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备战2022 年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷
（新高考）
第三模拟
（试卷满分150 分，考试用时120 分钟）
姓名_____________ 班级_________ 考号
_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个
选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
因为
，
，
所以
故选：D
2．若复数满足
，则的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
复数满足方程
，
，
的虚部为1.
故选：C．
3．已知正四棱锥
的所有顶点都在球
的球面上，且正四棱锥
的底面
面积为6，侧面积为
，则球
的体积为（ ）
2
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
设底面边长为
，侧棱长为
，
因为底面面积为6，所以
，得
，
因为侧面积为
，
所以
，解得
，
连接
交于点
，连接
，则可得
平面
，，
所以四棱锥
的高
，
点
在
上，连接
，设球的半径为
，则
，解得
，
所以球
的体积为
，
故选：A
4．已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．7
D．
【答案】A
【详解】
由
，可得
，
两边平方得
，可得
，
3
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因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
联立方程组，可得
，所以
，
所以
.
故选：A.
5．设双曲线E：
的离心率为，直线过点
和双曲线E 的一个焦点，
若直线与圆
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
不妨设直线右焦点
，则直线的方程为
，即
，
由直线与圆
相切，且
，
可得
，整理得
，即
，
即
，可得
，即
，
解得
或
，
因为
，可得
，所以
.
故选：D.
6．
最大值为2，满足
，
则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】B
【详解】
因为
最大值为2，
4
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所以
，
解得
，
又因为
，
所以
的图象关于
对称，
所以
，
，
所以
，
即
，
因为
，
所以
，
故选：B
7．已知偶函数
在
上单调递增，若
，
，
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
因为
是偶函数，所以
，
因为
，
所以
，
因为
在
，
上的单调递增，
所以
，
即
．
故选：B．
8．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段事件内没有发生大规模群体
感染的标志是“连续
日，每天新增疑似病例不超过人”．过去
日，甲、乙、丙、丁
四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：总体平均数为，中位数为
；
乙地：总体平均数为，总体方差大于；
5
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丙地：中位数为
，众数为；
丁地：总体平均数为
，总体方差为．
则甲、乙、丙、丁四地中，一定没有发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地
B．乙地
C．丙地
D．丁地
【答案】D
【详解】
对于甲地，若连续
日的数据为
，则满足平均数为，中位数为
，
但不符合没有发生大规模群体感染的标志，A 错误；
对于乙地，若连续
日的数据为
，则满足平均数为，方差大于，但
不符合没有发生大规模群体感染的标志，B 错误；
对于丙地，若连续
日的数据为
，则满足中位数为
，众数为，但不
符合没有发生大规模群体感染的标志，C 错误；
对于丁地，若总体平均数为
，假设有一天数据为人，则方差
，
不可能总体方差为，则不可能有一天数据超过人，符合没有发生大规模群体感染的标志，
D 正确.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项
中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、
生物、政治、历史、地理6 门学科中任选3 门进行学习.现有甲、乙、丙三人，则下列结论
正确的是（ ）
A．如果甲必选物理，则甲的不同选科方法种数为10
B．甲在选物理的条件下选化学的概率是
C．乙、丙两人至少一人选化学与这两人全选化学是对立事件
D．乙、丙两人都选物理的概率是
【答案】AD
【详解】
对于A，甲必选物理，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选2 门，则甲的不同选科
方法种数为
，故A 正确；
对于B，甲在选物理的条件下，还需从化学、生物、政治、历史、地理中选2 门，共
种，其中选化学的有
种，则甲在选物理的条件下选化学的概率是
，故
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B 错误；
对于C，乙、丙两人至少一人选化学包含乙、丙两人全选化学，故C 错误；
对于D，乙选物理的概率为
，丙选物理的概率为
，因为乙选物理和丙选物理
相互独立，所以乙、丙两人都选物理的概率是
，故D 正确；
故选：AD
10．已知向量
，则（ ）
A．若与
垂直，则
B．若
，则
的值为
C．若
，则
D．若
，则与
的夹角为
【答案】ABC
【详解】
A. 若与
垂直，则
，
，正确；
B. 若
，则
，
，
，正确；
C. 若
，
，
，正确；
D. 若
，
，
，D 错误，
故选：ABC．
11．已知直线
，曲线
，则下列说法不正确的是
（ ）
A．“
”是曲线C 表示圆的充要条件
B．当
时，直线l 与曲线C 表示的圆相交所得的弦长为1
C．“
是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件
D．当
时，曲线C 与圆
有两个公共点
【答案】ABD
【详解】
对于A，曲线
，曲线
要表示圆，
则
，解得
或
，所以“
”是曲线表示圆的充分不必要条件，故A 错
误；
对于B，
时，直线
，曲线
，
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圆心到直线的距离
，所以弦长
，故
B 错误；
对于C，若直线与圆相切，圆心到直线的距离
，所以“
是直线与曲线表示的圆相切的充分不必要条件，C 正确；
对于D，当
时，曲线
，其圆心坐标
，
，
曲线
与圆
两圆圆心距离为
，故两圆相离，不
会有两个公共点，D 错误.
故选：ABD
12．已知正方体
的棱长为2，动点
在正方形
内，则（ ）
A．若
，则三棱锥的
的外接球表面积为
B．若
平面
，则
不可能垂直
C．若
平面
，则点
的位置唯一
D．若点
为
中点，则三棱锥
的体积是三棱锥
体积的一半
【答案】CD
【详解】
解：如图，建立空间直角坐标系：
则
，
由于动点
在正方形
内，可设
，其中
，
对于A 选项，由于
，则
为
的中点，此时
，
设三棱锥的
的外接球的球心为
，
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则
，即
，
解得：
，所以
，
则三棱锥的
的外接球的半径为
，
所以三棱锥的
的外接球表面积为
，故A 不正确；
对于B 选项，设平面
的法向量为
，
，
，
则
，令
，得
，故
，
而
，若
平面
，则
，
则
，即
，所以
，
此时
，而
，
所以
，
当
时，
，此时
，则
，故B 不正确；
对于C 选项，若
平面
，则
，
由于
，
，
则
，解得：
或
（舍去），
此时
，即点
的位置唯一，使得
平面
，故C 正确；
对于D 选项，点
为
中点，由正方体可知
平面
，
三棱锥
的体积为：
，
由于
在正方形
内，则
到平面
为
，
三棱锥
体积为：
，
而
，所以
，
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所以三棱锥
的体积是三棱锥
体积的一半，故D 正确.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．已知函数
为奇函数，
，若当
时，
，
则
______．
【答案】
【详解】
为奇函数，
，解得：
；
，
，
是周期为
的周期函数，
.
故答案为：
.
14．已知直线l 分别切抛物线
（
）和圆
于点A，B（A，B 不重
合），点F 为抛物线的焦点，当
取得最小值时，
___________.
【答案】
【详解】
设
，
，所以
，
所以
，
所以直线的方程为
，则
，
把
代入，可解得
，
∴
，当且仅当
时等号成立，所以
.
故答案为：
15．函数
满足：
若
恒成立，则的
取值范围为___________．
【答案】
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【详解】
由题可得,
,所以
,(
为常数),即
,而
,
所以
,即
,
,设
,
,所以
在
上递减,在
上递增,即
,所以
.
可等价于
,解得
.
故答案为：
.
16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自
然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的
本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自
然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为
，总结规律并以此类推下去，第
个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列
，则
________．
【答案】
【详解】
记第
个图形的点数为
，由题意知
，
，
，
，…，
，
累加得
，
即
，所以
．又
，
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所以
．
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
17．已知数列
的前n 项和Sn＝2n＋1＋A，若
为等比数列.
（1）求实数A 及
的通项公式；
（2）设bn＝log2an，求数列{anbn}的前n 项和Tn.
【答案】
（1）根据题意，数列
的前n 项和Sn＝2n＋1＋A，
则a1＝S1＝22＋A＝4＋A，
a2＝S2－S1＝（23＋A）－（22＋A）＝4，
a3＝S3－S2＝（24＋A）－（23＋A）＝8，
又由
为等比数列，则a1×a3＝（a2）
2，即（4＋A）×8＝42＝16，
解可得A＝－2，
则a1＝4－2＝2，即数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
则
，
（2）设
，则设
，
则
，
故
，①
则有
，②
①－②可得：
，
变形可得：
，
故
.
18．
年月，习近平总书记对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传
教育，切实培养节约习惯，在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围．为贯彻总书记指示，
大庆市某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂宣传节约粮食的相关活动．现已有高一
人，高二
人，高三
人报名参加志愿活动．根据活动安排，拟采用分层抽样的方法，
从已报名的志愿者中抽取
名志愿者，参加为期
天的第一期志愿活动.
（1）第一期志愿活动需从高一、高二、高三报名的学生中各抽取多少人？
（2）现在要从第一期志愿者中的高二、高三学生中抽取
人去粘贴宣传标语，设这
人中
含有高二学生
人，求随机变量
的分布列和期望；
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（3）食堂每天约有
人就餐，其中一组志愿者的任务是记录学生每天倒掉的剩菜剩饭的
重量（单位：公斤），以
天为单位来衡量宣传节约粮食的效果．在一个周期内，这组志
愿者记录的数据如下：
前
天剩菜剩饭的重量为：
；
后
天剩菜剩饭的重量为：
，
借助统计知识，分析宣传节约粮食活动的效果．
【答案】
（1）报名的学生共有126 人，抽取的比例为
，
所以高一抽取
人，高二抽取
人，高三抽取
人．
（2）随机变量X 的取值为2，3，4，
，
，
．
所以随机变量X 的分布列为
2
3
4
（3）
所以前10 天的平均值为
，后10 天的平均值为
，且
，
所以宣传节约粮食活动的效果很好
19．记△
的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知
，点M
在AC 上，且
，
.
（1）求B；
（2）若
，求
的面积.
【答案】
（1）由题设，
，又
，
∴
，则
，又
，
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∴
，
，可得
.
（2）
，又
，
∴
，则
，
，
，
∴
，可得
或
(舍)，
∴
.
20．在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
是
的中点，
在线段
上，且满足
.
（1）求证：
平面
；
（2）求平面
与平面
夹角的余弦值.
（3）在线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值是
，若存在，
求出
的长；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）取
的中点
，连接
，
，
因为
是
的中点，所以
，且
，
因为
，且
，所以
且
，
所以四边形
是平行四边形，可得
，
因为
面
，
面
，所以
平面
（2）因为
，
，所以
，
因为
平面
，
面
，
面
，
所以
，
，
两两垂直，
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以
为原点，分别以
，
，
所在的直线为
轴建立空间直角坐标系，
因为
，在等于直接三角形
中，
，
则
，
，
，
，设
，
，
，由
，可得：
，
所以
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，令
，则
，
，所以
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，令
，则
，
，所以
，
所以
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
（3）由（2）知：平面
的一个法向量
，
假设在线段
上是否存在点
，设
，
，
则
，
因为
与平面
所成角的正弦值是
，
所以
，
整理可得：
，解得：
或
（舍），
，
所以在线段
上是否存在点
符合题意，
的长为
.
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21．已知点
，
，直线
与直线
的斜率之积为
.
（1）求点M 的轨迹
方程；
（2）点N 是轨迹
上的动点，直线
，
斜率分别为
，
满足
，求
中点横坐标
的取值范围.
【答案】
（1）解：设
，因为直线
与直线
的斜率之积为
，所以
，
可得
.
所以点
的轨迹
方程为
（除去点
）.
（2）解：设直线
的方程为
，
，
，
由
消去
得：
（*），
所以
，
，
由（1）知：
，
，∴
.
∴
，
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得
，此时方程（*）有两个不同的实根，符合题意.
.
22．设函数
，
（1）求
的单调区间；
（2）设
，求证：
，恒有
.
（3）若
，函数
有两个零点
，求证
.
【答案】
（1）函数
的定义域为
，
且
，
当
时，由
可得
，由
可得
，
因此函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，
恒成立，此时
的单调递增区间为
，
综上所述：当
时，
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
.
（2）
，
，
所以
，
因为
，
所以当
时，
，函数
在区间
上单调递减，
当
时，
，
，
所以
，其中
，
构造函数
，其中
，
，
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则
，所以函数
在
上单调递增，
则
，
所以函数
在
上单调递增，
，
所以对于
、
，恒有
；
（3）因为
，则
，
所以函数
单调递增，且
，
要证
，即证
，
即证
，即证
，
因为函数
有两个零点
，
由题意可得
，
上述两个等式作差得
，
下面先证明
，只需证：
，
整理得
，即证
，
设
，不妨设
，则
，
所以函数
在
上单调递增，所以
，
因为
，所以
，故原不等式
成立.
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