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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题41 平面解析几何第一缉
1．【2021 年福建预赛】已知离心率为
❑√6
2 的双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为F1 、
F2, P 为双曲线上一点，R、r 分别为△P F1 F2 的外接圆、内切圆半径.若∠F1 P F2=60
° ,则R
r =
.
【答案】2❑√2+2
【解析】解法一：由题意可得c =
❑√6
2 a ，
在△F1 P F2 中，由正弦定理可得：2 R =
2c
sin ∠F1 P F2
=
❑√6a
sin 60
° =2❑√2a, R = ❑√2a ，
如图，不妨设点P 在双曲线右支上，△P F1 F2 的内切圆I 切x 轴于点D ,则由双曲线性质知,D 为双曲线
的右顶点,|F1 D|=c +a,|F2 D|=c -a.
则tan ∠I F1 F2= ID
F1 D =
r
c +a ,tan ∠I F2 F1= ID
F2 D =
r
c -a .
又∠I F1 F2+∠I F2 F1=60
° ，
因此,tan(∠I F1 F2+∠I F2 F1)=
r
c +a +
r
c -a
1-
r
c +a ⋅
r
c -a
==
2cr
c +ac -a = ❑√3 .
将c =
❑√6
2 a 代入上式，并整理得2r
2+2❑√2ar -a
2=0.
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结合r >0 ,解得r = 2- ❑√2
2
a=
1
2+ ❑√2 a .
所以, R
r = ❑√2(2+ ❑√2)=2❑√2+2 .
解法二:依题意,c =
❑√6
2 a .
记|P F1|=r1,|P F2|=r2 ,不妨设点P 在双曲线右支上,则r1-r2=2a .
在△P F1 F2 中，由正弦定理得：
2 R =
r1
sin ∠P F2 F1
=
r2
sin ∠P F1 F2
=
2c
sin ∠F1 P F2
= 4 ❑√3
3
c =2❑√2a
所以,R = ❑√2a ,且：
2a=r1-r2=2❑√2a⋅(sin ∠P F2 F1-sin ∠P F1 F2)
=2❑√2a⋅[sin(120
°-∠P F1 F2)-sin ∠P F1 F2]
=2❑√2a⋅(
❑√3
2 cos∠P F1 F2+ 1
2 sin ∠P F1 F2-sin ∠P F1 F2)
=2❑√2a⋅(
❑√3
2 cos∠P F1 F2- 1
2 sin ∠P F1 F2)
=2❑√2a⋅cos(∠P F1 F2+30
°).
因此,cos(∠P F1 F2+30
°)=
❑√2
2 .
又0
°<∠P F1 F2<90
°, 30
°<∠P F1 F2+30
°<120
°
所以,∠P F1 F2+30
°= 45
°,∠P F1 F2=15
° ,
r2=2❑√2a⋅sin ∠P F1 F2=2❑√2a⋅sin15
°=2❑√2a⋅
❑√6- ❑√2
4
=(❑√3-1)a,r1=(❑√3+1)a
△P F1 F2 周长l =r1+r2+2c =(❑√3+1)a+(❑√3-1)a+ ❑√6a=(2❑√3+ ❑√6)a ,
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△P F1 F2 的面积S = 1
2 r1r2sin 60
°=
❑√3
2 a
2 .由S =r ⋅l
2 ,得r =
❑√3a
2❑√3+ ❑√6 =
1
2+ ❑√2 a.
所以, R
r = ❑√2(2+ ❑√2)=2❑√2+2 .
2．【2021 年重庆预赛】过拋物线E: y
2=2 x 的焦点F 作两条斜率之积为- 1
2 的直线l1,l2 ,其中l1 交E 于
A,C 两点,l2 交E 于B,D 两点，则| AC |+2|BD| 的最小值为
.
【答案】18 ❑√2+6
【解析】设直线的倾斜角分别为α , β ,则tan α tan β =- 1
2 ,
从而| AC |+2|BD|=
2
sin
2α
+
4
sin
2 β
=
2
tan
2α
+
4
tan
2 β
+6
≥2❑√
8
tan
2α tan
2 β
+6=8 ❑√2+6 .
当且仅当|tan β |= ❑√2|tan α | 时等号成立.
3．【2021 年广西预赛】设点P 在椭圆x
2
5 + y
2=1 上，F1, F2 是该椭圆的两个焦点，若△F1 P F2 的面积
为
❑√3
3 ,则∠F1 P F2=
.
【答案】π
3
【解析】设∠F1 P F2=θ , P F1=m, P F2=n ,则¿ ,解得θ = π
3
.
4．【2021 年全国高中数学联赛A 卷一试】在平面直角坐标系xOy中,拋物线Γ : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F,
过Γ上一点P(异于O)作Γ的切线,与y轴交于点Q.若|FP|=2,|FQ|=1,则向量⃗OP与⃗OQ的数量积为
.
【答案】3
2
【解析】设P( t
2
2 p ,t )(t ≠0)，则Γ的切线PQ的方程为yt = p( x + t
2
2 p ).
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令x =0得y = t
2
,故Q(0, t
2).又F坐标为(
p
2 ,0)
,进而|FP|=
❑√(
p
2 - t
2
2 p)
2
+t
2= p
2 + t
2
2 p ,|FQ|=
❑√p
2+t
2
2
，
结合|FP|=2,|FQ|=1可分别得p
2+t
2= 4 p, p
2+t
2= 4.所以p=1,t
2=3.于是⃗OP⋅⃗OQ = t
2
2 = 3
2
.
5．【2021 年全国高中数学联赛B 卷一试】在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y =a x
2-3 x +3(a≠0)的
图像与拋物线y
2=2 px ( p>0)的图像关于直线y = x +m对称,则实数a, p,m的乘积为
.
【答案】-3
【解析】对拋物线y =a x
2-3 x +3上任意一点(x0, y0),
有y0=a x0
2-3 x0+3
①
设点(x0, y0)关于直线y = x +m的对称点为(x1, y1).
由y1+ y0
2
= x1+ x0
2
+m, x1+ y1= x0+ y0,可知x1= y0-m, y1= x0+m,
因(x1, y1)在拋物线y
2=2 px上,故(x0+m)
2=2 p( y0-m),
这等价于y0= 1
2 p x0
2+ m
p x0+ m
2
2 p +m
②
由点(x0, y0)取法的任意性,比较①、②得1
2 p =a, m
p =-3, m
2
2 p +m=3.
因此有3= m
p ⋅m
2 +m=-3⋅m
2 +m=- m
2
,解得m=-6,
故依次可得p=2,a= 1
4
（满足a≠0且p>0).从而apm=2⋅1
4 ⋅(-6)=-3.
6．【2020 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在平面直角坐标系xOy中,圆Ω经过点(0,0), (2,4) , (3,3) ,
则圆Ω 上的点到原点的距离的最大值为
.
【答案】2❑√5
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【解析】记A(2,4),B(3,3),圆Ω经过点O , A ,B.注意到∠OBA=90°(直线OB 与AB 的斜率分别为1 和-1),
故OA 为圆Ω的直径.从而圆Ω上的点到原点O的距离的最大值为|OA |=2❑√5.
7．【2020 年福建预赛】设F1, F2
为双曲线C : x
2
a
2 - y
2
b
2 =1(a>0,b>0) 的左、右焦点,过F2
的直线l 与双
曲线C 的右支交于A、B 两点,且⃑A F1⋅⃑A F2=0,⃑F2B+2⃑F2 A =⃑0 ，则双曲线C 的离心率为
【答案】
❑√17
3
【解析】
如图4,设|A F2|=t .
依题意有
|B F2|=2t
| AB|=3ι ,
|A F1|=2a+t ,
|B F1|=2a+2t
由⃑AF1⋅⃑AF2=0
⇒A F1⊥A F2.
则¿
⇒¿
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⇒t = 2
3 a,c =
❑√17
3
⇒e =
❑√17
3
.
8．【2020 年甘肃预赛】已知椭圆y
2
4 + x
2=1, P 为椭圆上的任意一点,过点P 分别作与l1: y =2 x 和l2:
y =-2 x 平行的直线分别与直线l2 ,l1 交于M , N 两点.则|MN| 的最大值为
.
【答案】2
【解析】如图5.
设P(xP, y P).
于是,平行于l1,l2
的直线分别为l3: y =2(x - xP)+ y P
,
l4: y =-2(x - xP)+ y P
.
由2 x -2 xP+ y P=-2 x
⇒xM = 2 xP- y P
4
, y M =- 2 xP- y P
2
.
由-2 x +2 xP+ y P=2 x
⇒xN = 2 xP+ y P
4
, y N = 2 xP+ y P
2
.
故M N
2=(
1
4 ×2 y P)
2
+(
1
2 ×4 xP)
2 = 1
4 yP
2 + 4 xP
2 .
又1
4 yP
2 + xP
2 =1 ,则M N
2=1+3 xP
2 ⩽4 .
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从而,MN ⩽2 ,当P(1,0) 或(-1,0) 时,MN =2 .
9．【2020 年广西预赛】已知O 为坐标原点,曲线C1: x
2- y
2=1 与曲线C2: y
2=2 px 交于点M、N.若
△OMN 的外接圆经过点P( 7
2 ,0) ,则曲线C2 的方程为
.
【答案】y
2= 3
2 x
【解析】如图2,设点M ( x0, y0), N ( x0,- y0) ,
T 为MN 与x 轴的交点.则T ( x0,0).
因为O、M、P、N 四点共圆,所以,由相交弦定理得OT ⋅TP = MT ⋅TN
⇒x0( 7
2 - x0)= y0
2=2 p x0( x0>0) .
解得x0= 7
2 -2 p ，
y0
2=2 p x0=7 p- 4 p
2
代人曲线C1 的方程得( 7
2 -2 p)
2
-(7 p- 4 p
2)=1
⇒32 p
2-84 p+ 45=0 .
解得p= 15
8 ( 舍去)或p= 3
4
.
故曲线C2 的方程为y
2= 3
2 x .
10．【2020 年吉林预赛】设椭圆x
2
4 + y
2
3 =1 的左焦点为F ,过(1,1) 的直线l 与橙圆交于点A、B.当
△FAB 的周长最大时,△FAB 的面积为
.
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【答案】3
【解析】设F1 为右焦点.注意到，
FA + FB+ AB
=2a- F1 A +2a- F1B+ AB
= 4 a-( F1 A + F1B - AB)⩽4 a ,
上式取等号时,l 过点F1 .于是,l 与x 轴垂直,此时,S△FAB=3.
11．【2020 年浙江预赛】某竹竿长为24 米,一端直在墙上,另一端落在地面上.若竹竿上某一节点到墙的垂直
距离和到地面的垂直距离均为7 米,则此时竹竿靠在墙上的端点到地面的垂直距离为
或
.
【答案】16± 4 ❑√2
【解析】
如图2,设l AB: y =k( x -7)+7 ，
则A(0,7 -7 k ) ,B(7- 7
k ,0) .
故(7-7 k )
2+(7- 7
k )
2
=24
2
⇒k
2-2k +1+ 1
k
2 - 2
k +1=( 24
7 )
2
⇒(k + 1
k )
2
-2(k + 1
k )+1=( 25
7 )
2
⇒k + 1
k =1± 25
7
⇒k + 1
k =- 18
7
⇒k =- 9
7 ± 4 ❑√2
7
⇒7(1-k )=7( 16
7 ∓4 ❑√2
7
)=16± 4 ❑√2 .
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12．【2020 年重庆预赛】已知⊙O: x
2+ y
2=5
与抛物线C :y
2=2 px( p>0) 交于点A( x0,2), AB 为
⊙O 的直径,过点B 的直线与抛物线C 交于两点D 、E.则AD 与AE 的斜率之积为
.
【答案】2
【解析】易知，点A(1,2),B(-1,-2) .
设D( x1, y1), E( x2, y2) .
由B、D、E 三点共线⇒y1+2
x1+1 = y2+2
x2+1
⇒y1 y2+2( y1+ y2)= 4
⇒k AD k AE= y1-2
x1-1 ⋅y2-2
x2-1
=
16
y1 y2+2( y1+ y2)+ 4 =2.
13．【2020 年新疆预赛】直线x -2 y -1=0 与抛物线y
2= 4 x 交于A,B 两点,C 为抛物线上的一点,
∠ACB =90
° ,则点C 的坐标为
.
【答案】(1,-2) 或(9,-6)
【解析】设A( x1, y1),B( x2, y2),C(t
2,2t ) , 由{x -2 y -1=0,
y
2= 4 x ,
得y
2-8 y - 4 =0, 则y1+ y2=8 ，
y1⋅y2=- 4 .又x1=2 y1+1, x2=2 y2+1 ,所以
x1+ x2=2( y1+ y2)+2=18 ,
x1⋅x2= 4 y1⋅y2+2( y1+ y2)+1=1 .
因为∠ACB =90
° ,所以⃗CA ⋅⃗CB =0 ,印有(t
2- x1)(t
2- x2)+(2t - y1)(2t - y2)=0 .
即:t
4-( x1+ x2)t
2+ x1⋅x2+ 4 t
2-2( y1+ y2)t + y1⋅y2=0 ，
即:t
4-14 t
2-16t -3=0 ,
即:(t
2+ 4 t +3)(t
2- 4 t -1)=0 .
显然t
2- 4t -1≠0 ,否则t
2-2⋅2t -1=0 ,则点C 在直线x -2 y -1=0 上，从而点C 与点A 或点B 重合.
所以t
2+ 4t +3=0 ,解得t1=-1,t2=-3.
故所求点C 的坐标为(1,-2) 或(9,-6) .
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14．【2019 年全国】设A，B 为椭圆Γ的长轴顶点，E，F 为Γ的两个焦点，|ABl=4，| AF |=2+ ❑√3，P 为
Γ上一点，满足| PE|⋅| PF |=2，则△PEF 的面积为
.
【答案】1
【解析】由题意知该椭圆可设为x
2
4 + y
2=1•∴PF + PE = 4 , EF =2❑√3.
由余弦定理，P F
2+ P E
2-2 PE⋅PF cos∠EPF =EF
2⇒12- 4 cos∠EPF =12.
所以cos∠EPF =0, sin ∠EPF =1⇒S ΔPEF= 1
2 PE⋅PFcos∠EPF =1.
15．【2019 年江苏预赛】已知与三条直线x + y =1, x +ay =2, x +2 y =3都相切的圆有且只有两个，则所有
可能的实数a的值的和为
.
【答案】3
【解析】由题意知，这三条直线中恰有两条平行时符合题意，故a=1或2，从而实数a的值的和为3.
16．【2019 年江西预赛】若△OAB 的垂心恰是抛物线y2=4x 的焦点,其中O 是原点,A,B 在抛物线上,则
△OAB 的面积S=
.
【答案】10 ❑√5.
【解析】抛物线的焦点为F(1,0),因F 为△OAB 的垂心,则OF⊥AB,故可设A,B 的坐
标为A(a2,2a),B(a2,-2a),(a>0);于是OA 的方程为ay=2x,K OA = 2
a
,
BF 的斜率K BF =-2a
a
2-1
,据K BF⋅K OA =-1,得a= ❑√5，因此AB = 4 ❑√5, h=a
2=5.
所以S ΔOAB=10 ❑√5.
17．【2019 年内蒙古预赛】已知(a,b),(c ,d ),( x , y)是圆心在原点的单位圆上三个点的坐标,则
(ax +by -c)
2+(bx -ay +d )
2+(cx +dy +a)
2+(dx -cy -b)
2=
.
【答案】4
【解析】原式=(a
2+b
2)(x
2+ y
2+1)+(c
2+d
2)(x
2+ y
2+1)= 4
18．【2019 年浙江预赛】设三条不同的直线:l1:ax +2by +3(a+b+1)=0，l2:bx +2(a+b+1) y +3a=0，
l3:(a+b+1)x +2ay +3b=0，则它们相交于一点的充分必要条件为
.
【答案】a+b=- 1
2
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【解析】设c =a+b+1，设三条直线相交于点(x , y)，则有¿，
消去x , y得a
3+b
3+c
3-3abc =0，即(a+b+c)(a
2+b
2+c
2-ab-bc -ac)=0，
把c =a+b+1代入得(2a+2b+1)[(a-b)
2+(b+1)
2+(a+1)
2]=0，
当(a-b)
2+(b+1)
2+(a+1)
2=0时，解得a=b=-1，不合题意舍去;
所以2a+2b+1=0，解得a+b=- 1
2
.
反之，当a+b=- 1
2
时，方程组有解.
19．【2019 年重庆预赛】已知△ABC为椭圆x
2
9 + y
2
4 =1的内接三角形，且AB过点P(1,0)，则△ABC的面
积的最大值为________.
【答案】 16 ❑√2
3
【解析】经伸缩变换¿得△A
' B
'C
'内接于圆X
2+Y
2=1，A
' B
'过点P
'(
1
3 ,0)
，
S△ABC =6 S△A
' B
'C
'，设O
'距A
' B
'的距离为t，则0≤t ≤1
3
，|A
' B
'|=2
❑√1-t
2，S△A
' B
'C
'≤
❑√1-t
2·(1+t )，易知
当 t = 1
3 时，S△A
' B
'C
'有最大值为8 ❑√2
9
，∴S△ABC的最大值为 16 ❑√2
3
.
20．【2019 年福建预赛】已知椭圆C1: x
2
a
2 + y
2
b
2 =1 (a>b>0)与双曲线C2: x
2
m
2 - y
2
n
2 =1 (m>0, n>0)有相
同的焦点F1, F2，其中F1为左焦点.点P 为两曲线在第一象限的交点，e1,e2分别为曲线C1,C2的离心率，
若△P F1 F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2-e1的取值范围为
.
【答案】(
2
3 ,+∞)
【解析】设双曲线的焦距为2c.
则依题意，有|P F2|=|F1 F2|=2c ,|P F1|=2a-2c =2m+2c , e1= c
a , e2= c
m
.
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由¿得¿.于是1
3 <e1< 1
2
，
又e2= c
m =
c
a-2c =
e1
1-2e1
∴e2-e1=
e1
1-2e1
-e1
.
设1-2e1=t，则t ∈(0, 1
3)
，
由f (t )= 1
2(t + 1
t)-1在区间(0, 1
3)
上为减函数，得f(t)值域为(
2
3 ,+∞)
.
∴e2-e1
的取值范围为(
2
3 ,+∞)
.
21．【2019 年广西预赛】已知点P(-2,5)在圆C : x
2+ y
2-2 x -2 y + F =0上,直线l:3x+4y+8=0 与圆C 相交
于A、B 两点,则⃗AB⋅⃗BC =
.
【答案】-32
【解析】依题意有F =-23⇒圆C:(x-1)2+(y-1)2=25
记AB 中点为D,AC 中点为E,则⃑AB⋅⃑BC =|⃑AC |
2- 4|⃑BE|
2
4
又CD =|3+ 4 +8|
5
=3,所以cos∠ACD = CD
AC = 3
5
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则有cos∠ACB =2cos
2∠ACD -1=- 7
25
.
故B E
2=C E
2+C B
2-2CE⋅CB⋅cos∠ACB = 153
4
所以⃑AB⋅⃑BC =-32
22．【2019 年吉林预赛】若直线2x+y-2=0 与直线x+my ー1=0 互相垂直,则点P(m,m)到直线x+y+3=0 的距
离为
.
【答案】
❑√2
2
【解析】直线2 x + y -2=0的斜率为k1=-2.直线x+my-1=0 的斜率为k2=- 1
m
,因为两直线互相垂直,所以
(-2)×(
1
m)=-1.解得m=-2,故P(-2,-2),所以P 到直线x+y+3=0 的距离为|-2-2+3
❑√2
=
❑√2
2
.
23．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】设A、B 为椭圆Γ的长轴顶点，E、F 为Γ的两个焦点，
| AB|= 4，| AF |=2+ ❑√3，P 为上一点，满足| PE|⋅| PF |=2，则△PEF 的面积为
.
【答案】1
【解析】不妨设平面直角坐标系中的标准方程为x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0).
根据条件得2a=|AB|=4，a±
❑√a
2-b
2=| AF |=2+ ❑√3
，可知a=2，b=1，
且由椭圆定义知|PE|+|PF|=2a=4，结合| PE|⋅| PF |=2得
| PE|
2+| PF |
2=(| PE|+| PF |)
2-2| PE|⋅| PF |=12=| EF |
2，
所以∠EPF 为直角，进而S△PEF = 1
2 ⋅| PE|⋅| PF |=1.
24．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】在平面直角坐标系中，若以(r+1，0)为圆心、r 为半径的圆上
存在一点(a，b)满足b2≥4a，则r 的最小值为
.
【答案】4
【解析】由条件知(a-r -1)
2+b
2=r
2，故4 a⩽b
2=r
2-(a-r -1)
2=2r(a-1)-(a-1)
2.
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即a
2-2(r -1)a+2r +1⩽0.
上述关于a 的一元二次不等式有解，故判别式[2(r -1)]
2- 4(2r +1)= 4 r(r - 4)⩾0，解得r≥4.
经检验，当r=4 时，(a,b)=(3,2❑√3)满足条件.因此r 的最小值为4.
25．【2018 年山西预赛】若双曲线L1
的两个焦点分别是椭圆L2: x
2
5
2 + y
2
4
2 =1的两个顶点，而双曲线L1
的两
条准线分别通过椭圆L2的两个焦点，则双曲线L1的方程是：________.
【答案】x
2
15 - y
2
10 =1
【解析】
椭圆的长轴顶点为A (-5,0),B (5,0)，则其焦点在X 轴上，用c1，c2分别表示L1, L2的半焦距，则c1=5，
而c2
2=5
2- 4
2=9，c2=3；所以椭圆焦点为F1(-3,0), F2(3,0).所以双曲线的实轴为X 轴，设其方程为
x
2
a
2 - y
2
b
2 =1，由a
2
c1
=3，所以a
2=15.b
2=c1
2-a
2=5
2-15=10，因此双曲线L1
的方程是x
2
15 - y
2
10 =1.
26．【2018 年江苏预赛】圆心在抛物线x
2=2 y上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为
________.
【答案】( x +1)
2+( y - 1
2 )
2
=1和( x -1)
2+( y - 1
2 )
2
=1
【解析】
抛物线x
2=2 y的准线方程为y =- 1
2
.
设所求圆的圆心为( x0, y0)，则x0
2=2 y0，且| x0|= y0+ 1
2
，解得x0=±1，y0= 1
2
，
故所求圆的方程为( x ±1)
2+( y - 1
2 )
2
=1.
故答案为：( x +1)
2+( y - 1
2 )
2
=1和( x -1)
2+( y - 1
2 )
2
=1
27．【2018 年贵州预赛】己知O 为△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足⃑OP=⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，
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其λ∈[0，+ ∞]，则P 点的轨迹为________．
【答案】∠BAC 的角平分线
【解析】⃑
OP =⃑OA + λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)⇒= λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
,
而(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
，且λ∈[0，+∞]，
所以λ(⃑
AB
|⃑AB|+⃑AC
|⃑AC|)
表示∠BAC 的角平分线上的一个向量．
因此，P 点的轨迹为∠BAC 的角平分线．
故答案为：∠BAC 的角平分线
28．【2018 年湖南预赛】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=3，AD=2,，CC1=1，一条绳子从点A 沿表面
拉到点C1，则绳子的最短的长度_______.
【答案】3 ❑√2
【解析】
①沿平面A A 1B 1B、平面 A 1B 1C 1D 1铺展成平面，此时 AC 1=3 ❑√2，
②沿平面 AA 1D 1D、平面 A 1D 1C 1B 1铺展成平面，此时 AC =2❑√5，
③沿平面 AA 1B 1B、平面 BB 1C 1C 铺展成平面，此时 AC 1=2❑√6
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故绳子的最短的长为3 ❑√2.
故答案为3 ❑√2.
29．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
【答案】1
3
【解析】
所求概率=
S Δ A
' B
' F
S梯形A A
' B
' B
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|A A
'|+|B B
'|)
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|AF|+|BF|)
= |A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅3 p
= 1
3
.
30．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
【答案】1
3
【解析】
所求概率=
SΔ A
' B
' F
S梯形A A
' B
' B
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|A A
'|+|B B
'|)
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|AF|+|BF|)
= |A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅3 p
= 1
3
.
31．【2018 年陕西预赛】如图，已知抛物线y =2 px ( p>0)的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线
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交于A ,B两点，且|AB|=3 p.设点A ,B在l上的射影为A
' ,B
'，今向四边形A A
' B
' B内任投一点M，则点
M落在ΔF A
' B
'内的概率是________.
【答案】1
3
【解析】
所求概率=
SΔ A
' B
' F
S梯形A A
' B
' B
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|A A
'|+|B B
'|)
=
|A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅(|AF|+|BF|)
= |A
' B
'|⋅p
|A
' B
'|⋅3 p
= 1
3
.
32．【2018 年广东预赛】已知关于x的实系数方程x
2-2 x +2=0和x
2+2mx +1=0的四个不同的根在复平
面内对应的点共圆。则m取值的集合是______.
【答案】¿
【解析】
易知方程x
2-2 x +2=0的两根为x1=1+i，x2=1-i.
当Δ= 4 m
2- 4<0，即-1<m<1时，方程x
2+2mx +1=0有两个共轭的虚根x3、x4，且x3、x4的实部为
-m≠1，此时，x1、x2对应的点在以x3、x4对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为
(x - x3)(x - x4)+ y
2=0，
即x
2+ y
2-(x3+ x4) x + x3 x4=0.
将x3+ x4=-2m，x3 x4=1 及x1、x2对应点的坐标(1,±1)代入方程，得m=- 3
2
.
故m 的取值范围是¿.
33．【2018 年广东预赛】已知圆x
2+ y
2=8围成的封闭区域内（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数
是椭圆x
2
a
2 + y
2
4 =1围成的封闭区域内（含边界）整点数的1
5
，则正实数a的取值范围是_________.
【答案】22≤a<23
【解析】
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圆x
2+ y
2=8围成的封闭区域内的整点数为1+ 4×2+ 4∑
x =1
2
[❑√8- x
2]=9+ 4([❑√7]+2)=25，
x
2
a
2 + y
2
4 =1围成的封闭区域内的整点数为5+2×[a]+ 4∑
x =1
[a]
[2❑√
1- x
2
a
2]
.
对任意k ∈N ，1≤k ≤[a]，2❑√
1- k
2
a
2 <2⇒[2❑√
1- k
2
a
2]≤1，且2❑√
1- k
2
a
2 =1⇔2k
❑√3 ≤a<[a]+1.
令m 是满足上式k 的最大整数，则125=5+2×[a]+ 4∑
x =1
[a]
[2❑√
1- x
2
a
2]
=5+2[a]+ 4 m≤5+6[a]⇒[a]≥20.
注意到2×17
❑√3
＜20，可得m≥17，因此125=5+2[a]+ 4 m≥5+2[a]+68⇒[a]≤26.
若[a]≥23，则由2×19
❑√3 <23，可知满足条件2m
❑√3 ≤a<[a]+1的最大整数m≥19，
因此125=5+2[a]+ 4 m≥5+2×23+ 4×19=127，矛盾.所以20≤[a]≤22.
若[a]=20，则125=5+2×20+ 4 m⇒m=20，但2×20
❑√3
＞21，与2m
❑√3 ≤a<[a]+1=21矛盾.
若[a]=21，则125=5+2×21+ 4 m⇒4 m=78，不可能
因此[a]=22，125=5+2×22+ 4 m⇒m=19，不难验证2×19
❑√3 <22≤a<[a]+1=23< 2×20
❑√3
.
故22≤a<23.
故答案为：22≤a<23
34．【2018 年贵州预赛】函数 z =
❑√2 x
2-2 x +1+
❑√2 x
2-10 x +13
的最小值是______．
【答案】❑√10
【解析】
因为z =
❑√2 x
2-2 x +1+
❑√2 x
2-10 x +13=
❑√( x -0)
2+( x -1)
2+
❑√( x -2)
2+( x -3)
2
此即为直线y=x 上的点（x，y）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为
点（1，0）到点（2，3）的距离❑√10．
故答案为：❑√10
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35．【2018 年山东预赛】若直线6 x -5 y -28=0交椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1（a>b>0，且a
2、b为整数）于点
A 、C．设B (0,b)为椭圆的上顶点，而△ABC的重心为椭圆的右焦点F2，则椭圆的方程为______．
【答案】x
2
20 + y
2
16 =1
【解析】
设A(x1, y1)，C (x2, y2)，
由题意△ABC的重心为椭圆的右焦点F2，整理得x2+ x1=3c，y2+ y1=-b．
由A(x1, y1)，C (x2, y2)在直线6 x -5 y -28=0上，得到y2- y1
x2- x1
= 6
5
．
由A(x1, y1)，C (x2, y2)在椭圆x
2
a
2 + y
2
b
2 =1(a>b>0)上，得到x1
2
a
2 + y1
2
b
2 =1，x2
2
a
2 + y2
2
b
2 =1．
两式相减并整理得- b
2
a
2 = ( y2+ y1)( y2- y1)
(x2+ x1)(x2- x1)
=-b
3c ⋅6
5
，
整理得2a
2=5bc． ①
因为A(x1, y1)，C (x2, y2)在直线6 x -5 y -28=0上，
所以有6 x1-5 y1-28=0，6 x2-5 y2-28=0．
将x1+ x2=3c，y1+ y2=-b代入得6×3c -5(-b)-56=0，
整理得18c +5b=56． ②
联立①②，且注意到a、b为整数，解得c =2，b= 4，a
2=20．
故所求的椭圆方程为x
2
20 + y
2
16 =1．
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