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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题38 排列组合与图论第一缉
1．【2021 年重庆预赛】已知xi∈{-1,1},i=1,2,…,2021 ,并且x1+ x2+⋯+ xk ≥0(k =1,2,…,2020) ，
x1+ x2+⋯+ x2021=-1 .则有序数组(x1, x2,⋯, x2021) 的组数为
.
2 ．【2021 年浙江预赛】对于正整数n , 若( xy -5 x +3 y -15)
n 展开式经同类项合并，
x
i y
j(i , j =0,1,⋯,n) 合并后至少有2021 项,则n 的最小值为
.
3．【2021 年广西预赛】某学校在不同时段开设了三门选修课，要求每位学生至少选择其中一门,则A、
B、C 三位学生可牟的选法有
种.
4．【2021 年新疆预赛】将正整数中所有数码不超过5 的数从小到大排成一列，则第2021 个数是
.
5．【2020 高中数学联赛A 卷（第01 试）】现有10 张卡片,每张卡片上写有1,2,3,4,5 中两个不同的数,且任
意两张卡片上的数不完全相同.将这10 张卡片放入标号为1,2,3,4,5 的五个盒子中,规定写有i,j 的卡片只能放
在i 号或j 号盒子中.一种放法称为"好的",如果1 号盒子中的卡片数多于其他每个盒子中的卡片数.则"好
的"放法共有
种.
6．【2020 年四川预赛】已知正四面体的四个表面上分别写有数字1、2、3、,将四个这样的密度均匀的正
四面体同时投掷于桌面上,与桌面接触的四个面上的四个数的和能被4 整除的概率为
.
7．【2020 年重庆预赛】有长为2
n(n=0,1,⋯,1009) 的线段各三条,则由这3030 条线段能构成不全等的三
角形的个数为
.(用数字作答).
8．【2019 年全国】将6 个数2，0，1，9，20，19 按任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为
0），则产生的不同的8 位数的个数为
.
9．【2019 年内蒙古预赛】方程x1
2+ x2+ x3+ x4+ x5=10的非负整数解的个数为
.
10．【2019 年新疆预赛】设n为正整数.若1+2+⋯+n的和恰好等于一个三位数且该三位数的每个数字均
相同，则所有可能的n值为
.
11．【2019 年浙江预赛】在复平面上，任取方程z
100-1=0的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的
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锐角三角形的数目为
.
12．【2019 年贵州预赛】若(a+b)n的展开式中有连续三项的二项式系数成等差数列,则最大的三位正整数n=
.
13．【2019 高中数学联赛A 卷（第01 试）】将6 个数2、0、1、9、20、19 按任意次序排成一行，拼成一
个8 位数(首位不为0)，则产生的不同的8 位数的个数为
.
14．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】将5 个数2，0，1，9，2019 按任意次序排成一行，拼成一个
8 位数(首位不为0)，则产生的不同的8 位数的个数为
.
15．【2019 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设整数n>4，( x +2❑√y -1)
n的展开式中x
n-4与xy 两项的系数
相等，则n 的值为
.
16．【2018 年湖南预赛】从-3、-2、-1、0、1、2、3、4 八个数字中，任取三个不同的数字作为二次函数
f ( x)=a x
2+bx +c(a≠0)的系数.若二次函数的图象过原点，且其顶点在第一象限或第三象限，这样的二
次函数有_____个.
17．【2018 年湖南预赛】(| x|+
1
| x| -2)
3的展开式中常数项为_____.
18．【2018 年广东预赛】袋中装有m 个红球和n 个白球，m＞n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同
色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m，n）的个数为_______.
19．【2018 年广西预赛】把16 本相同的书全部分给4 名学生，每名学生至少有一本书且所得书的数量互
不相同，则不同的分配方法种数为__________.（用数字作答）
20．【2018 年安徽预赛】把1，2，…，n
2按照顺时针螺旋方式排成n 行n 列的表格T n，第一行是1，
2，…，n.例如：T 3=[
123
894
765]
.设2018 在T 100的第i 行第j 列，则（i，j）=___________.
21．【2018 年河南预赛】将圆的一组n等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次
记录k (k ≤n)个点的颜色，称为该圆的一个“k阶色序”，当且仅当两个k阶色序对应位置上的颜色至少有
一个不相同时，称为不同的k阶色序．若某圆的任意两个“3 阶色序”均不相同，则该圆中等分点的个数最
多可有______个．
22．【2018 年浙江预赛】在八个数字2，4，6，7，8，11，12，13 中任取两个组成分数.这些分数中有
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________个既约分数.
23．【2017 高中数学联赛A 卷（第01 试）】若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过1，则称其为
“平稳数”平稳数的个数是
.
24．【2017 年天津预赛】(❑√x +1)
4(x -1)
5的展开式中,x
4的系数是
.
25．【2017 年河北预赛】设(x +1)
2017=a0 x
2017+a1 x
2016+a2 x
2015+⋯+a2016 x +a2017
,那么
a1+a5+a9+⋯+a2017的值为
.
26．【2017 年江西预赛】设(1+ x + x
2)
n=a0+a1 x +a2 x
2+⋯+a2n x
2n,则a2+a4+a6+⋯+a2n=
.
27．【2017 年河南预赛】一张试卷共4 道单项选择题,每道选择题有三个选项(A)、(B)、(C).若干名学生参
加考试,阅卷后发现:任意3 人都有1 道题目的答案各不相同，且每个学生不留空题,则参加考试的学生最多
有
人.
28．【2017 年黑龙江预赛】拋物线y
2=ax (a>0)与直线x =1围成的封闭图形的面积为4
3
,则二项式(x + a
x)
20
展开式中含x
-18项的系数是
.
29．【2017 年浙江预赛】在多项式(x -1)
3(x +2)
10的展开式中x
6的系数为
.
30．【2017 年江苏预赛】从正1680 边形的顶点中任取若千个,顺次相连成多边形.其中正多边形的个数为
.
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