文档文本内容
关注微信公众号：加油高三
专题十
计数原理
第三十讲
排列与组合
答案部分
1
C
．【解析】不超过
的素数有，
30
2
3，，
5
7，
，
，
，
，
，
，共
个，从中
11
13
17
19
23
29
10
随机选取两个不同的数有
2
10
C
种不同的取法，这
个数中两个不同的数的和等于
的
10
30
有
对，所以所求概率
3
2
10
3
1
C
15
=
=
P
，故选
．
C
2
D
．【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：有
2
4
C 种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
共有
2
3
4
3
C
A
36
=
种．
．
故选D
3
C
．【解析】不放回的抽取2 次有
1
1
9
8
C C
9 8
72
= =
，如图
2
1
3
4
5
6
7
8
9
，，，，，，，
2
3
4
5
6
7
8
9
，，，，，，，
1
可知(1,2) 与(2,1)
是不同，所以抽到的
张卡片上的数奇偶性不同有
2
1
1
5
4
2C C =40，所求
概率为
40
5
72
8
=
．
4
B
．【解析】由题意可知E
F
→
有
种走法，
6
F
G
→
有
种走法，由乘法计数原理知，共
3
有
6 3 18
=
种走法，故选
．
B
5．D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为、
1
3
5
、中任选一个，
有
1
3
A
种方法，其他数位上的数可以从剩下的
个数字中任选，进行全排列有
4
,
4
4
A 种方
法，所以其中奇数的个数为
1
4
3
4
A A
72
=
，故选
．
D
6
B
．【解析】据题意，万位上只能排
、
4
5.若万位上排
，则有
4
3
4
2 A
个；若万位上排
，
5
则有
3
4
3 A
个所以共有
.
3
4
2 A
3
4
3
5 24 120
A
+
=
=
个，选
．
B
7
D
．【解析】
4
4
2
2
7
2
8
P
−
=
=
．
8．D【解析】易知
1
2
3
4
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
x
x
x
x
+
+
+
+
=
1
2
3
或
或，下面分三种情况讨论．其一：
关注微信公众号：加油高三
1
2
3
4
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
x
x
x
x
+
+
+
+
= 1，此时，从
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x x x x
中任取一个让其等于1
或
，其余等于，于是有
-1
0
1
1
5
2
10
C C =
种情况；其二：
1
2
3
4
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
x
x
x
x
+
+
+
+
= 2，
此时，从
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x x x x
中任取两个让其都等于
或都等于
或一个等于、另一个
1
-1
1
等于
，其余等于，于是有
-1
0
2
2
1
5
5
2
2
40
C
C C
+
=
种情况；其三：
1
2
3
4
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
x
x
x
x
+
+
+
+
= 3，此时，从
1
2
3
4
5
,
,
,
,
x x x x
x 中任取三个让其都等于
1 或都等于
或两个等于、另一个等于
-1
1
-1 或两个等于
、另一个等于，其余等于
-1
1
0,于是有
3
3
1
3
2
5
5
3
5
3
2
80
C
C C
C C
+
+
=
种情况．由于
10
40 80
130
+
+
=
．
9
C
．【解析】直接法：如图，在上底面中选
1
1
B D ，四个侧面中的面对角线都与它成60，
共
对，同样
8
1
1
AC
对应的也有
对，下底面也有
对，这共
8
16
有
对；左右侧面与前后侧面中共有
对，所以全部共有
32
16
48
对．
间接法：正方体的
条面对角线中，任意两条垂直、平行或
12
成角为60，所以成角为60的共有
2
12
12 6
48
C −
−=
．
10．A【解析】分三步：第一步，个无区别的红球可能取出
个，…，个，则有
5
0 个，1
5
2
3
4
5
(1
)
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
种不同的取法；第二步，个无区别的篮球都取出或都不取
5
出，则有
5
(1
)
b
+
种不同的取法；第三步，个有区别的黑球看作
个不同色，从
个
5
5
5
不同色的黑球任取
个，
0
1 个，…，5 个，有
5
(1
)
c
+
种不同的取法，所以所求的取法种
数为
2
3
4
5
(1
)
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
5
(1
)
b
+
5
(1
)
c
+
．
11．【解析】能够组成三位数的个数是
×
B
9
10×10=900，能够组成无重复数字的三位数的
个数是× ×
9
9
8 =648．故能够组成有重复数字的三位数的个数为
900
648
252
−
=
．
12．A【解析】先安排
名教师和
名学生到甲地，再将剩下的
名教师和
名学生安排到
1
2
1
2
乙地，共有
1
2
2
4
12
C C =
种．
13．D【解析】和为偶数，则
个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
4
4
4
2
2
4
5
4
5
1 5 60
66
C
C
C
C
+
+
= + +
=
种取法．
14．【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选
张，若都不同色则有
C
3
1
4
C
1
4
C
1
4
C
=64
2
，若
张同色，则有
2
1
2
1
3
2
4
4
144
C
C
C
C
=
，若红色
张，其余
1
2
D1
A1
A
B
C
C1
B1
D
关注微信公众号：加油高三
张不同色，则有
1
2
1
1
4
3
4
4
192
C
C
C
C
=
，其余
张同色则有
2
1
1
2
4
3
4
72
C
C
C
=
，所以
共有64+144+192+72=472．
另解：
1
472
88
560
72
16
6
14
15
16
4
1
12
2
4
3
4
3
16
=
−
=
−
−
=
−
−
C
C
C
C
,
C
答案应选
．
另解：
2
472
12
264
220
2
11
12
4
12
6
10
11
12
3
2
12
1
4
3
4
3
12
0
4
=
−
+
=
+
−
=
+
−
C
C
C
C
C
．
15．B【解析】B
D
，，E，F 用四种颜色，则有
4
4
1 1
24
A =
种涂色方法；B，，
D
E
F
，用
三种颜色，则有
3
3
4
4
2 2
2 1 2 192
A
A
+
=
种涂色方法；B，D，E，F 用两种颜色，
则有
2
4
2 2
48
A =
种涂色方法；所以共有24+192+48=264 种不同的涂色方法．
16．B【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有
4
4
24
A =
种，另一类甲排在第二位共有
1
3
3
3
18
A A =
种，故编排方案共有
24 18
42
+
=
种，故选B．
17．C．【解析】共有！
5
=120 个不同的闪烁，每个闪烁要完成
次闪亮需用时间为
5
5 秒，
共5
120=600 秒；每两个闪烁之间的间隔为
秒，共
5
5 (120—1)=595 秒。那么需要的
时间至少是
＋
600
595=1195 秒．
18．【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
C
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：
先从丙、丁、戊三人中任选
(1)
一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共
有
1
2
3
3
4
3
C C A 种．(2)先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作，
共有
2
3
3
3
C A 种．所以，不同安排方案的种数是
1
2
3
3
4
3
C C A
2
3
3
3
+C A
=126（种）．故选
．
C
19．16【解析】通解可分两种情况：第一种情况，只有
位女生入选，不同的选法有
1
1
2
2
4
C C
12
=
（种）；第二种情况，有
位女生入选，不同的选法有
2
2
1
2
4
C C
4
=
（种）．
根据分类加法计数原理知，至少有位女生人选的不同的选法有
l
16 种．
优解
从
人中任选
人，不同的选法有
6
3
3
6
C
20
=
（种），从
人中任选
人都是男生，
6
3
不同的选法有
3
4
C
4
=
（种），所以至少有
位女生入选的不同的选法有
1
20–4 =16（种）．
20．1260【解析】若取的
个数字不包括，则可以组成的四位数的个数为
4
0
2
2
4
5
3
4
C C A ；若取
的
个数字包括，则可以组成的四位数的个数为
4
0
2
1
1
3
5
3
3
3
C C C A ．综上，一共可以组成的
关注微信公众号：加油高三
没有重复数字的四位数的个数为
2
2
4
5
3
4
C C A +
2
1
1
3
5
3
3
3
C C C A =720+ 540 =1 260
．
21．660【解析】分两步，第一步，选出
人，由于至少
名女生，故有
4
1
4
4
8
6
C
C
55
−
=
种不
同的选法；第二步，从
人中选出队长、副队长各一人，有
4
2
4
A
12
=
种不同的选法，根
据分步乘法计数原理共有
55 12
660
=
种不同的选法．
22．1080【解析】分两种情况，只有一个数字为偶数有
1
3
4
4
5
4
C C A 个，没有偶数有
4
5
A 个，所
以共有
4
1
3
4
5
4
5
4
1080
A
C C A
+
=
个．
23．1560 【解析】由题意
2
40
1560
A =
，故全班共写了
条毕业留言．
1560
24．60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按
张分给
个人中的
个人，种数
2 张、1
4
2
为
2
1
2
3
1
4
C C A
36
=
；另一种将
张有奖的奖券分给
个人中的
个人，种数为
3
4
3
3
4
A
24
=
，
则获奖情况总共有36 +24 =60（种）．
25．36【解析】将
、
A
B 捆绑在一起，有
2
2A
种摆法，再将它们与其他
件产品全排列，有
3
4
4A
种摆法，共有
2
2A
4
4A
=48 种摆法，而A、、
B
C 3 件在一起，且
、
A
B 相邻，A、C 相邻
有
、
两种情况，将这
件与剩下
件全排列，有
CAB
BAC
3
2
3
3
2
12
A
=
种摆法，故A、
B
A
相邻，、
不相邻的摆法由
C
48-12=36．
26．1
6
【解析】6
6
之前
个数中取
个数中取
个，
3 个，6 之后3
3
3
3
6
3
3
10
1
6
C
C
P
C
=
=
；
27．1
2
【解析】从
件产品中任取
件共有
10
4
4
10
C
=210 种不同取法，因为
件产品中有
10
7
件正品、3 件次品，所以从中任取
件恰好取到
件次品共有
4
1
1
3
3
7
C C
105
=
种不同的取
法，故所求的概率为
105
1
210
2
P =
=
．
28．96【解析】5 张参观券分成
堆，有
个联号有
种分法，每种分法分给
个人有
4
2
4
4
4
4A 种
方法，∴总共有
4
4
4
96
A =
．
29．【解析】（Ⅰ）4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不
能为0，有9（1~9）种情况，第二位有10（
）种情况，所以
位回文数有
0~9
4
90
10
9
=
种．答案：90
（Ⅱ）法一、由上面多组数据研究发现，2
1
n + 位回文数和2
2
n+
位回文数的个数相
关注微信公众号：加油高三
同，所以可以算出2
2
n+
位回文数的个数．2
2
n+
位回文数只用看前
1
n+ 位的排列情
况，第一位不能为
有
种情况，后面
0
9
n
项每项有
种情况，所以个数为
10
9 10n
．
法二、可以看出
位数有
个回文数，
个回文数。计算四位数的回文数是可
2
9
3 位数90
以看出在
位数的中间添加成对的“
2
00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有
个按
90
此规律推导
2
2
10
2
n
n
S
S
=
−
，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加
这
0~9
十个数，因此
2
1
2
10
n
n
S
S
+ =
，则答案为 9 10
n
．
30．21 43【解析】
1,2,3,4
n =
时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为，，
2
3
5，
8，由此可看出后一个总是前
项之和，故
2
5
n =
时应为5+8=13，
6
n =
时应为8+13=21；
6
n =
时，所有的着色方案种数为
0
1
2
3
4
5
6
6
6
6
6
6
6
6
C
C
C
C
C
C
C
64
N =
+
+
+
+
+
+
=
种，∴
至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有
64
21
43
−
=
种．
31．8【解析】由题意
2
2
1
14
n
C
=
，解得
8
n =
．
32．480【解析】第一类，字母
排在左边第一个位置，有
C
5
5
A
种；第二类，字母
排在左
C
边第二个位置，有
2
3
4
3
A A
种；第三类，字母
排在左边第三个位置，有
C
2
3
2
3
2
3
3
3
A A
A A
+
种，
由对称性可知共有2 (
5
5
A +
2
3
4
3
A A +
2
3
2
3
2
3
3
3
A A
A A
+
)=480 种．
33．264【解析】上午的总测试方法有
4
4
24
A =
种，我们以
, ,
,
,
A B C D E 依次代表五个测试
项目，若上午测试E 的下午测试D ，则上午测试A 的下午只能测试,
B C ，此种测试方
法共有
种；若上午测试
2
E 的同学下午测试
, ,
A B C 之一，则上午测试
, ,
A B C 中任何
一个的下午都可以测试D ，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故
共有
3 3
9
=
种测试方法，即下午的测试方法共有
种，根据分步乘法原理，总的测
11
试方法共有
24 11
264
=
种．
