1 / 9
备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题30 数列第六缉
1．【2018 年广西预赛】设an=2
n，n∈N
*，数列{bn}满足b1an+b2an-1+⋯+bna1=2
n- n
2 -1，求数列
{an⋅bn}的前n 项和.
2．【2018 年广西预赛】设a1,a2,⋯,an为非负数，求证：
❑√a1+a2+⋯+an+ ❑√a2+a3+⋯+an+ ❑√a3+⋯+an+⋯+ ❑√an ≥
❑√a1+ 4 a2+9a3+⋯+n
2an
.
3．【2018 年甘肃预赛】设等比数列{an}的前n项和为Sn
，且an+1=2Sn+1（n∈N
*）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）在an与an+1
之间插入n个实数，使这n+2个数依次组成公差为dn
的等差数列，设数列{
1
dn}
的前n项
和为T n，求证：T n< 15
8
．
4．【2018 年吉林预赛】数列{an}为等差数列，且满足3a5=8a12>0，数列{bn}满足
bn=an⋅an+1⋅an+2(n∈N
*)，{bn}的前n 项和记为Sn.问：当n 为何值时，Sn取得最大值，说明理由.
5．【2018 年河南预赛】在数列{an}中，a1、a2
是给定的非零整数，an+2=|an+1-an|．
（1）若a16= 4，a17=1，求a2018；
（2）证明：从{an}中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数项．
6．【2018 年河北预赛】已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an+an
2(n∈N
*).记
2 / 9
Sn=
1
（1+a1)(1+a2)...(1+an) ，T n=∑
k =1
n
1
1+ak
求Sn+T n
的值。
7．【2018 年河北预赛】已知数列{an}中a1= 1
2 ,an+1= 1
2 an+ 2n+1
2
n+1 (n∈N
*)，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{an}的前n 项和Sn
.
8．【2018 年四川预赛】已知数列{an}满足：a1=1,an+1= 1
8 an
2+m(n∈N
*)，若对任意正整数n，都有
an<4，求实数m的最大值.
9．【2018 年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足xn+1
2
≤xn xn+2
(n=1，2，…，2016)和∏
n=1
2018
xn=1，证明：
x1009 x1010≤1.
10．【2018 年浙江预赛】将2n(n≥2)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：
∑
1≤i≤n
1≤j≤n
❑
|ai-b j|- ∑
1≤i< j≤n
❑
(|a j-ai|+|b j-bi|)≥n。
11．【2018 年辽宁预赛】已知数列{an}中，a1=1,a2= 1
4
，且an+1=
(n-1)an
n-an
(n=2,3,⋯)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）证明：对一切n∈N +
，有∑
k =1
n
ak
2< 7
6
12．【2018 年湖南预赛】棋盘上标有第0，1，2，⋅⋅⋅，100 站，棋子开始时位于第0 站，棋手抛掷均匀
硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99 站
（胜利大本营）或第100 站（失败集中营）是，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为Pn.
（1）求P3的值；
（2）证明：Pn+1- Pn=- 1
2 ( P - Pn+1)(2≤n≤99)；
3 / 9
（3）求P99、P100的值.
13．【2018 年福建预赛】已知数列{an}的前n项和Sn
满足2Sn-nan=n，n∈N
*，且a2=3．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=
1
an
❑√an+1+an+1
❑√an
，T n为数列{bn}的前n项和，求使T n> 9
20
成立的最小正整数n的值．
14．【2018 年全国】已知实数列a1,a2,a3,⋯满足：对任意正整数n，有an(2Sn-an)=1，其中Sn表示数
列的前n 项和，证明：
（1）对任意正整数n，有an<2❑√n；
（2）对任意正整数n，有anan+1<1.
15．【2018 年全国】数列{an}定义如下：a1 是任意正整数，对整数n≥1，an+1 是与∑
k =1
n
ai
互素，且不等于
a1,⋯,an
的最小正整数.证明：每个正整数均在数列{an}中出现.
16．【2018 高中数学联赛A 卷（第01 试）】已知实数列a1,a2,a3,⋯满足:对任意正整数n，有
an(2Sn-an)=1，其中Sn表示数列的前n 项和证明:
(1)对任意正整数n，有an<2❑√n；
(2)对任意正整数n，有anan+1<1.
17．【2018 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设n 是正整数，a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn, A ,B均为正实数，
满足ai⩽bi,ai⩽A ,i=1,2,⋯,n，且b1b2⋯bn
a1a2⋯an
⩽B
A
.
证明:(b1+1)(b2+1)⋯(bn+1)
(a1+1)(a2+1)⋯(an+1)
⩽B+1
A +1
.
18．【2018 高中数学联赛A 卷（第02 试）】数列{an}定义如下:a1是任意正整数，对整数n≥1，an+1是与
4 / 9
∑
i=1
n
ai
互素，且不等于a1,⋯,an
的最小正整数.
证明:每个正整数均在数列{an}中出现.
19．【2018 高中数学联赛B 卷（第01 试）】已知数列{an}:a1=7, an+1
an
=an+2,n=1,2,3,⋯.求满足
an>4
2018的最小正整数n.
20．【2017 高中数学联赛A 卷（第02 试）】设数列{an}定义为a1=1，an+1=¿，n=1,2,⋯.
求满足ar<r ⩽3
2017的正整数r 的个数.
21．【2017 高中数学联赛B 卷（第01 试）】设数列{an}是等差数列，数列bn}满足
bn=an+1an+2-an
2,n=1,2,⋯.
(1)证明:数列{bn}也是等差数列；
(2)设数列{an},{bn}的公差均是d≠0，并且存在正整数s、t，使得as+bt
是整数，求|a1|的最小值.
22．【2017 高中数学联赛B 卷（第02 试）】设a1,a2,⋯,a20∈{1，2，…，5}，b1,b2,⋯,b20∈{1，
2，…，10}，集合X ={(i, j)|1⩽i< j⩽20,(ai-a j)(bi-b j)<0}，求X 的元素个数的最大值.
23．【2017 年河北预赛】前n项和为Sn
的正项数列{an},满足an
2+2an= 4 Sn+3(n∈N +).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:(1+ 1
a1)(1+ 1
a2)(1+ 1
a3)⋯(1+ 1
an-1)>
❑√an
2
.
24．【2017 年吉林预赛】数列{an}中,an=a⋅2
n+b⋅n-80,其中a,b∈N +
.已知当且仅当n=6时此数列的
前n项之和Sn
取得最小值,且a36
能被7 整除,求a1|+|a2|+⋯+|a12∣的值.
5 / 9
25．【2017 年吉林预赛】已知无穷数列{xn},{yn}:对任意正整数n, xn+1=3 xn+2 yn
：yn+1= 4 xn+3 yn
,且
x1=3, y1= 4.
(1)求证:{2 xn
2- yn
2}为常数列.
(2)分别判断数列{xn},{yn}中是否含有整数的立方.
26．【2017 年山东预赛】已知正实数列a1,a2,⋯,an,⋯满足:
(1)an+1=a1
2⋅a2
2•⋯⋅an
2-3(n∈N +);
(2)1
2 (a1+ ❑√a2-1)∈N +.
求证:1
2 (a1⋅a2⋅⋯⋅an+ ❑√an+1-1)∈N +.
27．【2017 年福建预赛】若数列{an}中的相邻两项an、an+1
是关于x的方程x
2-nx +cn=0(n=1,2,3,⋯)
的两个实根,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=c2n-1
,求数列{bn}的通项公式及{bn}的前n项和T n
.
必要时,可以利用:1
2+2
2+3
2+⋯+n
2= n(n+1)(2n+1)
6
28．【2017 年江西预赛】数列{an}、{bn}满足:a1=b1=1,an+1=an+2bn,bn+1=an+bn(n≥1)
证明:(1)a2n-1
b2n-1
<❑√2, a2n
b2n
>❑√2;
(2)|
an+1
bn+1
- ❑√2|<|
an
bn
- ❑√2|
.
6 / 9
29．【2017 年河南预赛】已知数列{an}满足a0= 1
2 ,an=an-1+ 1
n
2 an-1
2
.
求证:(1) 1
an-1
- 1
an
< 1
n
2;
(2)an<n(n∈N +);
(3) 1
an
≤5
6 +
1
n+1 (n∈N +).
30．【2017 年四川预赛】已知数列{an}满足:a1=a,an+1= 5an-8
an-1 (n∈N +).
(1)若a=3,求证：数列{
an-2
an- 4}
成等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(2)若对任意的正整数n,都有an>3,求实数a的取值范围.
31．【2017 年甘肃预赛】已知在数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn
满足Sn
2=an⋅(Sn- 1
2)
.
(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=
Sn
2n+1
,数列{bn}的前n项和为T n,证明:T n< 1
2.
32 ．【2017 年贵州预赛】已知数列{an}满足:an=
2
n
2
2
n
+1
(n∈N +), 记An=∑
i=1
n
ai,Bn=∏
i=1
n
ai.求证:
3 An+ Bn⋅2
(1+n)(2-n)
2
为定值.
33．【2017 年安徽预赛】设数列{an},{bn},{cn}满足an+1=|bn-cn|,bn+1=|cn-an|,cn+1=|an-bn|,n∈N证
明:对于任意正整数a1,b1,c1,存在正整数k,使得ak +1=ak ,bk +1=bk ,ck +1=ck
34．【2017 年广东预赛】(1)求使方程x1+2 x2+3 x3+⋯+n xn=2017 ①
有正整数解x1, x2,⋯, xn的最大正整数n.
7 / 9
(2)用An
表示方程①的所有正整数解(x1, x2,⋯, xn)构成的集合,当n为奇数时，我们称An
中的每一个元素为
方程①的一个奇解;当n为偶数时,我每一个元素为方程①的一个偶解.证明:方程①中所有奇解的个数相等.
35．【2017 年广西预赛】已知数列{an}满足条件:a1=1,an+1=2an+1,n∈N +
.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令cn=
2
n
an⋅an+1
,T n=∑
k =1
n
ck
,证明:T n<1.
36．【2017 年浙江预赛】设f 1(x)=
❑√x
2+32,f n+1(x)= ❑√x
2+ 16
3 f n(x),n=1,2,⋯,对每个n,求f n(x)=3 x的
实数解.
37．【2017 年浙江预赛】设数列{an}满足:|an+1-2an|=2,|an|≤2,n=1,2，3,⋯.证明：如果a1
为有理数,
则从某项后{an}为周期数列.
38．【2017 年浙江预赛】设σ ={a1,a2,⋯,an}为{1,2,⋯,n}的一个排列,记F (σ )=∑
i=1
n
aiai+1,an+1=a1
,求
minσ F (σ ).
39．【2017 年湖南预赛】已知数列{an}满足a1=2,an+1=- (Sn-1)
2
Sn
(n∈N +),其中Sn为{an}的前n项和.
(1)求证：{
1
Sn-1}
为等差数列;
(2)若对任意的n,均有(S1+1)(S2+1)⋯(Sn+1)≥kn,试求k的最大值.
8 / 9
40．【2017 年江苏预赛】设数列{an}满足:(1)a1=1,(2)an>0,(3)an=
nan+1
2
nan+1+1 ,n∈N +
.
求证:(1)数列{an}是递增数列;
(2)对任意正整数n,an<1+∑
k =1
n 1
k
.
9 / 9
