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备战2022 年高考数学【名校地市好题必刷】全真模拟卷（新高考）
第四模拟
（试卷满分150 分，考试用时120 分钟）
姓名_____________ 班级_________ 考号_______________________
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂
其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求.
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
故选：C
2．已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
，
或
，
所以
，
所以
，
故选：A.
3．抛物线
的焦点到直线
的距离为
，则
（ ）
2
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A．1
B．2
C．
D．4
【答案】B
【详解】
抛物线的焦点坐标为
，
其到直线
的距离：
，
解得：
(
舍去)．
故选：B
4．如图，已知圆柱的底面半径为4，高为3，
是上底面的直径，点
在下底面的圆周上，
则
面积的最大值为（ ）
A．12
B．16
C．18
D．20
【答案】D
【详解】
如图，过
作轴截面
，可知四边形
为矩形，过点C 作
，交EF 于点G，过点
G 作
，交AB 于点D，连接CD，因为
，
，
，所以
平
面
，因为
面
，因此
，又
，所以
，
由圆柱的底面半径为4，可得：
，所以
，
因为四边形
为圆柱的轴截面，所以AF⊥底面CEF，因为
底面CEF，所以AF⊥
，因
为
，
，所以
平面
，因为
平面
，所以
，所以
（
的长小于等于半径），等号成立的条件是
刚好为
半径，所以
，
3
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故选：D.
5．若
，
，
，则、、的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
由已知得
，
，
，且
，
所以
，
故选A.
6．桔槔始见于《墨子备城门》，作“颉皋”，是一种利用杠杆原理的取水机械，如图
･
1 所示.
桔槔的结构相当于一个普通的杠杆，在其横长杆的某处（点O 处）由竖木支撑或悬吊起来，横
杆的一端（点A 处）用一根绳子与汲器相连，另一端（点B 处）绑上一块重石头，如图2 所示，
已知
，
，
.当要汲水时，人用力将绳子与汲器往下压，汲满后，就让另一
端的石头下降经测量，
，
，当桶装满水时水与桶共重150
，且当水桶恰好
离开水面时横杆与套桶的绳的夹角为105°，则在没有外力的干扰下，当水桶恰好离开水面，且
杠杆处于静止状态时，石头的重力约为（ ）（由杠杆原理知，当杠杆处于静止状态时有
（
等于水和桶的重力，
等于石头的重力）.绳子的重量忽略不计，
）
4
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A．400.5
B．419
C．439.2
D．445
【答案】C
【详解】
由题意，得
，则
，
∴
（m）.
由
，得
，解得
（N），
∴当水桶恰好离开水面，且杠杆处于静止状态时，石头的重力约为439.2N，
故选：C.
7．
年月
日，国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外
培训负担的意见》．“双减”政策指出，要全面压减作业总量和时长，某校在“双减”前学生
完成作业时长为随机变量，的期望为，标准差为，在“双减”后，该校学生完成作业的
时长
，的期望为，标准差为，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【详解】
由期望和方差的性质可得
，
，
.
故选：A.
5
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8．已知函数
，若函数
恰有三个不同的零点，则实数的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
由题意得：
；
令
得：
；令
得：
或
；
即
至多有个零点；
若函数
恰有三个不同的零点，则需
大致图象如下图所示，
即需
，
恰有三个不同的零点，
实数的取值范围为
.
二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.
9．2021 年秋季，某省在高一推行新教材，为此该省教育部门组织高中教师在暑假期间进行有
关培训，培训后举行测试（满分100 分）．从参与培训的教师中随机抽取100 名教师并统计他
们的测试分数，得到如图所示的频率分布折线图，则下列说法正确的是（ ）
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A．这100 名教师的测试分数的极差是20
B．这100 名教师中测试分数不低于90 分的人数占总人数的30%
C．这100 名教师的测试分数的中位数为87.5 分
D．这100 名教师的测试分数的众数是87.5 分
【答案】BCD
【详解】
由题意知，这100 名教师的测试分数的最高分与最低分都无法确定，A 不正确；
这100 名教师中测试分数不低于90 分的人数占
，B 正确；设这100 名
教师的测试分数的中位数为a，则
，
解得
（分），C 正确；
由题图易知这100 名教师的测试分数的众数为87.5 分，D 正确．
故选：BCD．
10．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形
纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化对称统一的形式美和谐美
､
､
.在平面直角坐标系中，
如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美
函数”.则下列说法中正确的有（ ）
7
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A．对于一个半径为1 的圆，其“优美函数”仅有1 个
B．函数
可以是某个圆的“优美函数”
C．若函数y=f(x)是“优美函数”，则函数y=f（x）的图象一定是中心对称图形
D．函数
可以同时是无数个圆的“优美函数”
【答案】BD
【详解】
对于A，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A 错误；
对于B，函数
为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B 正确；
对于C，函数y=f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一
定是中心对称函数，如图，故C 错误；
对于D，函数
关于原点对称，是圆
，的“优美函数”，
满足无数个，故D 正确.
故选：BD.
11．在平面直角坐标系中，直线的方程为
，圆
的方程为
，则（
）
A．圆
与圆
：
外切
B．若
，直线与圆
相交于
，
两点，则
C．若
，则直线与圆
一定相交
D．若
，过直线上的一点
作圆
的两条切线，切点分别为
，
，则
的最
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小值为
【答案】AB
【详解】
对于A，圆
：
的圆心为
，半径
，圆
：
的圆心
为
，半径
，两圆的圆心距
，两圆外切，故A 正确；
对于B，直线的方程为
，圆心C 到直线的距离
，所以
，故B 正确；
对于C，因为直线：
过原点，
，原点在圆C 外，所以直线l 与圆C 不
一定相交，故C 不正确；
对于D，由题设及圆的切线性质得，
，
直线的方程为
，
的最小值为圆心C 到直线的距离
，则
的最小
值为
，故D 不正确.综上可知，选AB.
故选：AB
12．在正方体
中，
，
，
分别为
，
，
的中点，则下列说法正确的
是（ ）
A．
B．
平面
C．设
，且
，
分别在线段
与
上，则
的最小值为1
D．设点
在平面
内，且
平面
，则
与平面
所成角的正弦值的最大值
为
【答案】BCD
【详解】
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在正方体
中，以点D 为原点，向量
的方向分别为x，y，z 轴的正方向
建立空间直角坐标系，如图，
令正方体的棱长为1，则
，
对于A，棱
中点
，则
，
，即
与
不垂直，A
不正确；
对于B，棱BC 中点
，则
，令平面
的法向量
，
因此，
，令
，得
，又棱
中点
，
则
，
，即
，而
平面
，
于是得
平面
，B 正确；
对于C，因
，
，
分别在线段
与
上，则
，
点
，
，点
，
，
于是得
，当且仅当
，即
时取“=”，
所以当点P，Q 分别为线段
，
的中点时，
取得最小值1，C 正确；
对于D，因点
在平面
内，设
，则
，由选项B 知平面
的法
向量
，
因
平面
，则
，即
，又平面
的法向量
，
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令直线
与平面
所成的角为，则
当且仅当
时取“=”，因此，当点
时，
与平面
所成角的正弦值的最大值
为
，D 正确.
三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分
13．在
中，
，
，
，
为
的三等分点，则
____________.
【答案】
【详解】
设
，
，
同理
，
，
由
得：
，
∴
．
故答案为：
．
14．设P 是抛物线y2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y2＝4x 的焦点，若B(3，2)，则|PB|＋|PF|
的最小值为________．
【答案】4
【详解】
过点B 作BQ 垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，如图，
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则|P1Q|＝|P1F|．
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
故答案为：4
15．若函数
是偶函数，则
______．
【答案】1
【详解】
由
为偶函数可得
，即
，所以
．因为
，
且
，
，
，
，所以
．
故答案为：1
16．已知函数
，给出下列四个结论:
①函数
在区间
上单调递减；
②和是函数
的极值点；
③当
时，函数
的值域是
，则
；
④函数
的零点至少有个，至多有个．
其中，所有正确结论的序号是______．
【答案】②③④
【详解】
解：当
时，
，则
，令
，得
或3，
所以当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，当
时，
，单调递增，作出函数
的大致图象，如下图所示：
对于①，由图象得，
在
上先减后增，故①错误；
对于②，由图象得，
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点，故②正确；
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对于③，当
时，令
得
，所以若当
时，函数
的值域为
，则
故③正确；
对于④，由
，得函数g (x)的零点，等价于方程f(x)
= 1 和方程f (x) = a 的根的个数，即等价于y= 1 和y= a，与函数y= f(x)的图象的交点个数，
由图象得y= 1 与函数f (x)的图象有2 个交点，
当a< 1 时，y= a 与函数f (x)的图象没有交点，所以函数g (x)的零点有2 个；
当a= 1 时，y= a 与函数f (x )的图象有2 个交点，所以函数g (x)的零点有2 个；
当1<a< 5 时，y= a 与函数f (x )的图象有4 个交点，所以函数g (x)的零点有6 个；
当a= 5 时，y= a 与函数f (x )的图象有3 个交点，所以函数g (x)的零点有5 个；
当a> 5 时，y= a 与函数f (x )的图象有2 个交点，所以函数g (x)的零点有4 个；
所以函数g(x)=[f(x)]2-(a+ 1)f(x) + a 的零点至少有2 个，至多有6 个，故④正确.
故答案为：②③④.
四．解答题：本小题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知等比数列
的公比和等差数列
的公差都为，等比数列
的首项为2，且
，
，
成等差数列，等差数列
的首项为1．
（1）求
和
的通项公式；
（2）若数列
的前项和为
，若对任意
均有
恒成立，求
的范围．
【答案】
（1）因为
，
，
成等差数列，所以：
，整理得：
，
即
，故
，解得
，
所以
，
．
（2）证明：（2）由（1）得：
，
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故
①，
②，
①②得：
，故
．
因此
的范围为
.
18．在
中，内角
，
，
的对边分别为，，，且满足
.
（1）求角
；
（2）若
的面积为
，
，
为边
上一点，且
，求
的长.
【答案】
（1）解：由正弦定理及
，得
，
因为
，可得
，
所以
，
可得
，所以
，
因为
，可得
，所以
，
又因为
，所以
.
（2）解：由三角形的面积公式，可得
，解得
，
又由余弦定理得
，所以
，
联立方程组，可得
或
，
因为
，且
，所以
，
又因为
，可得
，
解得
.
19．在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，
是
的中点，
在线段
上，且满足
．
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（1）求证：
平面
；
（2）在线段
上是否存在点
，使得
与平面
所成角的正弦值是
，若存在，求出
的长；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）证明：由题意，设
，因为
平面
，
，
，
如图，以
为原点，
、
、
所在直线分别为、
、轴建立空间直角坐标系
，
如图所示．
则
，而
，易知
，于是
，
又
是
的中点，故
、
、
、
、
、
，
所以
，
，
设平面
的法向量为
，则
，即
，
令
，则
，
，可得
，
又
，
，
，
平面
，
平面
．
（2）解：设点
坐标为
，其中
，则
，
，
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由
得
，
，
，设
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
，
，
由
，得
，取
，可得
，
则
，
与平面
所成角的正弦值为
，
，
整理得：
，解得：
或
（舍）
所以，存在满足条件的点
，
，且
．
20．已知椭圆
的离心率为
，且过点
．
（1）求椭圆
的标准方程；
（2）过定点
的直线与椭圆
相交于
、
两点，已知点
，设直线
、
的斜
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率分别为
，求证：
．
【答案】
（1）因为椭圆离心率为
，且过点
，
所以
，解得
，
，
所以椭圆
的方程为
．
（2）证明：若
的斜率不存在，则
，
，
此时
，
若
的斜率存在，设
，
，
，
，
设
的方程为
，
，得
，
由韦达定理得
，
，
则
，
，
所以
，
综上
．
21．某俱乐部的甲、乙两名运动员入围某乒乓球个人赛的半决赛后，将分别与其他俱乐部的两
名运动员进行比赛，胜者可进入决赛．已知半决赛采用五局三胜制，即首先获胜三局的运动员
胜出假设甲、乙每局比赛获胜的概率分别为
，
，且每局比赛的结果相互独立．
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（1）求该俱乐部提前锁定冠军的概率；（提前锁定冠军是指同一俱乐部的两名运动员均进入
决赛）；
（2）在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，记本次半决赛所进行的局数为，求的分布列和数
学期望．
【答案】
（1）解：记事件A 表示“该俱乐部提前锁定冠军”，事件B 表示“甲进入决赛”，事件C 表
示“乙进入决赛”，
则
，
，
因此该俱乐部提前锁定冠军的概率
．
（2）解：在该俱乐部提前锁定冠军的条件下，的所有可能取值为6，7，8，9，10，
；
；
；
；
．
所以的分布列为
6
7
8
9
10
P
故数学期望
．
22．已知函数
．
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（1）求函数
的极值；
（2）（i）当
时，
恒成立，求正整数的最大值；
（ii）证明：
．
【答案】
（1）
，x＞0，
当k≤0 时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，没有极值；
当k＞0 时，由f′（x）＞0 得x＞k，由f′（x）＜0 得0＜x＜k，
所以f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，此时函数f（x）的极小值f
（k）＝lnk﹣k+2，没有极大值；
（2）（i）当x＞1 时，f（x）＞0 恒成立，即只要f（x）min＞0 即可，
由（1）k＞0 时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，
（a）若k≤1 时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）min＞f（1）＝1 满足题意；
（b）当k＞1 时，f（x）在（0，k）上单调递减，在（k，+∞）上单调递增，f（x）min＝f（k）
＝lnk﹣k+2＞0，
令g（x）＝lnx﹣x+2，则
＜0，
所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
且g（2）＝ln2＞0，g（3）＝ln3
1
﹣＞0，g（4）＝ln4
2
﹣＜0，
所以存在x0∈（3，4）使得g（x0）＝0，
则g（x）＝lnx﹣x+2＞0 的解集为（1，x0），
综上k 的取值范围（﹣∞，x0），其中x0∈（3，4），
所以正整数k 的最大值3；
（ii）证明：要证
两边取对数，即证
也即证
由（i）知
，
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令x＝1+n（n+1），则ln[n（n+1）+1]＞2﹣
所以
所以（1+1×2）（1+2×3）…[1+n（n+1）]＞
．
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