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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题40 排列组合与图论第三缉
1．【2020 年吉林预赛】若(1+ x + x
2)
1010 的展开式为a0+a1 x +a2 x
2+⋯+a2020 x
2020 ，
则a0+a3+a6+⋯+a2019= (
)
A.3
670
B.3
669
C.3
1009
D.3
1100
2．【2019 年贵州预赛】在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=15,BC=20.则顶点B 与斜边各点的连线中(含边AB,BC)
长度为整数的线段的条数是(
)
A.9
B.10
C.11
D.12
3．【2019 年吉林预赛】将1,2,3,…,9 这9 个数全部填入下图的3x3 方格内,每个格内填一个数,则使得每行中
的数从左至右递增,每列中的数从上至下递减的不同填法共有(
)种
(A)12
(B)24
(C)42
(D)48
4．【2017 年四川预赛】在(x + y + z)
8的展开式中,所有形如x
2 y
a z
b(a,b∈N )的项的系数之和是(
)
(A)112
(B)448
(C)1792
(D)14336
5．【2017 年黑龙江预赛】形如45132 这样的数称为“波浪数”,即十位数字,千位数字均比与它们各自相邻
的数字大,则由1、2,3、4、5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为(
)
(A)20
(B)18
(C)16
(D)11
6．【2017 年贵州预赛】将1,2,⋯,9这九个数字填在如图所示的九个空格中,要求每一行从左到右,每一列
从上到下分别依次增大.当5 固定在图中中央位置时,则填写空格的方法种数为(
)
(A)12
(B)15
(C)16
(D)18
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7．【2016 年辽宁预赛】将2、3、4、6、8、9、12、15 共八个数排成一行,使得任意相邻两个数的最大公约
数均大于1.则所有可能的排法共有()种
A．720 B．1014 C．576 D．1296
8．【2016 年湖南预赛】在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有三名选手各比赛
两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50 场. 则上述三名选手之间比赛的场数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．【2015 年四川预赛】已知n 为正整数，二项式(x
2+ 1
x
3)
n的展开式中含有x
7的项，则n 的最小值为
（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．7
10．【2021 年广西预赛】某校n 名同学通过选拔进入学校的数学讨论班，在一次讨论班上他们讨论A、B
和C 三个问题.已知寿位同学都和班里的其他所有同学讨论了其中的一个问题.每两位同学只讨论一个问题.
若至少有3 名同学互相之间讨论的是同一个问题，求n 的最小值，并给出证明.
11．【2020 高中数学联赛A 卷（第02 试）】给定凸20 边形P.用P 的17 条在内部不相交的对角线将P 分割
成18 个三角形,所得图形称为P 的一个三角剖分图.对P 的任意一个三角剖分图T,P 的20 条边以及添加的17
条对角线均称为T 的边.T 的任意10 条两两无公共端点的边的集合称为T 的一个完美匹配.当T 取遍P 的所
有三角剖分图时,求T 的完美匹配个数的最大值.
12．【2020 年福建预赛】将一个2020×2020 方格表的每个格染黑、白两种颜色之一，满足以下条件：方格
表中的任意一个格A，它所在的行与列的所有格中，与A 异色的格多于与A 同色的格.证明：染色后，方格
表中每行每列两种颜色的格一样多
13．【2019 年上海预赛】设n 为正整数,称n×n 的方格表Tn的网格线的交点(共(n+1)2个交点)为格点.现将数
1,2,…,(n+1)2分配给Tn的所有格点,使不同的格点分到不同的数称Tn的一个1×1 格子S 为“好格”:若从S 的
某个顶点起按逆时针方向读出的四个顶点上的数依次递增(例如,图中是将数1,2,…,9 分配给T2的格点的一种
方式,其中,B、C 为好格,而A、D 不为好格)设Tn中好格个数的最大值为f(n).
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(1)求f(2)的值;
(2)求f(n)关于正整数n 的表达式
14．【2019 年贵州预赛】我们知道,目前最常见的骰子是六面骰,它是一颗正立方体,上面分别有一到六个洞
(或数字),其相对两面之数字和必为七.显然,掷一次六面骰,只能产生六个数之一(正上面)。现欲要求你设计一
个“十进制骰”,使其掷一次能产生0~9 这十个数之一,而且每个数字产生的可能性一样。请问:你能设计出
这样的骰子吗?若能,请写出你的设计方案;若不能,写出理由。
15．【2019 高中数学联赛B 卷（第02 试）】将一个凸2019 边形的每条边任意染为红、黄、蓝三种颜色之
一，每种颜色的边各673 条.证明:可作这个凸2019 边形的2016 条在内部互不相交的对角线将其剖分成2017
个三角形，并将所作的每条对角线也染为红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形的三条边或者颜色全
部相同或者颜色互不相同.
16．【2018 年安徽预赛】在正2018 边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.
求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数.
17．【2018 年浙江预赛】如图所示将同心圆环均匀分成n(n≥3)格.在内环中固定数字1~n.问能否将数字
1~n 填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？
18．【2017 高中数学联赛A 卷（第02 试）】将33×33 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜
色的小方格的个数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”试求分隔边条数的
最小值.
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19．【2017 年山东预赛】求最大的正整数n,将正整数1 到400 任意填人20×20的400 个方格中,则总有一行
或一列,其中两数之差不小于n.
20．【2017 年江苏预赛】平面上2n个点(n>1,n∈N ),无三点共线,任意两点间连线段,将其中任意n
2+1条
线段染成红色.求证：三边都为红色的三角形至少有n个.
21．【2017 年新疆预赛】有9 个人参加乒乓球单打比赛,每2 个人之间最多比赛1 场.已知比赛共举办了28
场.求证：必然有4 个人,他们之间都互相比赛过.
22．【2016 年全国】给定空间中十个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间用线段相连，若得
到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.
23．【2016 年吉林预赛】一次竞赛共有n 道判断题，统计八名考生的答题后发现：对于任意两道题，恰有
两名考生答“T，T”；恰有两名考生答“F，F”；恰有两名考生答“T，F”；恰有两名考生答“F，T”.求n
的最大值.
24．【2016 年浙江预赛】设正整数n≥2，对2×n格点链中的2n个结点用红（R）、黄（Y ）、蓝（B）三
种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图。若对剩余的2n-3个结点，要求每个结点恰染一
种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数。
25．【2016 年湖南预赛】已知互异的正实数x1、x2、x3、x4
满足(∑
i=1
4
xi)(∑
i=1
4
1
xi
)<17.
证明：从x1、x2、x3、x4中任取三个数作为边长，共可构成四个不同的三角形.
26．【2016 高中数学联赛（第02 试）】给定空间中10 个点，其中任意四点不在一个平面上将某些点之间
用线段相连，若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值.
27．【2015 年江苏预赛】设a、b、c、d、e 为正实数，且a
2+b
2+c
2+d
2+e
2=2,若五个正三角形的面积分
别为a
2、b
2、c
2、d
2、e
2,证明：这五个三角形中存在四个能覆盖面积为1 的正△ABC.
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