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专题五
平面向量
第十三讲平面向量的概念与运算
答案部分
2019
年
1．解析：
解析：
解析：
解析：
解析：
(1,
3)
BC
AC
AB
t
=
−
=
−
，则
2
1
(
3)
1
t
+
−
=
，得
3
t =
，即
(1,0)
BC =
，所以
(2,3) (1,0)
2
AB BC
=
=
.故选C.
2.解析
解析
解析
解析
解析
2
(2
5 )
2
5
2
=
−
=
−
=
a c
a
a
b
a
a b
，
因为
2
2
2
2
(2
5 )
4
4 5
5
9
=
−
=
−
+
=
c
a
b
a
a b
b
，
所以
|
| 3
=
c
，所以
2
cos
,
|
||
|
3
=
=
a c
a c
a c
.
2010-2018 年
1
A
．【解析】通解
如图所示，
E
D
C
B
A
1
1
1
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
2
=
+
=
+
=
+
+
−
EB
ED
DB
AD
CB
AB
AC
AB
AC
3
1
4
4
=
−
AB
AC
．故选
．
A
优解
1
1
1 (
)
2
2
2
=
−
=
−
=
−
+
EB
AB
AE
AB
AD
AB
AB
AC
3
1
4
4
=
−
AB
AC
．故选
．
A
2
C
．【解析】∵
3
3
−
=
+
a
b
a
b ，∴
2
2
(
3 )
(3
)
−
=
+
a
b
a
b
，∴
2
2
6
9
−
+
=
a
a b
b
2
2
9
6
+
+
a
a b
b ，又
|
| |
| 1
=
=
a
b
，∴
0
=
a b
，∴
⊥
a
b
；反之也成立，故选C．
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3
B
．【解析】
2
(2
)
2
2
( 1)
3
−
=
−
=
−−
=
a
a
b
a
a b
，故选
．
B
4
A
．
【解析】因为
,
m n 为非零向量，所以
|
||
| cos
,
0
=
m n
m n
m n
的充要条件是
cos
,
0
m n
．因为
0
，则由
=
m
n 可知
,
m n 的方向相反，
,
180
=
m n
，
所以
cos
,
0
m n
，所以“存在负数，使得
=
m
n ”可推出“
0
m n
”；而
0
m n
可推出
cos
,
0
m n
，但不一定推出
,
m n 的方向相反，从而不一定推得
“存在负数，使得
=
m
n ”，所以“存在负数，使得
=
m
n ”是“
0
m n
”
的充分而不必要条件．
5
B
．【解析】由
(
)
t
⊥
+
n
m
n 可得
(
)
0
t
+
=
n
m
n
，即
2
0
t
+
=
m n
n
，
所以
2
2
2
1
|
cos
|
3
|
|
t
|
|
|
<
, >
|
|
|
= −
= −
= −
n
n
n
m n
m
n
m n
m
n
|
|
4
3
3
4
|
|
3
= −
= −
= −
n
m
．故选
．
B
6
B
．【解析】设
BA
a
=
，
BC
b
=
，∴
1
1 (
)
2
2
DE
AC
b
a
=
=
−
，
3
3 (
)
2
4
DF
DE
b
a
=
=
−
，
1
3
5
3
(
)
2
4
4
4
AF
AD
DF
a
b
a
a
b
=
+
= −
+
−
= −
+
，
∴
2
5
3
5
3
1
4
4
8
4
8
AF BC
a b
b
= −
+
= −
+
=
，故选B.
7
D
．【解析】由向量的坐标运算得
(
)
4
2
m
+
=
−
，
a
b
，
∵
(
)
+
⊥
a
b
b ，∴
(
)
12
2(
2)
0
m
+
=
−
−
=
a
b
b
，
解得
8
m =
，故选
．
D
8
A
．【解析】由题意得
1
3
3
1
3
2
2
2
2
cos
1 1
2
|
| |
|
BA BC
ABC
BA
BC
+
=
=
=
，
所以
30
ABC
=
，故选
．
A
9．A 【解析】由题意
2
2
(
) (3
2 )
3
2
0
a
b
a
b
a
a b
b
−
+
=
−−
=
，
即
2
2
3
cos
2
0
a
a b
b
−
−
=
，所以
2
2 2
2 2
3 (
)
cos
2
0
3
3
−
−
=
，
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2
cos
2
=
，
4
=
，选
．
A
10．B【解析】对于
选项，设向量
A
a 、b 的夹角为，∵
|
| |
||
| cos
||
|
=
≤|
a b
a b
a b ，
∴
选项正确；对于
选项，∵当向量
A
B
a 、b 反向时，
|
| ||
|
|
||
−
−
≥
a
b
a
b
，∴
选项
B
错误；对于
选项，由向量的平方等于向量模的平方可知，
C
C 选项正确；对于
选项，
D
根据向量的运算法则，可推导出
2
2
(
) (
)
+
−
=
−
a
b
a
b
a
b
，故D 选项正确，综上选B．
11．【解析】如图由题意，
D
2a+b
2a
A
B
C
D
(2
)
2
BC
AC
AB
a
b
a
b
=
−
=
+
−
=
，故
| | 2
b =
，故A 错误；
| 2 | 2|
| 2
a
a
=
=
，
所以
|
| 1
a = ，又
2
2
(2
)
4|
|
2
2 2cos60
2
AB AC
a
a
b
a
ab
=
+
=
+
=
=
，
所以
1
a b
= −，故,
B C 错误；设
,
B C 中点为D，则
2
AB
AC
AD
+
=
，
且
AD
BC
⊥
，所以 (
)
4
C
a
b
+
⊥
，故选
．
D
12．A【解析】
1
1
1
(
)
(
)
(
)
2
2
2
EB
FC
BA
BC
CA
CB
AB
AC
AD
+
= −
+
−
+
=
+
=
．
13．A【解析】由
2
(
)
10
+
=
a
b
①，
2
(
)
6
−
=
a
b
②，①−②得
1
=
a b
．
14．B【解析】由题意得
2
3
1 3
3
cos
2
6
2
9
m
m
+
=
=
+
，两边平方化简得
6 3
18
m =
，
解得
3
m =
，经检验符合题意．
15．B【解析】设
1
1
2
2
3
3
4
4
S
x
y
x
y
x
y
x
y
=
+
+
+
，若S
的表达式中有
个
0
a b
，
则
2
2
2
2
S
a
b
=
+
,记为
1
S ,若S
的表达式中有
个
2
a b
,则
2
2
2
2
2
S
a
b
a b
=
+
+
,
记为
2
S ，若S
的表达式中有
个
4
a b
，则
4
S
a b
=
，记为
3
S ，又
| | 2|
|
b
a
=
，
所以
2
2
2
1
3
2
2
4
2(
)
0
S
S
a
b
a b
a
b
−
=
+
−
=
−
，
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2
2
2
1
2
2
(
)
0
S
S
a
b
a b
a
b
−
=
+
−
=
−
，
2
2
3
(
)
0
S
S
a b
−
=
−
，∴
3
2
1
S
S
S
，故
min
3
4
S
S
a b
=
=
，设,a b 的夹角为，
则
2
2
min
4
8|
| cos
4|
|
S
a b
a
a
=
=
=
，即
1
cos
2
=
，又
[0, ]
，所以
3
=
．
16．B【解析】对于
，
A
C，，都有
D
1e ∥
2e
，所以只有
成立．
B
17．B【解析】由于
2
2
2 2
|
|
2
t
t
t
+
=
+
+
b
a
b
a b
a
，令
2
2 2
( )
2
f t
t
t
=
+
+
b
a b
a
，
而t 是任意实数，所以可得
( )
f t 的最小值为
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
(2
)
4
4
cos
4
sin
1
4
4
4
−
−
=
=
=
a b
ab
a b
a b
b
a
a
，
即
2
2
|
| sin
1
=
b
，则知若确定，则|
|
b 唯一确定．
18．C【解析】∵
2
3
(2
3, 6)
k
−
=
−
−
a
b
，
(2
3 )
−
⊥
a
b
c ，
所以
(2
3 )
−
a
b
c =
2(2
3)
6
0
k −
−
=
。解得 3
k =
，选C
19．C【解析】 因为
0
2
2
)
4
(
1
=
+
−
=
BD
AC
，所以
BC
AC ⊥
，所以四边形的面积
为
5
2
2
)
4
(
2
1
2
|
|
|
|
2
2
2
2
=
+
−
+
=
BD
AC
，故选
．
C
20．D【解析】由题意，设
|
| 4
AB =
，则
0
|
| 1
P B = ，过点C 作AB 的垂线，垂足为H ，
在AB 上任取一点P ，设
0
HP
a
=
，则由数量积的几何意义可得，
|
||
| (|
| (
1))|
|
PB PC
PH
PB
PB
a
PB
=
=
−
+
，
0
0
0
0
|
||
|
PB PC
P H
P B
a
= −
= −，
于是
0
0
PB PC
P B PC
≥
恒成立，相当于
(|
| (
1))|
|
PB
a
PB
a
−
+
−
≥
恒成立，
整理得
2
|
|
(
1)|
|
PB
a
PB
a
−
+
+ ≥0 恒成立，只需
2
2
(
1)
4
(
1)
0
a
a
a
=
+
−
=
−
≤
即可，于是 1
a = ，因此我们得到
2
HB =
，即H 是AB 的中点，
故△ABC 是等腰三角形，所以
AC
BC
=
．
P 0
P
H
C
B
A
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21．A【解析】
(3, 4)
AB =
−
,所以
|
| 5
AB =
,这样同方向的单位向量是
1
3
4
( ,
)
5
5
5
AB =
−
．
22．A【解析】AB =（2,1），CD =（5,5），则向量AB 在向量CD 方向上的射影为
2
2
3
2
5
5
1
5
2
5
5
)
5,5
(
)1,2
(
cos
2
2
=
+
=
+
=
=
CD
CD
AB
AB
23．C【解析】建立平面直角坐标系，令向量,a b 的坐标
(
)
(
)
1,0 ,
0,1
=
=
a
b
，又设
(
)
,x y
=
c
，代入
1
−−
=
c
a
b
得
(
)
(
)
2
2
1
1
1
x
y
−
+
−
=
，
又c 的最大值为圆
(
)
(
)
2
2
1
1
1
x
y
−
+
−
=
上的动点到原点的距离的最大值，
即圆心
，
到原点的距离加圆的半径，即
(1
1)
2
1
+ ．
24．D【解析】因为
1
AB ⊥
2
AB
，所以可以
为原点，分别以
A
1
AB ，
2
AB 所在直线
为
轴建立平面直角坐标系．设
x 轴，y
B1(a,0)，B2(0，
，
b)
O x( ，，
y)
则AP ＝
1
AB ＋
2
AB
＝
，
(a
b
P a
b
)，即
( ，)
．
由|
1
OB |
|
＝
2
OB |
1
＝，得(
)
x
a
－
2＋y2＝x2＋－
(y
b)2＝1.
所以－
(x
a)2＝－
1
y 2≥0，(y－b)2＝－
1
x2≥0.
由|OP |＜1
2
，得－
(x
a)2＋－
(y
b) 2＜1
4
，
即
－
0≤1
x2＋1－y2＜1
4
.
所以7
4
＜x2＋y2≤2，即
2
2
7
2
2
x
y
+
.
所以|OA |的取值范围是
7 ,
2
2
，故选
．
D
25．B【解析】利用向量加法的三角形法则，
；利用平面向量的基本定理，易
易的①是对的
的②是对的；以a 的终点作长度为的圆，这个圆必须和向量b 有交点，这个不一定
能满足，
错的；利用向量加法的三角形法则，结合三角形两边的和大于第三边，即
③是
必须
= +
+
b
c
a ，所以④是假命题.综上，本题选B.平面向量的基本定理考前
还强调过，不懂学生做得如何.
26．C【解析】
2
2
,
0,
1 2cos
0,
cos2
2cos
1
0.
a
b
a b
⊥
=
−+
=
=
−=
正确的是
C
．
27．C【解析】
2
2
2
2
|
| |
|
|
|
|
|
2
|
|
|
|
2|
||
|
|
|
+
=
−
+
+
=
−
+
a
b
a
b
a
ab
b
a
a b
b
，则
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|
||
| 0
= −
ab
a b
，所以,a b
不垂直，
不正确，同理
也不正确；
A
B
|
||
|
= −
ab
a b ，则
cos
,
1
= −
< a b
，所以,a b 共线，故存在实数，
使得
=
b
a ，
正确；若
C
=
b
a ，则
1
= ，此时
|
| 2|
0 |
|
|
|
+
=
=
−
a
b
a |
a
b ，
所以
不正确．
D
28．B【解析】
(1
,2)
+
=
+
a
b
，由(
)
+
a
b ∥c ，得
6
4(1
)
0
−
+
=
，解得= 1
2
29．D【解析】∵
2
(5,2
)
k
−
=
−
a
b
，由
(2
)
0
−
=
a
a
b
，得
(2,1) (5,2
)
0
k
−
=
，
∴
10
2
0
k
+ −
=
，解得
12
k =
．
30．C【解析】三角形的面积
S=1
2
|
| sin
,
a || b
a b
，而
2
2
2
2
2
2
2
1
1
|
| |
|
(
)
|
| |
|
(
) cos
,
2
2
a
b
ab
a
b
ab
a b
−
=
−
2
1
1
|
||
| 1 cos
,
|
||
| sin
,
2
2
a b
a b
a b
a b
−
=
．
31．B【解析】若a 与b 共线，则有
=
=0
mq
np
−
a
b
，故
正确；
A
因为
pn
qm
=
−
b
a
，而
=mq
np
−
a
b
，所以有
a
b
b
a ，
故选项
错误，故选
．
B
B
32．1
2
【解析】
2
(4,2)
+
a
b =
，因为
(1, )
=
c
，且
(2
)
+
∥
c
a
b ，
所以
1 2
4
=
，即
1
2
=
．
33．2 3 【解析】∵
2
2
2
|
2 |
|
|
4 |
|
4
4
4 1
4 2 1 cos60
12
+
=
+
+
=
+ +
=
a
b
a
b
ab
，
∴
|
2 | 2 3
+
=
a
b
34．4,2 5 【解析】设向量,a b 的夹角为，由余弦定理有：
2
2
1
2
2 1 2 cos
5
4cos
a
b
−
=
+
−
=
−
，
(
)
2
2
1
2
2 1 2 cos
5
4cos
a
b
+
=
+
−
−
=
+
，
则：
5
4cos
5
4cos
a
b
a
b
+
+
−
=
+
+
−
，
令
5 4cos
5 4cos
y
x
x
=
+
+
−
，则
2
2
10
2 25 16cos
16,20
y
=
+
−
，
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据此可得：
(
)
(
)
max
min
20
2 5,
16
4
a
b
a
b
a
b
a
b
+
+
−
=
=
+
+
−
=
=
，
即
a
b
a
b
+
+
−
的最小值是，最大值是
4
2 5 .
35．
3
3
【解析】
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
( 3
) (
)
3
3
3
−
+
=
+
−
−
=
−
e
e
e
e
e
e e
e e
e
，
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
|
3
|
( 3
)
3
2 3
2
−
=
−
=
−
+
=
e
e
e
e
e
e e
e
，
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1
1
2
2
|
|
(
)
2
1
+
=
+
=
+
+
=
+
e
e
e
e
e
e e
e
，
2
2
3
2
1
cos60
1
−
=
+
=
+
，解得：
3
3
=
．
36．3【解析】由
tan
7
=
可得
7 2
sin
10
=
，
2
cos
10
=
，由OC = m OA +n OB
得
2
2
OC OA
mOA
nOB OA
OC OB
mOB OA
nOB
=
+
=
+
，即
2 cos
cos(
45 )
2 cos45
cos(
45 )
m
n
m
n
=
+
+
=
+
+
两式相加得，
2(cos
cos45 )
(
)(1 cos(
45 ))
m n
+
=
+
+
+
所以
2
2
2
2
2 cos
2 cos45
10
2
3
1 cos(
45 )
2
2
7 2
2
1
10
2
10
2
m
n
+
+
+
=
=
=
+
+
+
−
所以
3
m
n
+
=
．
37．－3【解析】由题意得：
2
9,
2
8
2,
5,
3.
m
n
m
n
m
n
m
n
+
=
−
= −
=
=
−
= −
38．9【解析】因为
OA
AB
⊥
，
|
| 3
OA =
，
所以
OA OB
•
=
9
3
|
|
|
|
)
(
2
2
2
=
=
=
•
+
=
+
•
OA
OB
OA
OA
AB
OA
OA
．
39．1【解析】由题意
2
2
( )
ln(
)
(
)
ln(
)
=
+
+
=
−
= −
+
−
f x
x
x
a
x
f
x
x
a
x
x ，
所以
2
2
1
+
+
=
+
−
a
x
x
a
x
x
，解得 1
a = ．
40．1 2 2 2
【解析】由题意可令
0 1
0
2
3
x
y
=
+
+
b
e
e
e ，其中3
,
1,2
i i
⊥
=
e
e
，
由
1
2
=
b e
得
0
0
2
2
y
x +
=
，由
2
5
2
=
b e
，得
0
0
5
2
2
x
y
+
=
，解得
0
1
x =
，
0
2
y =
∴
2
1
2
3
|
|
(
2
)
2 2
e
=
+
+
=
b
e
e
．
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41．2
−【解析】由
2
2
2
|
|
|
|
|
|
+
=
+
a
b
a
b
得
⊥
a
b ，则
2
0
m+
=
，所以
2
m = −．
42．90 【解析】由
1(
)
2
AO
AB
AC
=
+
，得O 为BC的中点，故BC 为圆O 的直径，
所以AB 与AC 的夹角为90 ．
43．1
6
【解析】∵
cos
AB AC
AB
AC
A
=
uuur uuur
uuur
uuur
，∴由
cos
tan
AB
AC
A
A
=
uuur
uuur
，
得
2
3
AB
AC
=
uuur
uuur
，故ABC
V
的面积为1
1
|
||
| sin
2
6
6
AB
AC
=
．
44．②④【解析】S 有下列三种情况：
2
2
2
2
2
1
S
a
a
b
b
b
=
+
+
+
+
，
2
2
2
2
S
a
a b
a b
b
b
=
+ + +
+
，
2
3
S
a b
a b
a b
a b
b
=
+ + + +
∵
2
2
2
2
1
2
2
3
2
(
)
|
|
0
S
S
S
S
a
b
a b
a
b
a
b
−
=
−
=
+
−
=
−
=
−
，
∴
min
3
S
S
=
，
若a
b
⊥
，则
2
min
3
S
S
b
=
=
，与|
|
a 无关，②正确；
若a b ，则
2
min
3
4
S
S
a b
b
=
=
+
，与| |
b 有关，③错误；
若
| | 4|
|
b
a
，则
2
2
2
2
min
3
4|
| | | cos
| |
4| | | |
| |
| |
| |
0
S
S
a
b
b
a
b
b
b
b
=
=
+
−
+
−
+
=
，
④正确；
若
2
min
| | 2|
|,
8|
|
b
a
S
a
=
=
,则
2
2
2
2
min
3
4
8|
| cos
4|
|
8|
|
S
S
a b
b
a
a
a
=
=
+
=
+
=
∴
1
cos
2
=
，
∴
3
=
，⑤错误．
45．
5 【解析】∵
|
| 1
=
a
，∴可令
(cos ,sin )
=
a
，∵
0
+
=
a
b
，
∴
cos
2
0
sin
1
0
+
=
+ =
，即
2
cos
1
sin
= −
= −
，解得
2
5
=
得
|
|
5
=
．
46．1
2
【解析】∵∥
a
b，∴
2
sin2
cos
=
，∴
2
2sin cos
cos
=
，
∵
(0,
)
2
，∴
1
tan
2
=
．
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47．2
1
【解析】
(
4,2
2)
c
m
m
=
+
+
因为
cos
,
|
| |
|
c a
c a
c
a
=
，
cos
,
|
| |
|
c b
c b
c
b
=
，所以
|
| |
|
|
| |
|
c a
c b
c
a
c
b
=
，
又
|
| 2 |
|
b
a
=
，所以
2c a
c b
=
即
2[(
4)
2(2
2)]
4(
4)
2(2
2)
m
m
m
m
+
+
+
=
+
+
+
2
m
=
【解析2】由几何意义知c 为以ma ，b 为邻边的菱形的对角线向量，
又
|
| 2 |
|
b
a
=
，故
2
m =
48．2【解析】b c =
[
(1
) ]
t
t
•
+
−
b
a
b =
2
(1
)
t
t
•
+
−
a b
b = 1
1
2 t
t
+ −=
1
1
2t
−
=0,解得t = 2 .
49．2【解析】在正方形中，
1
2
AE
AD
DC
=
+
,
BD
BA
AD
AD
DC
=
+
=
−
,
所以
2
2
2
2
1
1
1
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
AE BD
AD
DC
AD
DC
AD
DC
=
+
−
=
−
=
−
=
．
50．7
12
【解析】向量AB 与AC 的夹角为120 ，且
|
| 3,|
| 2,
AB
AC
=
=
所以
1
cos120
3 2
3
2
AB AC
AB
AC
=
= −
= −．由
AP
BC
⊥
得，
0
AP BC
=
，即
(
) (
)
0
AP BC
AB
AC
AC
AB
=
+
−
=
，
所以
2
2
(
1)
0
AC
AB
AB AC
−
+
−
=
,即
4
9
3(
1)
0
−
−
−
=
,解得
7
12
=
．
51．2【解析】
2
2
2
2
2
1
2
2
|
|
|
|
|
|
1
|
|
(
)
3
3
x
x
x
x
y
x
y
xy
x
y
xy
x
=
=
=
+
+
+
+
+
b
e
e
2
2
1
1
3
3
1
( )
1
(
)
2
4
y
y
y
x
x
x
=
=
+
+
−
+
，所以|
|
|
|
x
b
的最大值为．
2
52．1
2
【解析】因为
为
的中点，所以
E
CD
1
1
2
2
BE
BC
CE
AD
DC
AD
AB
=
+
=
−
=
−
．
AD
AC
AB
=
+
，因为
·
1
AC BE = ，
所以
2
2
1
1
1
·
(
) (
)
1
2
2
2
AC BE
AD
AB
AD
AB
AD
AB
AB AD
=
−
+
=
−
+
=
，
即
2
1
1
1
cos60
1
2
2
AB
AB
−
+
= ，所以
2
1
1
0
2
4
AB
AB
−
+
=
，解得
1
2
AB =
．
53．4【解析】如图建立坐标系，
关注微信公众号：加油高三
x
y
则
(
)
1,1
a = −
，
(
)
6,2
b =
，
(
)
1,3
c = −
由
c
a
b
=
+
，可得
1
2,
2
= −
= −
，∴
4
=
54． b = 3 2 【解析】
2
2
2
10
(2
)
10
4
4
cos 45
10
a
b
a
b
b
b
−
=
−
=
+
−
=
3 2
b
=
55．（）
Ⅰ
3 10
10
,
10
10
（）
Ⅱ
2 5
5
−
【解析】（）由
Ⅰ
(
)
(
)
1,0 ,
1,1
a =
b =
，得
(
)
2
3,1
+
a
b =
.设与 2 +
a
b 同向的单位向量为
(
)
,x y
c =
，则
2
2
1,
3
0,
x
y
y
x
+
=
−
=
且,
0
x y
，解得
3 10 ,
10
10 .
10
x
y
=
=
故
3 10
10
,
10
10
c =
．即
与 2 +
a
b 同向的单位向量的坐标为
3 10
10
,
10
10
．
（）由
Ⅱ
(
)
(
)
1,0 ,
1,1
a =
b =
，得
(
)
3
2,1
−
−
b
a =
.设向量
3
−
b
a 与向量a 的夹角为，
则
(
)
(
) (
)
3
2,1
1,0
2 5
cos
3
5
5 1
−
−
=
=
= −
−
b
a a
b
a a
．
56．9
8
−
【解析】
2
2
2
3
4
9
4
a
b
a
b
a b
−
+
+
2
2
9
4
4
4
9
4
4
8
a
b
a b
a b
a b
a b
a b
+
−
+
−
−
57．
5
[
,
]
6
6
【解析】如图，向量与在单位圆O 内，因||
|
=1，|
1
≤，
且以向量，为邻边的平行四边形的面积为1
2
，故以向量，为边的
关注微信公众号：加油高三
三角形的面积为1
4
，故的终点在如图的线段AB 上（∥AB ，
且圆心O 到AB 的距离为1
2
），因此夹角的取值范围为
5
[
,
]
6
6
．
β
α
O
B
A
58．5
4
【解析】由题意知
1
2
1
2
(
2
)(
)
0
k
=
−
+
=
a b
e
e
e
e
,即
2
2
1
1 2
1 2
2
2
2
0
k
k
+
−
−
=
e
e e
e e
e
，
即
2
2
cos
2 cos
2
0
3
3
k
k
+
−
−
=
，化简可求得
5
4
k =
．
59．1【解析】向量a +b 与向量k a -b 垂直，∴
(
) (
)
0
k
+
=
a
b
a -b
，
化简得
(
1) (
1)
0
k −
+
=
a b
，易知
0
a b
，故
1
k =
．
60．
3
【解析】设a 与b 的夹角为，由题意有
(
) (
)
+
−
=
+
−
a
b
a
b
a
a b
b
cos
= −+
= −，所以
1
cos
2
=
，因此0
≤≤
，所以
3
=
．
61．－1【解析】
(1,
1),
(
) / /
1 2
(
1) ( 1)
0
m
m
+
=
−
+
−
−
−
=
由
得
a
b
a
a
c
，
所以m =
1
－．
62．【解析】（）因为
1
(cos ,sin )
x
x
=
a
，
(3,
3)
=
−
b
，∥
a
b，
所以
3cos
3sin
x
x
−
=
．
若
cos
0
x =
，则
sin
0
x =
，与
2
2
sin
cos
1
x
x
+
=
矛盾，故
cos
0
x
．
于是
3
tan
3
x = −
．
又
[0, ]
x
，所以
5
6
x
=
．
（2）
π
(cos ,sin ) (3,
3)
3cos
3sin
2 3cos(
( )
)
6
f x
x
x
x
x
x
=
=
−
=
−
=
+
a b
.
因为
[0, ]
x
，所以
π
π
π
7
[
,
]
6
6
6
x +
，
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从而
π
3
1
cos(
)
6
2
x
−
+
.
于是，当
π
π
6
6
x +
=
，即 0
x =
时，
( )
f x 取到最大值3；
当
π
6
x +
= ，即
5π
6
x =
时，( )
f x 取到最小值2 3
−
．
