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专题九
解析几何
第二十七讲双曲线
答案部分
2019
年
1. 解析
解析
解析
解析
解析 双曲线
2
2
:
1
4
2
x
y
C
−
= 的右焦点为
( 6,0)
F
，渐近线方程为：
2
2
y
x
=
，不妨
设点P 在第一象限，可得
2
tan
2
POF
=
，
6
3
(
,
)
2
2
P
，所以
PFO
△
的面积为：
1
3
3 2
6
2
2
4
=
．故选A．
2. 解析
解析
解析
解析
解析 因为双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
−
=
经过点(3,4) ，
所以
2
2
16
3
1
b
−
= ，解得
2
2
b =
，即
2
b =
．
又
1
a =
，
该双曲线的渐近线方程是
所以
2
y
x
=
．
3.解析
解析
解析
解析
解析 如图所示，因为
1
F A
AB
=
uuur
uuur
,所以A 为
1
F B 的中
点
. 又O 为
1
2
F F 的中点，所以
2
1
2
AO
BF
P
，
2
1
2
AO
BF
=
.
因为
1
2
0
FB F B
=
uuur uuur
，所以
1
2
90
F BF
=
，
且O 为
1
2
F F 的中点，所以
1
2
2
1
2
OB
FF
OF
c
=
=
=
.
由
2
1
2
AO
BF
P
得
2
1
2
1
BOF
AOF
BF F
=
=
，所以
2
OB
BF
=
，
因此
2
OPF
△
为等边三角形，
2
60
BOF
=
，即渐近线的斜率为
3 ，也即
3
b
a =
，
所以
2
2
1
2
b
e
a
=
+
=
.
4．A
解析：解法一：
解析：解法一：
解析：解法一：
解析：解法一：
解析：解法一：由题意，把
2
c
x =
代入
2
2
2
x
y
a
+
=
，得
2
2
2
4
c
PQ
a
=
−
，
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再由
PQ
OF
=
，得
2
2
2
4
c
a
c
−
=
，即
2
2
2a
c
=
，
所以
2
2
2
c
a
=
，解得
2
c
e
a
=
=
.故选A．
解法二：
解法二：
解法二：
解法二：
解法二：如图所示，由
PQ
OF
=
可知PQ为以OF 为直径圆的另一条直径，
所以
,
2
2
c
c
P
，代入
2
2
2
x
y
a
+
=
得
2
2
2a
c
=
，
所以
2
2
2
c
a
=
，解得
2
c
e
a
=
=
.故选A．
解法三：
解法三：
解法三：
解法三：
解法三：由
PQ
OF
=
可知PQ 为以OF
为直径圆的另一条直径，则
1
2
2 2
2
OP
a
OF
c
=
=
=
，
2
c
e
a
=
=
.故选A．
5
．解析
解析
解析
解析
解析根据渐进线方程为
0
x
y
=
的双曲线，可得a
b
=
，所以
2
c
a
=
，则该双曲线
的离心率为
2
c
e
a
=
=
，故选．
C
6.解析
解析
解析
解析
解析 因为抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为F ，准线为l ，所以
(
)
1,0
F
，准线l 的方程为
1
x = −.
因为l 与双曲线
(
)
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
−
=
的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且
4
AB
OF
=
（O为原点），所以
2b
AB
a
=
，
1
OF = ，所以2
4
b
a =
，即
2
b
a
=
，
所以
2
2
5
c
a
b
a
=
+
=
，所以双曲线的离心率为
5
c
e
a
=
=
．
故选
．
D
2010-2018
年
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1
B
．【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为
2
2
2
3 1
4
c
a
b
=
+
= + =
，
所以
2
c =
，故焦点坐标为 ( 2,0)
−
，(2,0)
．故选
．
B
2．B【解析】因为双曲线
2
2
1
3 −
=
x
y
的渐近线方程为
3
3
=
y
x ，所以
60
=
MON
．不
妨设过点F 的直线与直线
3
3
=
y
x 交于点M ，由OMN 为直角三角形，不妨设
90
=
OMN
，则
60
=
MFO
，又直线MN 过点
(2,0)
F
，所以直线MN 的方程为
3(
2)
= −
−
y
x
，
由
3(
2)
3
3
= −
−
=
y
x
y
x
，得
3
2
3
2
=
=
x
y
，所以
3
3
( ,
)
2
2
M
，
所以
2
2
3
3
|
|
( )
(
)
3
2
2
=
+
=
OM
，
所以
|
|
3|
| 3
=
=
MN
OM
．故选
．
B
3．A【解析】解法一
由题意知，
3
=
=
c
e
a
，所以
3
=
c
a，所以
2
2
2
=
−
=
b
c
a
a ，
所以
2
=
b
a
，所以该双曲线的渐近线方程为
2
=
=
b
y
x
x
a
，故选
．
A
解法二 由
2
1 ( )
3
=
=
+
=
c
b
e
a
a
，得
2
=
b
a
，所以该双曲线的渐近线方程为
2
=
=
b
y
x
x
a
．故选
．
A
4
C
．【解析】不妨设一条渐近线的方程为
b
y
x
a
=
，
则
2
F 到
b
y
x
a
=
的距离
2
2
|
|
bc
d
b
a
b
=
=
+
，
在
2
Rt F PO
中，
2
|
|
F O
c
=
，所以
|
|
PO
a
=
，
所以
1
|
|
6
PF
a
=
，又
1
|
|
FO
c
=
，所以在
1 F PO
与
2
Rt F PO
中，
根据余弦定理得
2
2
2
1
2
( 6 )
cos
cos
2
a
c
a
a
POF
POF
ac
c
+
−
=
= −
= −
，
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即
2
2
2
3
( 6 )
0
a
c
a
+
−
=
，得
2
2
3a
c
=
．所以
3
c
e
a
=
=
．故选
．
C
5．C【解析】通解
因为直线
AB经过双曲线的右焦点，所以不妨取
2
( ,
)
b
A c a
，
2
( ,
)
b
B c
a
−
，
取双曲线的一条渐近线为直线
0
bx
ay
−
=
，
由点到直线的距离公式可得
2
2
1
2
2
|
|
bc
b
bc
b
d
c
a
b
−
−
=
=
+
，
2
2
2
2
2
|
|
bc
b
bc
b
d
c
a
b
+
+
=
=
+
，
因为
1
2
6
d
d
+
=
，所以
2
2
6
bc
b
bc
b
c
c
−
+
+
=
，所以
2
6
b =
，得
3
b =
．
因为双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的离心率为，所以
2
2
c
a =
，
所以
2
2
2
4
a
b
a
+
=
，所以
2
2
9
4
a
a
+
=
，解得
2
3
a =
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
3
9
x
y
−
=
，故选
．
C
优解
由
1
2
6
d
d
+
=
，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为，所以
3
3
b =
．
因为双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的离心率为，所以
2
2
c
a =
，
所以
2
2
2
4
a
b
a
+
=
，所以
2
2
9
4
a
a
+
= ，解得
2
3
a =
，
所以双曲线的方程为
2
2
1
3
9
x
y
−
=
，故选
．
C
6
A
．【解析】双曲线C 的渐近线方程为
0
bx
ay
=
，圆心(2,0) 到渐近线的距离为
2
2
| 2
0|
2
b
a
b
d
c
a
b
+
=
=
+
，圆心(2,0) 到弦的距离也为
2
2
1
3
d =
−=
，
所以2
3
b
c
=
，又
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以得
2
c
a
=
，所以离心率
2
c
e
a
=
=
，选
．
A
7
B
．【解析】由题意可得：
5
2
b
a =
，
3
c =
，又
2
2
2
a
b
c
+
=
，解得
2
4
a =
，
2
5
b =
，
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则C 的方程为
2
1
4
5
x
y
−
=
．选
．
B
8
B
．【解析】设
(
,0)
F
c
−
，双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
=
，由
4
4
PF
k
c
c
−
=
=
−
，由题意
有
4
b
c
a
=
，又
2
c
a =
，
2
2
2
c
a
b
=
+
，得
2 2
b =
，
2 2
a =
．选
．
B
9
D
．【解析】不妨设A在第一象限，
( , )
A x y ，所以
2
2
4
2
x
y
b
y
x
+
=
=
，解得
2
2
4
4
2
4
x
b
b
y
b
=
+
=
+
，
故四边形ABCD的面积为
2
2
2
4
2
32
4
4
2
4
4
4
b
b
xy
b
b
b
b
=
=
=
+
+
+
，
解得
2
12
b =
．故所求的双曲线方程为
2
2
2
4
=1
1
x
y
−
，选
．
D
10．A【解析】由题意得
2
2
(
)(3
)
0
m
n
m
n
+
−
，解得
2
2
3
m
n
m
−
，又由该双曲线两焦
点间的距离为，得
4
M
2
2
3
4
m
n
m
n
+
+
−
=
，即
2
1
m =
，所以
1
3
n
−
．
11．A【解析】设
1 (
,0)
F
c
−
，将x
c
= −代入双曲线方程，得
2
2
2
2
1
c
y
a
b
−
=
，化简得
2
b
y
a
=
，
因为
2
1
1
sin
3
MF F
=
，所以
2
2
2
2
1
2
1
1
2
|
|
tan
|
|
2
2
2
b
MF
b
c
a
a
MF F
FF
c
ac
ac
−
=
=
=
=
= ，
1
2
2
2
2
2
4
c
a
e
a
c
e
−
=
−
=
，所以
2
2
1
0
2
e
e
−
−=
，所以
2
e =
，故选
．
A
12．D【解析】由双曲线的标准方程
2
2
1
3
y
x −
=
得，右焦点
(2,0)
F
，两条渐近线方程为
3
y
x
=
，直线AB ：
2
x =
，所以不妨设取
(2,2 3)
A
，
(2, 2 3)
B
−
，
则
|
| 4 3
AB =
，选
．
D
13．B【解析】由双曲线定义得
1
2
2
6
PF
PF
a
−
=
=
，即
2
3
6
PF
−
=
，解得
2
9
PF =
，
故选
．
B
14．D【解析】由题意
2
2
2
1
1 ( )
a
b
b
e
a
a
+
=
=
+
，
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2
2
2
2
(
)
(
)
1 (
)
a
m
b
m
b
m
e
a
m
a
m
+
+
+
+
=
=
+
+
+
，
∵
(
)
(
)
b
b
m
m b
a
a
a
m
a a
m
+
−
−
=
+
+
，由于
0
m >
，
0
a >
，
0
b > ，
所以当a
b
> 时，0
1
b
a
，0
1
b
m
a
m
+
+
，
b
b
m
a
a
m
+
+
，
2
2
( )
(
)
b
b
m
a
a
m
+
+
，
所以
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
b
a
，
1
b
m
a
m
+
+
，而
b
b
m
a
a
m
+
+
，
2
2
( )
(
)
b
b
m
a
a
m
+
+
，
所以
1
2
e
e
．所以当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
．
15．
由题意，选项
C【解析】
,
A B 的焦点在x 轴，故排除
,
A B ，C 项的渐近线方程为
2
2
0
4
y
x
−
=
，即
2
y
x
=
，故选
．
C
16．【解析】由题意知
A
2
2
a =
，
2
1
b =
，所以
2
3
c =
，不妨设
1 (
3,0)
−
F
，
2 ( 3,0)
F
，
所以
1
0
0
(
3
,
)
= −
−
−
MF
x
y
，
2
0
0
( 3
,
)
=
−
−
MF
x
y
，
又∵
0
0
(
,
)
M x
y
在双曲线上，所以
2
2
0
0
1
2
x
y
−
=
，即
2
2
0
0
2
2
x
y
=
+
，
2
2
2
1
2
0
0
0
3
3
1
0
MF
MF
x
y
y
=
−+
=
−
，所以
0
3
3
3
3
−
y
，故选
．
A
17．A 【解析】由题意
2
2
( ,0),
( ,
),
( ,
)
b
b
A a
B c
C c
a
a
−
，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，
设
( ,0)
D x
，由
BD
AC
⊥
得
2
2
0
1
b
b
a
a
c
x
a
c
−
= −
−
−
，解得
4
2(
)
b
c
x
a c
a
−
=
−
，所以
4
2
2
2(
)
b
c
x
a
a
b
a
c
a c
a
−
=
+
+
=
+
−
，所以
4
2
2
2
2
b
c
a
b
a
−
=
2
2
1
b
a
0
1
b
a
，而双曲线的渐近性斜率为
b
a
，所以双曲线的渐近线的斜率取值范围
是
( 1,0)
(0,1)
−
，选
．
A
18．A【解析】双曲线方程为
2
2
1
3
3
x
y
m −
= ，焦点F 到一条渐近线的距离为
3
b =
，选A．
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19．A【解析】∵0
9
k
，∴
9
0,25
0
k
k
−
−
，本题两条曲线都是双曲线，
又
25
(9
)
(25
)
9
k
k
+
−
=
−
+
，∴两双曲线的焦距相等，选
．
A
20．A【解析】依题意得
2
2
2
2
5
b
a
c
c
a
b
ìï
=
ïïï
=
íïïï
=
+
ïî
，所以
2
5
a =
，
2
20
b =
，双曲线的方程为
2
2
1
5
20
x
y
-
=
．
21．B【解析】由双曲线的定义得
1
2
||
|
|
|| 2
PF
PF
a
−
=
，又
1
2
|
|
|
| 3
PF
PF
b
+
=
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
(|
|
|
|)
(|
|
|
|)
9
4
PF
PF
PF
PF
b
a
+
−
−
=
−
，即
1
2
4|
||
| 9
PF
PF
ab
=
，
因此
2
2
9
4
9
b
a
ab
−
=
，即
2
9
9( )
4
0
b
b
a
a
−
−
=
，则（3
1
b
a
+
）（3
4
b
a
−
）
，
=0
解得
4
1
(
3
3
b
b
a
a
=
= −
舍去），则双曲线的离心率
2
5
1 ( )
3
b
e
a
=
+
=
．
22．【解析】由题知，
C
5
2
c
a =
，即5
4
=
2
2
c
a
=
2
2
2
a
b
a
+
，∴
2
2
b
a
= 1
4
，∴b
a
= 1
2
，∴C 的
渐近线方程为
1
2
y
x
=
，故选
．
C
23．D【解析】双曲线
1
C 的离心率是1
1
cos
e
=
，双曲线
2
C 的离心率是
(
)
2
2
2
sin
1
tan
1
sin
cos
e
+
=
=
，故选
．
D
24．A【解析】设双曲线的焦点在x 轴上，则由作图易知双曲线的渐近线的离心率b
a
必须满
足
3
3
3
b
a
≤
，所以
2
1
( )
3
3
b
a
≤
，
2
4
1 ( )
4
3
b
a
+
≤
，既有
2
2 3
1 ( )
2
3
b
a
+
≤
，
又双曲线的离心率为
2
1 ( )
c
b
e
a
a
=
=
+
，所以2 3
2
3
e
≤
．
25．C【解析】∵双曲线
2
2
2
1
5
x
y
a
−
=
的右焦点为（，
3
0），∴
2
a +5=9，∴
2
a =4，∴a
=2
∵c=3，∴
3
2
c
e
a
=
=
，故选
．
C
26．A【解析】设双曲线
：
C
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的半焦距为c ，则
2
10,
5
c
c
=
=
．
关注微信公众号：加油高三
又
的渐近线为
C
b
y
x
a
=
，点
在
的渐近线上，
P(2,1)
C
1
2
b
a
=
，即
2
a
b
=
．
又
2
2
2
c
a
b
=
+
，
2 5,
5
a
b
=
=
，C 的方程为
2
20
x
-
2
5
y
=1．
27．C【解析】x
y
−
= 可变形为
2
2
1
4
8
x
y
−
=
，则
2
4
a =
，
2
a =
，
2
4
a =
.
C
故选
．
28．A【解析】圆
2
2
:(
3)
4
C
x
y
−
+
=
，
3,
c =
而3
2
b
c
=
，则
2
2,
5
b
a
=
=
，应选
．
A
29．C【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为
3
y
x
a
=
，故可知
2
a =
．
30．【解析】双曲线
B
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的渐近线为
b
y
x
a
=
，由双曲线的一条渐
近线与抛物线的准线的交点坐标为（－2，－1）得
2
2
p
−
= −，即
4
p =
，
又∵
4
2
p
a
+
=
，∴
2
a =
，将（－2
1
，－）代入
b
y
x
a
=
得
1
b =
，
∴
2
2
5
c
a
b
=
+
=
，即
2
2 5
c =
．
31．B【解析】由双曲线E 的中心为原点，(3,0)
P
是E 的焦点可设双曲线的方程为
2
2
2
2
2
2
1(
9)
x
y
a
b
a
b
−
=
+
=
，设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
A x y
B x
y
，即
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1,
1
x
y
x
y
a
b
a
b
−
=
−
=
则
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
12
0 15
1
15
3 12
y
y
x
x
b
b
x
x
a
y
y
a
−
+
−
+
=
=
=
=
−
+
−
+
，则
2
2
2
2
5
,
5,
4
4
b
b
a
a
=
=
=
，
故E 的方程式为
2
2
1
4
5
x
y
−
=
.
B
应选
．
32．D【解析】设双曲线的方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
，其渐近线为
x
a
b
y
=
，
∵点
(4, 2)
−
在渐近线上，所以
1
2
b
a =
，由
2
5
1 ( )
2
b
e
a
=
+
=
．
33．C【解析】由题意，
，
F（－1
0），设点P
0
0
(
,
)
x
y
，则有
2
2
0
0
1
4
3
x
y
+
=
,
解得
2
2
0
0
3(1
)
4
x
y
=
−
，
关注微信公众号：加油高三
因为
0
0
(
1,
)
FP
x
y
=
+
，
0
0
(
,
)
OP
x y
=
，
所以
2
0
0
0
(
1)
OP FP
x x
y
=
+
+
=
0
0
(
1)
OP FP
x x
=
+
+
2
0
3(1
)
4
x
−
=
2
0
0
3
4
x
x
+
+
，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为
0
2
x = −
，因为
0
2
2
x
−
，
所以当
0
2
x =
时，
OP FP
取得最大值
22
2
3
6
4 +
+
=
，选
．
C
34．
1
2
y
x
=
【解析】由题意
2
a =
，
1
b = ，∴
1
2
b
y
x
x
a
=
=
．
35．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为
b
y
x
a
=
，所以
2
2
|
|
3
2
bc
b
c
a
b
=
=
+
，所
以
2
2
2
2
3
4
b
c
a
c
=
−
=
，得
2
c
a
=
，所以双曲线的离心率
2
c
e
a
=
=
．
36．2 3 【解析】由题意，右准线的方程为
2
3
2
a
x
c
=
=
，渐近线的方程为
3
3
y
x
=
，
设
3
3
( ,
)
2
2
P
，则
3
3
( ,
)
2
2
Q
−
，
1
( 2,0)
F −
，
2(2,0)
F
，
所以四边形
1
2
F PF Q 的面积为
1
2
1
1
|
||
|
4
3
2 3
2
2
F F
PQ =
=
．
37．2 3
3
【解析】如图所示，
AH
MN
⊥
，
AM
AN
b
=
=
，
MAN
=60°，
x
y
H
A
N
M
O
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所以
30
HAN
=
，又MN 所在直线的方程为
b
y
x
a
=
，
( ,0)
A a
到MN 的距离
2
2
|
|
1
b
AH
b
a
=
+
，
在
Rt HAN
中，有cos
HA
HAN
NA
=
，所以
2
2
|
|
1
3
2
b
b
a
b
+
=
，即
2
2
3
2
a
a
b
=
+
因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，得
3
2
a
c
=
，所以
2 3
3
c
e
a
=
=
．
38．
2
2
y
x
=
【解析】设
1
1
(
,
)
A x y
，
2
2
(
,
)
B x
y
，由抛物线的定义有
1
2
1
2
|
|
|
|
2
2
p
p
AF
BF
y
y
y
y
p
+
=
+
+
+
=
+
+
，而|
|
2
p
OF =
，
所以
1
2
4
2
p
y
y
p
+
+
=
，即
1
2
y
y
p
+
=
，
由
2
2
2
2
2
1
2
x
y
a
b
x
py
−
=
=
得
2
2
2
2
2
2
0
a y
pb y
a b
−
+
=
，所以
2
1
2
2
2pb
y
y
a
+
=
，
所以
2
2
2pb
p
a
=
，即
2
a
b
=
，所以渐近性方程为
2
2
y
x
=
．
39．2【解析】
2
2
1,
a
b
m
=
=
，所以
1
3
1
c
m
a
+
=
=
，解得
2
m =
．
40．2【解析】不妨令B 为双曲线的右焦点，A在第一象限，则双曲线图象如图
∵OABC 为正方形，
2
=
OA
∴
2 2
=
=
c
OB
，
π
4
=
AOB
∵直线OA是渐近线，方程为
= b
y
x
a
，∴
tan
1
=
=
b
AOB
a
又∵
2
2
2
8
+
=
=
a
b
c
∴
2
=
a
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O
C
B
A
y
x
41．2【解析】
【解析】
【解析】
【解析】
【解析】由题意
|
| 2
BC
c
=
，所以
|
| 3
AB
c
=
，
于是点
3
( ,
)
2
c
c
在双曲线E 上，代入方程，得
2
2
2
2
9
1
4
c
c
a
b
−
= ，
在由
2
2
2
a
b
c
+
=
得E 的离心率为
2
c
e
a
=
=
，应填2.
42．
3
3
【解析】因为双曲线
(
)
2
2
2
1
0
x
y
a
a
−
=
的一条渐近线为
3
y
x
= −
，所以1
3
a
=
，
故
3
3
a =
．
43．
2
2
【解析】设
( , ),(
1)
P x y
x
，因为直线
1
0
x
y
−
+ =
平行于渐近线
0
x
y
−
=
，所以c 的
最大值为直线
1
0
x
y
−
+ =
与渐近线
0
x
y
−
=
之间距离，为1
2
2
2
=
．
44．3
2
【解析】
2
2
1
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
−
=
的渐近线为
b
y
x
a
=
，
则
2
2
2
2
(
,
)
pb
pb
A
a
a
，
2
2
2
2
(
,
)
pb
pb
B
a
a
−
，
2
2
:
2
(
0)
C
x
py p
=
的焦点
(0,
)
2
p
F
，
则
2
2
2
2
2
AF
pb
p
a
a
k
pb
b
a
−
=
=
，即
2
2
5
4
b
a =
，
2
2
2
2
2
9
4
c
a
b
a
a
+
=
=
，
3
2
c
e
a
=
=
．
45．y
x
= 【解析】抛物线的准线
2
p
y = −
，与双曲线的方程联立得
2
2
2
2
(1
)
4
p
x
a
b
=
+
，根
据已知得
2
2
2
2
(1
)
4
p
a
c
b
+
=
①，由
|
|
AF
c
=
得
2
2
2
4
p
a
c
+
=
②，由①②得
2
2
a
b
=
，即
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a
b
=
，所以所求双曲线的渐近线方程为y
x
= ．
46．
5
2
【解析】联立直线方程与双曲线渐近线方程
b
y
x
a
=
可解得交点为
(
,
)
3
3
am
bm
A
b
a
b
a
−
−
，
(
,
)
3
3
am
bm
B
b
a
b
a
−
+
+
，而
1
3
AB
k
=
，由
|
| |
|
PA
PB
=
，可得AB 的中
点
3
3
3
3
(
,
)
2
2
am
am
bm
bm
b
a
b
a
b
a
b
a
−
+
−
+
−
+
与点
)
0,
(m
P
连线的斜率为-3，可得
2
2
4b
a
=
，
所以
5
2
e =
．
47．
2
2
1
3
12
x
y
−
=
2
y
x
=
【解析】设与
2
2
1
4
y
x
−
=
具有相同渐近线的双曲线
的方程为
C
2
2
4
y
x
k
−
=
，将点 (
)
2,2
代入
的方程中，得
C
3
k = −．∴双曲线的方程为
2
2
1
3
12
x
y
−
=
，
渐近线方程为
2
y
x
=
．
48．4
5 【解析】
。
所以离心率为4
5
,
4
5
16
25
16
9
2
2
2
2
2
=
=
=
=
e
a
c
e
a
b
49．3
1
+ 【解析】由已知可得，
1
2 cos30
3
PF
c
c
=
=
，
2
2 sin30
PF
c
c
=
=
，由双
曲线的定义，可得
3
2
c
c
a
−
=
，则
2
3
1
3
1
c
e
a
=
=
=
+
−
．
50．44【解析】由题意得，
|
|
|
| 6
FP
PA
−
=
，
|
|
|
| 6
FQ
QA
−
=
，两式相加，利用双曲线的
定义得
|
|
|
| 28
FP
FQ
+
=
，所以PQF
的周长为
|
|
|
|
|
| 44
FP
FQ
PQ
+
+
=
．
51．2 3 【解析】由双曲线的方程可知
1
2
1,
2,
2
2,
a
c
PF
PF
a
=
=
−
=
=
2
2
1
1
2
2
2
4
PF
PF PF
PF
−
+
=
2
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
,
(2 )
8,
2
4,
(
)
8
4
12,
2 3
PF
PF
PF
PF
c
PF PF
PF
PF
PF
PF
⊥
+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
52．，【解析】双曲线的
1
2
1
16
4
2
2
=
−y
x
渐近线为
x
y
2
=
，而
1
2
2
2
2
=
−b
y
a
x
的渐近线为
关注微信公众号：加油高三
x
a
b
y
=
，所以有
2
=
a
b
，
a
b
2
=
，又双曲线
1
2
2
2
2
=
−
b
y
a
x
的右焦点为
)
0,
5
(
，所以
5
=
c
，又
2
2
2
b
a
c
+
=
，即
2
2
2
5
4
5
a
a
a
=
+
=
，所以
2
,1
,1
2
=
=
=
b
a
a
．
53．2【解析】由题意得m ＞∴
0,
a =
m ,b =
,
4
,
4
2
2
+
+
=
+
m
m
c
m
由e=
5
=
a
c
得
5
4
2
=
+
+
m
m
m
，解得m =2．
54．
2
2
1
4
3
x
y
−
=
【解析】由题意可知双曲线的焦点 (
7,0)
−
， ( 7,0)，即
7
c =
，又因
双曲线的离心率为
2 7
4
c
a =
，所以
2
a =
，故
2
3
b =
，所以双曲线的方程为
2
2
1
4
3
x
y
−
=
．
55．【解析】由
2
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
−
=
得渐近线的方程为
2
2
2
0
y
x
b
−
=
，即 y
bx
=
，由一条
渐近线的方程为
2
y
x
=
得
2
b =
．
56．【解析】（1）设
( ,0)
F c
，因为
1
b = ，所以
2
1
c
a
=
+
直线OB 方程为
1
y
x
a
= −
，直线BF 的方程为
1
(
)
y
x
c
a
=
−
，解得
( ,
)
2
2
c
c
B
a
−
又直线OA的方程为
1
y
x
a
=
，则
3
( , ),
.
AB
c
A c
k
a
a
=
又因为AB⊥OB，所以3
1
(
)
1
a
a
−
= −，解得
2
3
a =
，故双曲线C 的方程为
2
2
1.
3
x
y
−
=
（2）由（1）知
3
a =
，则直线l 的方程为
0
0
0
1(
0)
3
x x
y y
y
−
=
，即
0
0
3
3
x x
y
y
−
=
因为直线AF 的方程为
2
x =
，所以直线l 与AF 的交点
0
0
2
3
(2,
)
3
x
M
y
−
直线l 与直线
3
2
x =
的交点为
0
0
3
3
3 2
( ,
)
2
3
x
N
y
−
则
2
2
0
2
2
2
0
0
4(2
3)
9[
(
2) ]
x
MF
NF
y
x
−
=
+
−
因为是C 上一点，则
2
2
0
0
1.
3
x
y
−
=
，代入上式得
关注微信公众号：加油高三
2
2
2
0
0
2
2
2
2
2
0
0
0
0
4(2
3)
4(2
3)
4
9[
(
2) ]
3
9[
1
(
2) ]
3
x
x
MF
x
NF
y
x
x
−
−
=
=
=
+
−
−+
−
，所求定值为
2 3
3
MF
NF =
57．【解析】（
的圆心的坐标为
1）设C
( , )
x y ，由题设条件知
2
2
2
2
|
(
5)
(
5)
| 4,
x
y
x
y
+
+
−
−
+
=
化简得
的方程为
L
2
2
1.
4
x
y
−
=
x
y
l
T2
T1
O
F
P
M
（）过
，
的直线
2
M
F
l 方程为
2(
5)
y
x
= −
−
，将其代入
的方程得
L
2
15
32 5
84
0.
x
x
−
+
=
解得
1
2
1
2
6 5
14 5
6 5
2 5
14 5 2 5
,
,
(
,
),
(
,
).
5
15
5
5
15
15
x
x
l
L
T
T
=
=
−
故与交点为
因T1
在线段
外，
MF
T2
在线段
内，故
MF
1
1
|
|
|
|
|
| 2,
MT
FT
MF
−
=
=
2
2
|
|
|
|
|
| 2.
MT
FT
MF
−
=
，若
不在直线
上，在
P
MF
MFP
中有
|
|
|
|
|
| 2.
MP
FP
MF
−
=
故
|
|
|
|
MP
FP
−
只在T1
点取得最大值．
2
