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备战2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
专题39 排列组合与图论第二缉
1．【2017 年新疆预赛】在某次交友活动中,原计划每两个人都要恰好握1 次手,但有4 个人各握了两次手之
后就离开了.这样,整个活动共握了60 次手,那么最开始参加活动的人数是
.
【答案】15
【解析】提示:设参加活动的人数为n+ 4,其中中途退出的4 个人之间的握手次数为x(0≤x ≤C4
2 =6).
从而由题意得Cn
2+ 4⋅2=60+ x,即n(n-1)=104 +2 x.
由0≤x ≤6且x为整数,可得x =3,n=11.
故最开始参加活动的人数为n+ 4 =15.
2．【2016 年福建预赛】将16 本相同的书全部分给四个班级，每个班级至少有一本书，且各班所得书的数
量互不相同.则不同的分配方法种数为________(用数字作答).
【答案】216.
【解析】
将16 分解成四个互不相同的正整数的和有9 种不同的方式：
16=1+2+3+10，16=1+2+4+9，16=1+2+5+8，16=1+2+6+7，
16=1+3+4+8，16=1+3+5+7，16=1+4+5+6，16=2+3+4+7，
16=2+3+5+6.
故符合条件的不同分配方法数为9A4
4=216.
3．【2016 年山东预赛】在(x + ❑√x +1)
2n+1(n∈Z+)的展开式中，x 的整数次幂项的系数和为_____.
【答案】1
2 (3
2n+1+1)
【解析】
令P =(x + ❑√x +1)
2n+1，
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Q =(x - ❑√x +1)
2n+1.
由二项式定理，知P、Q 中的x 的整数次幂项之和相同，记作S（x），非整数次幂项之和互为相反数.故
2S (x)= P+Q
=(x + ❑√x +1)
2n+1+(x - ❑√x +1)
2n+1
令.则所求的系数和为1
2 (3
2n+1+1).
4 ．【2016 年山东预赛】设(x1, x2,⋯, x20)为（1 ，2 ，… ，20 ）的一个排列，且满足
∑
i=1
20
(|xi-i|+|xi+i|)=620.则这样的排列有________个.
【答案】(10!)
2
【解析】
因为xi>0，所以，∑
i=1
20
(|xi-i|+|xi+i|)
=∑
i=1
20
(|xi-i|+(xi+i))
=∑
i=1
20
|xi-i|+∑
i=1
20
(xi+i)
=∑
i=1
20
|xi-i|+∑
i=1
20
2i=620.
原式化简得∑
i=1
20
|xi-i|=200.
注意到，
|a-b|=max {a,b}-min{a,b}，且(x1, x2,⋯, x20)为（1，2，…，20）的一个排列.
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于是，在max {xi,i}、min{xi,i}(1,2,⋯,20)中，每个数作为最大值或最小值最多只能两次.
∑
i=1
20
max {xi-i}-∑
i=1
20
min{xi-i}
≤2∑
i=11
20
i-2∑
i=1
20
❑i.
故200=∑
i=1
20
|xi-i|
∑
i=1
20
(max {xi-i}-min{xi-i})
=∑
i=1
20
max {xi,i}-∑
i=1
20
min{xi,i}
≤2∑
i=1
20
i-2∑
i=1
20
❑i=200.
从而，{x1, x2,⋯, x10}={11,12,⋯,20}，
{x11, x12,⋯, x20}={1,2,⋯,10}.
由分布计数原理，排列{x1, x2,⋯, x20}的个数为(10!)
2.
5．【2016 年新疆预赛】平面上n个圆两两相交,最多有______个交点.
【答案】n(n-1)
【解析】
两个圆相交时,最多有2个交点;
三个圆相交时,最多有2+ 4 =6个交点;
四个圆相交时,最多有2+ 4 +6=12个交点;
n个圆相交时,最多有2+ 4 +…+2(n-1)=n(n-1)个交点.
6．【2016 年天津预赛】甲、乙两名学生在五门课程中进行选修,他们共同选修的课程恰为一门且甲选修课
程的数量多于乙.则甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为______.
【答案】155
【解析】
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甲、乙共同选修的课程有C5
1种选法,其余的每一门课程甲、乙两人至多只有一人选修.用(a,b)表示其余四门
课程中甲选a门、乙选b门的情形.
则由a>b,知共有(4,0),(3,0),(3,1),(2,0),(2,1),(1,0)六种情形.
于是,甲、乙满足上述条件的选课方式的种数为
C5
1(C4
4+C4
3 +C4
3+C4
2+C4
2C2
1+C4
1)=155.
7．【2016 年吉林预赛】学校5 月1 日至5 月3 日拟安排六位领导值班，要求每人值班1 天，每天安排两人.
若六位领导中的甲不能值2 日，乙不能值3 日，则不同的安排值班的方法共有_______种.
【答案】42
【解析】
分两类：
（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1 日，有C 4
2 =6种排法.
（2）甲、乙不在同一天值班，有C 4
1C3
1×3=36种排法.
故共有42 种方法.
8．【2016 年吉林预赛】学校5 月1 日至5 月3 日拟安排六位领导值班，要求每人值班1 天，每天安排两人.
若六位领导中的甲不能值2 日，乙不能值3 日，则不同的安排值班的方法共有_______种.
【答案】42
【解析】
分两类：
（1）甲、乙同一天值班，则只能排在1 日，有C 4
2 =6种排法.
（2）甲、乙不在同一天值班，有C 4
1C3
1×3=36种排法.
故共有42 种方法.
9．【2016 年上海预赛】将90 000 个五位数10 000,10 001,···,99 999 打印在卡片上，每张卡片上打印一个五
位数，有些卡片上所打印的数(如19 806 倒过来看是90861 )有两种不同的读法，会引起混淆。则不会引起
混淆的卡片共有____张。
【答案】88060
【解析】
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0~9 这十个数字中，倒过来也能表示数字的有0、1、6、8、9 五个.
因为第一位不能放0，最后一位也不能放0，所以，这种倒过来也能看的五位数共有4x5x5x5x4=2 000 个.
这2000 个五位数中还要除去倒读与正读不会混淆的五位数(如10 801 ,60 809).
现将五位数的数字分成三组.
[第一组]首位与末位一组共有四种：(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)；
[第二组]第二位与第四位一组共有五种：(0,0)，(1,1)，(8,8)，(6,9)，(9,6)；
[第三组]第三位可取0、1、8 三种.
故倒读与正读一样的五位数有4x5x3=60 个.
从而，不会引起混淆的五位数有90 000-(2 000-60) =88 060(个).
10．【2016 年上海预赛】红、蓝、绿、白四个色子，每个色子的六个面上的数字分别为1、2、3、4、5、
6．同时掷这四个色子使得四个色子朝上的数的乘积等于36，共有__________种可能．
【答案】48
【解析】
36=6×6×1×1=6×3×2×1= 4×3×3×1=3×3×2×2．对于上述每一种情形，分别有
4!
(2!)(2!) =6，4!=24，4!
2! =12，
4!
(2!)(2!) =6种可能．
综上，共有48 种可能．
11．【2016 年上海预赛】如图，有16 间小三角形的房间．甲、乙两人被随机地分别安置在不同的小三角
形的房间．则他们在不相邻（没有公共边）房间的概率为__________（用分数表示）．
【答案】17
20
【解析】
易知，顶点处的房间各与一间房相邻，在大三角形边上（不过顶点）的房间各与两间房相邻，
余下的房间各与三间房相邻．因此，两房相邻的可能数为1
2
(3×1+6×2+7×3)=18．
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故所求概率为1- 18
C16
2 = 17
20
．
12．【2016 年四川预赛】在(x + 4
x - 4)
5的展开式中，x
3的系数是__________．
【答案】180.
【解析】因为二项式( x + 4
x - 4)
5
=[( x + 4
x )- 4]
5，展开式的通项公式为T r +1=C5
r( x + 4
x )
5-r
(- 4)
r，而对于
( x + 4
x )
5-r
的展开式T r ' +1=C5-r
r ' x
5-r -r '( 4
x )
r '
= 4
r 'C5-r
r ' x
5-r -2r '，其中，r ' ≤5-r ,0≤5-r ≤5, 5-r ,r '都
为自然数，令5-r -2r ' =3，解得¿，所以展开式的系数为4
1C5
1×C5
0+ 4
0C3
0×C5
3×(- 4)
2=180。
13．【2016 年辽宁预赛】在(2+ ❑√x)
2n+1的展开式中,x 的幂指数是整数的各项系数之和为______.
【答案】3
2n+1+1
2
【解析】
注意到, T r +1=C2n+1
r
x
2n+1-r
2
2
r由x 的幂指数为整数,知r 为奇数.
记S =C2n+1
1
2+C2n+1
2
2
3+...+C2n+1
2n+12
2n+1.
又(1+2)
2n+1=C2n+1
0
+C2n+1
1
2+C2n+1
2
2
2+…+C2n+1
2n+12
2n+1,
(1-2)
2n+1 =C2n+1
0
-C2n+1
1
2+C2n+1
2
2
2-...-C2n+1
2n+12
2n+1,
以上两式相减得S = 3
2n+1+1
2
.
14．【2016 年江苏预赛】在8×6的方格表中，每个格被染上红、蓝、黄、绿四种颜色之一，若每个2×2
的子方格表包含每种颜色的格均为一，称此染法为“均衡”的．则所有不同的均衡的染法有__________种．
【答案】1896
【解析】
均衡染法如图．
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若第一个2×2的子方格表中四个格分别染A、B、C、D 色，则第三列上面两个格只能染A、C 色．
若第三列第一个格染C 色，则第三列第二个格染A 色，然后，第三行第二个格只能染B 色，第三行第一个
格只能染A 色，第三行第三个格只能染C 色，……依此类推，在均衡的染法中，每列（或每行）中仅有两
色交错出现，且其相邻的两列（或行）中另两色交错出现．
当每列中两色交错出现时，第一列选两色，然后每列选首色，共有C 4
22
8种染法；当每行中两色交错出现时，
类似地，有C 4
22
6种染法．
又重复的情形有A4
4=24种，故不同的染法数为C 4
22
8+C 4
22
6-24 =1896．
15．【2016 年湖南预赛】观察下列等式：
C5
1+C5
5=2
3-2，
C9
1+C9
5+C9
9=2
7+2
3，
C13
1 +C13
5 +C19
3 +C13
13=2
11-2
5，
C17
1 +C17
5 +C17
9 +C17
13+C17
17=2
15+2
7，
……
由以上等式推测出一般的结论：对于n∈Z+，∑
i=0
n
C4 n+1
4i+1 =______.
【答案】2
4 n-1+(-1)
n2
2n-1
【解析】
右边为两项之和，前一项依次为2
3,2
7,2
11,2
15, …2
4n-1
后一项为-2,2
3,-2
5,2
7, …,(-1)
n2
2n-1,
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因此∑
i=0
n
C4 n+1
4i+1 =2
4 n-1+(-1)
n2
2n-1.
16．【2016 年湖北预赛】以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有_______个(注：全等的三角
形视为形状相同).
【答案】14
【解析】
正十三边形的顶点将其外接圆分成13 等份，设三角形的三个顶点之间(按逆时针方向)所含圆弧的份数分别
为a、b、c．则a、b、c∈Z+，且a+ b+c=13．
要考虑形状不同的三角形的个数，只需确定数组(a，b)有多少种可能的取值．
为使得到的三角形两两形状不同，可设a≤b≤c．
则1≤a≤4，且a≤b≤c=13-a-b ⇒a≤b≤13-a
2
.
当a=1 时，有六种可能的值；
当a=2 时，b 有四种可能的值；
当a=3 时，b 有三种可能的值；
当a=4 时，b 有一种可能的值．
因此，以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形个数为6+4+3+1=14．
17．【2016 年河南预赛】过正四面体ABCD的顶点A作一个形状为等腰三角形的截面，且使截面与底面
BCD所成的角为75
∘。这样的截面共可作出______个。
【答案】18
【解析】
不妨设正四面体ABCD的棱长为1，正ΔBCD的中心为O.
在ΔBCD内，以O为圆心、
❑√6
3 cot 75
∘为半径作圆.则所求截面与平面BCD的交线为改圆的切线.
分三种情形讨论.
（1）切线与ΔBCD的一边平行时，有六个这样的截面；
（2）切线B1C1（点B1在边BC上，点C1在边CD上）且C B1=C1 D ，则截面ΔA B1C1为等腰三角形，这
样的截面有六个；
（3）过点B作⊙O的切线，与CD交于点E，由ΔBCE ≌ΔACE有BE = AE，对应ΔABE为等腰三角形，
这样的截面有六个.
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综上，满足条件的截面共有18 个.
18．【2016 年甘肃预赛】如图，a 为程序框图中输出的结果.则二项式(a ❑√x - 1
❑√x)
6的展开式中含项的系数
x
2为___________.
【答案】- 3
16
【解析】
当i=2016时，a= 1
2
.
注意到，T r +1=C6
r (a ❑√x)
r(- 1
❑√x)
6-r
=(-1)
6-r a
rC6
r x
r -3.
从而，x
2项的系数为(-1)
6-5a
5C6
5=-(
1
2)
5
×6=- 3
16
.
19．【2015 年上海预赛】有十个大小相同的小球 ， 其中五个为红球，五个为白球.现将这十个球任意排成
一排，并从左至右依次编号为1，2，…，10.则红球的编号数之和大于白球的编号数之和的排法共有
_________种.
【答案】126
【解析】
首先，编号数总和为1+2+⋯+10=55.故红球编号之和与白球编号数之和不可能相等.
其次 ，若某个排法使红球的编号数之和大于白球的编号数之和，则对调红球与白球位置即得红球编号数之
和小于白 球编号数之和 的排法， 反之亦然.
因此，红球编号数之和大于与小于白球编号数之和的排法种数相等．从而， 所求的排法种数为
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1
2 C10
5 =126.
20．【2015 年安徽预赛】设n为正整数.把男女乒乓球选手各3n人配成男双、女双、混双各n对，每名选手
均不兼项.则配对方式总数为______.
【答案】[(3n)!]
2
(n!)
32
2n
【解析】
从3n名男选手中选取2n人作为男双选手有C3n
2n种选法，把他们配成n对男双选手有(2n)!
2
n(n!)
种配对方式.女选
手类似.把n名男选手和n名女选手配成n对混双有n!种配对方式.
因此，配对方式总数为(C3n
2nC2n
n n!
2
n)
2
(n!)= [(3n)!]
2
(n!)
32
2n
.
21．【2015 年山东预赛】把1,2,…,6 这六个数随机地排成一列组成一个数列,要求该数列恰先增后减.则这样
的数列共有______个.
【答案】30
【解析】
从1,2,…,5中选出一个数排在6 的右侧,其余数排在6 的左侧,得到先增后减的数列有C5
1个;
从1,2,…,5 中选出两个数排在6 的右侧,其余数排在6 的左侧,得到先增后减的数列有C5
2个;
……
因此,满足条件的数列总个数为C5
1+C5
2+C5
3+C5
4=2
5-2=30.
22．【2015 年湖南预赛】将1，2，…，9 这九个数字填在如图2 的九个空格中，要求每一行从左到右、每
一列从上到下分别依次增大.当3、4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为__________.
【答案】6
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【解析】
第一行从左到右前面两个格只能安排1、2，最右下角的格只能为9，
这样只要在剩余的四个数5、6、7、8 中任选两个，
安排在右边一列的上面两个格中（由小到大），
剩余两个数安排在最下面一行的前面两个格中（由小到大），
故总方法数就是在四个数5、6、7、8 中任选两个的方法数，即C4
2 =6种.
23．【2015 年湖北预赛】将五名大学生分配到某乡镇的三个村就职.若每个村至少一名，则不同的分配方
案数为__________.
【答案】150
【解析】
按照每个村分得的大学生的人数，满足要求的只有两类，即1、1、3 和1、2、2，
故不同的分配方案数为：C3
1C5
3C2
1+C3
1C5
2+C3
2=60+90=150.
24．【2015 年湖北预赛】若(x
2- x -2)
3=a0+a1 x +⋅⋅⋅+a6 x
6，则a1+a3+a5=__________.
【答案】- 4
【解析】
分别令x =0，x =1，得a0=-8，
a0+a1+⋅⋅⋅+a6=(1
2-1-2)
3=-8.
于是，a0+a1+⋅⋅⋅+a6=0.
令x =-1，得：a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=[(-1)
2-(-1)-2]
3=0.
于是，-a1+a2-a3+a4-a5+a6=8.
从而，a1+a3+a5=- 4.
25．【2015 年甘肃预赛】6
11+C11
1 16
10+C11
2 16
9+...+C11
106-1被8 除所得的余数为______.
【答案】5
【解析】
注意到,6
11+C11
1 16
10+C11
2 16
9+…+C11
106-1
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=C11
0 6
11+C11
1 16
10+C11
2 16
9+...+C11
106
0-2
=(6+1)
11-2=7
11-2
≡(11)
11-2≡5(mod 8).
故所求结果为5.
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