妨设点P在第一象限,D、E、F分别为⊙I与△P F1 F2三边相切的切点.
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则由切线长定理以及双曲线定义,得
2a=|P F1|-|P F2|=(|PF|+|F F1|)-(|PE|+|E F2|)=|F F1|-|E F2|=|F1 D|-|F2 D|=(xD+c)-(c - xD)=2 xD
所以xD=a=2,xM = xI = xD=2.
设P(x0, y0),由M为△P F1 F2
的重心,知x0=3 xM =6, y0= 4 ❑√6.
所以|P F1|=
❑√(6+ 4)
2+(4 ❑√6-0)
2=14|P F2|=
❑√(6- 4)
2+(4 ❑√6-0)
2=10，
设△P F1 F2的内切圆半径为r,则S△P F1 F2= 1
2 (|P F1|+|P F2|+|F1 F2|)×r =16r，
另一方面，S△P F1 F2= 1
2 ×|F1 F2|× y0= 1
2 ×8×4 ❑√6=16 ❑√6，
所以16r =16 ❑√6,r = ❑√6.
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22．【2017 年江西预赛】若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上,则椭圆的离心率
e =
.
【答案】e = 1
2或
❑√2
2
【解析】提示：建立坐标系,设椭圆方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0),
则顶点A1,2=(±a,0),B1,2=(0,±b),焦点F1,2=(±c ,0),准线方程为l1,2: x =± a
2
c
,其中c =
❑√a
2-b
2.
根据对称性,只要考虑两种情况:(1)A1(-a,0)关于F2(c ,0)的对称点在右准线x = a
2
c
上,由-a+ a
2
c =2c,得
e = c
a = 1
2 ;
(2)B1(0,b)关于F2(c ,0)的对称点在右准线x = a
2
c
上,由横坐标0+ a
2
c =2c,得e = c
a =
❑√2
2
.
23．【2017 年河南预赛】设A 、B是椭圆x
2+3 y
2=1上的两个动点,且OA ⊥OB(O为坐标原点).则∣AB|
的最大值和最小值的乘积为
.
【答案】2❑√3
3
【解析】提示：以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
则椭圆方程为：ρ
2(cos
2θ+3sin
2θ)=1,θ∈[0,2π )，
设A( ρ1,α ),B( ρ2,α + π
2 ),则| AB|
2= ρ1
2+ ρ2
2=
1
cos
2α +3sin
2α
+
1
sin
2α +3cos
2α
=
4
3+sin
22α
.
从而| AB|的最大值为2❑√3
3
,最小值为1,
故| AB|| AB|的最大值和最小值的乘积为2❑√3
3
.
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24．【2017 年湖北预赛】过抛物线y
2= 4 x的焦点F的直线交拋物线于M 、N两点,E (m,0)为x轴上一点,
ME , NE的延长线分别交抛物线于点P ,Q.若MN 、PQ的斜率k1、k2满足k1=3k2,则实数m的值为
.
【答案】3
【解析】提示：如图,当MP与x轴不垂直时,设MP: y =k (x -m),
代入y
2= 4 x,得x
2-(
4
k
2 +2m)x +m
2=0,
所以xM ⋅xP=m
2,从而y M ⋅y P=- 4 m.
设M (x0, y0),则xP= m
2
x0
, y P=- 4 m
y0
.
当MP与x轴垂直时,结论也成立.
而F (1,0),同理可求得xN = 1
x0
, y N =- 4
y0
, xQ= m
2
xN
=m
2 x0, yQ=- 4 m
y N
=m y0.
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所以k1=
4
y M + y N
=
4
y0- 4
y0
,k2=
4
yP+ yQ
=
4
m y0- 4 m
y0
= 1
m ⋅k1,
又k2= 1
3 k1,所以m=3.
25．【2017 年四川预赛】若P(x , y)是双曲线x
2
8 - y
2
4 =1上的点,则|x - y|的最小值是
.
【答案】2
【解析】提示：由条件知x
2-2 y
2-8=0.根据对称性,不妨设x>0, y >0,且x - y >0.
设u= x - y >0,( y +u)
2-2 y
2-8=0,即y
2-2uy -u
2+8=0
,
于是Δ=(2u)
2- 4(-u
2+8)≥0,解得u≥2.
26．【2017 年甘肃预赛】已知双曲线x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0), A1, A2
是实轴顶点,F是右焦点,B (0,b)是虚
轴端点,若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i=1,2),使得△Pi A1 A2(i=1,2)构成以A1 A2
为斜边的
直角三角形,则双曲线的离心率e的取值范围是
.
【答案】(
❑√2,
❑√5+1
2 )
【解析】提示:由已知△Pi A1 A2(i=1,2)是以A1 A2
为斜边的直角三角形,则P1、P2
在以A1 A2
为直径的圆
上,
所以以A1 A2为直径的圆与线段BF相交,直线BF的方程为x
c + y
b =1,即bx +cy -bc =0,
所以|0+0-bc|
❑√b
2+c
2 <a,整理得e
2(e
2-1)
2e
2-1
<1且e>❑√2,
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解得3- ❑√5
2
<e
2< 3+ ❑√5
2
且e>❑√2,
所以❑√2<e<
❑√5+1
2
.
27．【2017 年贵州预赛】在直角坐标系xOy中,有拋物线Ci: y =ai x
2+bi x +ci(i=1,2,⋯,20),拋物线
D j: x =a j
' y
2+b j
' y +c j
' ( j =1,2,⋯,20).对任意实数ai,bi
,ci、a j
' ,b j
' ,c j
' ,则这40 条抛物线把坐标平面分成的
区域块数最多为
.
【答案】2422
【解析】提示：因为拋物线Ci中每两条最多有2 个交点,抛物线C1分坐标平面为2 块区域,拋物线C2与C1最
多有2 个交点,这2 个交点将C2分成3 段曲线,这3 段曲线将所在区域一分为二,故C1与C2将坐标平面最多分
成2+3=5块区域,拋物线C3与C1,C2最多有4 个交点,这4 个交点将C1,C2分成5 段曲线,这5 段曲线将所在
区域一分为二,故C1,C2,C3将坐标平面最多分成2+3+5=10块区域,以此类推,C1,C2,⋯,C20将坐标平面
最多分成2+3+5+7+⋯+39= 401块区域.同理,D1, D2,⋯, D20将坐标平面最多分成401 块区域.又C1与
D j中，每一条的交点个数最多为4 个,则C1与D1, D2,⋯, D20的交点总数最多4×20=80个,这80 个交点将
C1
分成81 段曲线, 这81 段曲线将所在区域一分为二, 即新增区域81 块, 故Ci(i=1,2,⋯,20)与
D1, D2,⋯, D20能
将
坐
标
平
面
最
多
新
增81×20=1620块
区
域
.
所
以
拋
物
线
Ci: y =ai x
2+bi x +ci(i=1,2,⋯,20)与抛物线D j: x =a j
' y
2+b j
' y +c j
' ( j =1,2,⋯,20)把坐标平面分成的区
域块数最多为401+ 401+1620=2422.
28．【2017 年安徽预赛】过椭圆x
2+2 y
2=3的一个焦点作斜率为k的直线,交椭圆于A 、B两点.若AB =2,
则|k|=
.
【答案】❑√1+ ❑√3
【解析】提示:椭圆参数a= ❑√3,b=c = ❑√
3
2
.
不妨设直线方程为y =k (x -c),则A 、B的横坐标x1, x2
满足x
2+2k
2(x -c)
2=3,得x1+ x2= 4 k
2c
1+2k
2 .
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椭圆的右准线方程为x = a
2
c = ❑√6.再由AB = c
a (2❑√6- x1- x2),解得|k|= ❑√1+ ❑√3.
29．【2017 年广东预赛】圆锥曲线❑√x
2+ y
2+6 x -2 y +10-|x - y +3|=0的离心率是
.
【答案】❑√2
【解析】提示:原式变形为❑√(x +3)
2+( y -1)
2=|x - y +3|,
即
❑√(x +3)
2+( y -1)
2= ❑√2|x - y +3|
❑√2
.
所以动点(x , y)到定点(-3,1)的距离与它到直线x - y +3=0的距离之比为❑√2.
故此动点的轨迹为双曲线,离心率为❑√2.
30．【2017 年广东预赛】已知点P在圆C : x
2+( y +2)
2= 1
4
上运动,点Q在曲线y =a x
2(a>0,-1≤x ≤2)上运
动,且|PQ|的最大值为9
2
,则a=
.
【答案】
❑√3-1
2
【解析】提示:连结QC并延长交圆于点D,则PQ|<|QC|+|CP|=|QC|+|CD|=|QD∣,
所以|PQ|的最大值等于|CP|的最大值与圆的半径之和,
由于f (x)=|CP|
2= x
2+(a x
2+2)
2=a
2 x
4+(4 a+1) x
2+ 4 ,
其中-1≤x ≤2,f (-1)=5+ 4 a+a
2<16a
2+16a+8= f (-2).
因此当x =-2时,|CP|取得最大值,
于是
❑√16a
2+16a+8= 9
2 - 1
2 = 4,2a
2+2a-1=0.
故a=
❑√3-1
2
.
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31．【2017 年广西预赛】设椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B,左焦点为F.若∠ABF =90
∘,
则椭圆的离心率为
.
【答案】
❑√5-1
2
【解析】提示:由∠ABF =90
∘和射影定理有ac =b
2=a
2-c
2,
即(
c
a)
2
+ c
a -1=0,故e = c
a =
❑√5-1
2
.
32．【2017 年浙江预赛】已知动点P在x轴上,M , N分别在圆(x -1)
2+( y -2)
2=1和圆(x -3)
2+( y - 4)
2=3
上,则|PM|+|PN|的最小值为
.
【答案】2❑√10- ❑√3-1
【解析】提示:易知圆(x -1)
2+( y -2)
2=1的圆心坐标为(1,2),
圆(x -3)
2+( y - 4)
2=3关于x轴对称的圆的圆心坐标为(3,- 4).
则|PM|+|PN|的最小值为❑√(3-1)
2+(- 4 -2)
2-1- ❑√3=2❑√10- ❑√3-1.
33．【2017 年江苏预赛】在平面直角坐标系xOy中,F1
,F2
分别是双曲线x
2- y
2
b
2 =1(b>0)的左、右焦点,过
点F1作圆x
2+ y
2=1的切线,与双曲线左、右两支分别交于点A ,B.若F2B = AB,则b的值是
.
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【答案】1+ ❑√3
【解析】提示:由已知及双曲线的定义,得A F1= B F1- AB = B F1- B F2=2, A F2=2+ A F1= 4 .
在Rt △OT F1中,OT =1,O F1=c ,T F1=b,所以cos∠F2 F1 A = b
c
.
在△A F1 F2
中,由余弦定理得cos∠F2 F1 A = F1 F2
2+ A F1
2- A F2
2
2 F1 F2⋅A F1
= c
2-3
2c .所以c
2-3=2b.
又由c
2=1+b
2,得b
2-2b-2=0,解得b=1± ❑√3(负值舍去),
所以b=1+ ❑√3.
34．【2017 年新疆预赛】已知直线ax +by =2017与圆x
2+ y
2=100有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整
数.则这样的直线共有
.
【答案】72
【解析】提示：首先,在圆x
2+ y
2=100上的横、纵坐标均为整数的点有
(0,±10),(±6,±8),(±8,±6),(±10,0),共12 个点.
若直线ax +by =2017与圆只有一个公共点,那么该直线是圆的过该公共点的切线,而公共点可以是这12 个点
中任一个,故这样的切线共有12 条.
若直线ax +by =2017与圆有两个公共点,那么该直线就是过这两个公共点的割线.
这12 个点中任一点分别与其他11 个点相连共得到12×11=132条直线.
由于每条直线重复了两次,故共有132÷2=66条不同的直线.
注意到直线ax +by =2017不过(0,0)点,故这66 条直线中有6 条不满足,
故满足条件的有66-6=60条.
综上,满足题意的直线共有12+60=72条.
35．【2016 年福建预赛】已知直线l 过椭圆C：x
2
2 + y
2=1 的左焦点F 且与椭圆C 交于A、B 两点，O 为坐
标原点.若OA⊥OB，则点O 到直线AB 的距离为________.
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【答案】
❑√6
3
.
【解析】
易知，F(-1，0).设lAB：x=ty-1.
¿
⇒(t2+2)y2-2ty-1=0. ①
注意到，式①的判别式大于0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2).
则y1+ y2= 2t
t
2+2
，y1 y2=-1
t
2+2
.
由OA⊥OB，得x1 x2+ y1 y2=(t y1-1)(t y2-1)+ y1 y2
=（t
2+1）y1 y2-t （y1+ y2）+1=-(t
2+1)
t
2+2
-t· 2t
t
2+2
+1=0
⇒ -(t2+1)-2t2+t2+2=0⇒t
2= 1
2
.
故点O 到直线AB 的距离为
1
❑√1+t
2 =
❑√6
3
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