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专题九
解析几何
第二十七讲双曲线
2019
年
1.（2019 全国III 理10）双曲线C：
2
2
4
2
x
y
−
=1 的右焦点为F，点P 在C 的一条渐进线
上，O 为坐标原点，若
=
PO
PF ，则△PFO 的面积为
A．3 2
4
B．3 2
2
C．2 2
D．3 2
2.
2019
7
（
江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
−
=
经过点（3，4)，
则该双曲线的渐近线方程是 .
3.（2019 全国理
I
16）已知双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的左、右焦点分别为F1，F2，
过F1
的直线与
的两条渐近线分别交于
，
C
A
B 两点．若
1
F A
AB
=
uuur
uuur
，
1
2
0
FB F B
=
uuur uuur
，则C 的
离心率为____________．
4.（2019 年全国II 理11）设F 为双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的右焦点，O 为坐标
原点，以OF 为直径的圆与圆
2
2
2
x
y
a
+
=
交于P，Q 两点.若
PQ
OF
=
，则C 的离心率
为
A．2
B．
3
C．
2
D．5
5．（2019 浙江2）渐近线方程为x±y=0 的双曲线的离心率是
A．
2
2
B
1
．
C．
2
D
2
．
6.
2019
5
（
天津理
）已知抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为F
，准线为l ，若l 与双曲线
2
2
2
2
1
(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且
|
| 4|
|
AB
OF
=
（O为
原点），则双曲线的离心率为
A. 2
B.
3
C.2
D. 5
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2010-2018
年
一、选择题
1
(2018
)
．
浙江双曲线
2
2
1
3
x
y
−
=
的焦点坐标是
A． (
2,0)
−
， ( 2,0)
B． ( 2,0)
−
，(2,0)
C．
(0,
2)
−
，
(0, 2）
D．
(0, 2)
−
，(0,2)
2
(2018
．
全国卷Ⅰ已知双曲线
)
C：
2
2
1
3 −
=
x
y
，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F
的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N ．若OMN 为直角三角形，则|
|
MN =
A．3
2
B
3
C
．
．2 3
D
4
．
3
(2018
．
全国卷Ⅱ双曲线
)
2
2
2
2
1(
0,
0)
−
=
x
y
a
b
a
b
的离心率为3 ，则其渐近线方程为
A．
2
=
y
x B．
3
=
y
x
C
．
2
2
=
y
x
D
．
3
2
=
y
x
4
(2018
．
全国卷Ⅲ)设
1
F ，
2
F 是双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的左、右焦点，O是
坐标原点．过
2
F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若
1
|
|
6 |
|
PF
OP
=
，则C 的
离心率为
A．5
B
2
C
．
．
3
D．2
5．(2018
)
天津已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的离心率为，过右焦点且垂直于
2
x 轴
的直线与双曲线交于A，B 两点．设A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为
1d 和
2
d ，
且
1
2
6
d
d
+
=
，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
4
12
x
y
−
=
B．
2
2
1
12
4
x
y
−
=
C．
2
2
1
3
9
x
y
−
=
D．
2
2
1
9
3
x
y
−
=
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6
2017
．（
新课标Ⅱ）若双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的一条渐近线被圆
2
2
(
2)
4
x
y
−
+
=
所截得的弦长为，则
2
C的离心率为
A
2
B
．
．
3
C．2
D．2 3
3
7
2017
．
（
新课标Ⅲ）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的一条渐近线方程为
5
2
y
x
=
,
且与椭圆
2
2
1
12
3
x
y
+
= 有公共焦点，则C 的方程为
A．
2
2
1
8
10
x
y
−
=
B．
2
2
1
4
5
x
y
−
=
C．
2
2
1
5
4
x
y
−
= D．
2
2
1
4
3
x
y
−
=
8
2017
．（
天津）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的左焦点为F ，离心率为2 ．若经
过F 和(0,4)
P
两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
4
4
x
y
−
=
B．
2
2
1
8
8
x
y
−
=
C．
2
2
1
4
8
x
y
−
= D．
2
2
1
8
4
x
y
−
=
9
(2016
)
．
天津已知双曲线
2
2
2
=1(
0)
4
x
y
b
b
−
，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长
的圆与双曲线的两条渐近线相交于A 、B 、C 、D 四点，四边形的ABCD的面积为2b ，
则双曲线的方程为
A．
2
2
4
4
3
=1
y
x −
B．
2
2
3
4
4
=1
y
x −
C．
2
2
2
4
=1
x
y
b
−
D．
2
2
2
4
=1
1
x
y
−
10．(2016 年全国I)已知方程
2
2
2
2
1
3
x
y
m
n
m
n
−
=
+
−
表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距
离为，则
的取值范围是
4
n
A
(
．–1,3) B．
．
．
(
3) C
–1,
(0,3)
D
(0, 3)
11．(2016 全国II)已知
1
F ,
2
F 是双曲线E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
= 的左、右焦点，点M 在E 上，
1
MF 与
x 轴垂直，
2
1
1
sin
3
MF F
=
,则E 的离心率为
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A．2
B．3
2
C．
3
D．2
12．（2015 四川）过双曲线
2
2
1
3
y
x −
=
的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐
近线于,
A B 两点，则
AB =
A．4 3
3
B．2 3
C
6 D
．
．4 3
13．（2015 福建）若双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
E
−
= 的左、右焦点分别为
1
2
,
F F ，点P 在双曲线E 上，
且
1
3
PF =
，则
2
PF 等于
A
11 B
9 C
5
．
．
．
D
3
．
14．（
湖北）
2015
将离心率为
1e 的双曲线
1
C 的实半轴长a 和虚半轴长
(
)
b a
b
同时增加
(
0)
m m
个单位长度，得到离心率为
2e 的双曲线
2
C ，则
A．对任意的,a b，
1
2
e
e
B．当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
C．对任意的,a b，
1
2
e
e
D
．当a
b
时，
1
2
e
e
；当a
b
时，
1
2
e
e
15．（ 2015 安徽）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为
2
y
x
=
的是
A．
2
2
1
4
y
x −
=
B．
2
2
1
4
x
y
−
=
C．
2
2
1
4
y
x
−
=
D．
2
2
1
4
x
y −
=
16．（ 2015
1
新课标）已知
0
0
(
,
)
M x
y
是双曲线C ：
2
2
1
2
x
y
−
=
上的一点，
1
2
,
F F 是C 的两
个焦点，若
1
2
0
MF
MF
，则
0y 的取值范围是
A．
3
3
(
,
)
3
3
−
B．
3
3
(
,
)
6
6
−
C．
2 2 2 2
(
,
)
3
3
−
D．
2 3 2 3
(
,
)
3
3
−
17．（2015 重庆）设双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
= （
0,
0
a
b
）的右焦点为F ，右顶点为A ，过F
作AF 的垂线与双曲线交于
,
B C 两点，过,
B C 分别作
,
AC AB 的垂线，两垂线交于点
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D ．若D 到直线BC 的距离小于
2
2
a
a
b
+
+
，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A．
( 1,0)
(0,1)
−
∪
B．
(
, 1)
(1,
)
−−
+
∪
C．
( 2,0)
(0, 2)
∪
D．
(
, 1)
( 2,
)
−−
+
∪
18．（2014
1
新课标）已知F 是双曲线C ：
2
2
3 (
0)
x
my
m m
−
=
的一个焦点，则点F 到C
的一条渐近线的距离为
A．3
B
3 C
．
．3m
D．3m
19．（ 2014 广东）若实数
满足
k
0
9
k
，则曲线
2
2
1
25
9
x
y
k
−
=
−
与曲线
2
2
1
25
9
x
y
k −
=
−
的
A．焦距相等
．实半轴长相等
．虚半轴长相等
．离心率相等
B
C
D
20．（ 2014 天津）已知双曲线
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
=
(
)
0,
0
a
b
>
>
的一条渐近线平行于直线l：
2
10
y
x
=
+
，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
20
x
y
-
=
B．
2
2
1
20
5
x
y
-
=
C．
2
2
3
3
1
25
100
x
y
-
=
D．
2
2
3
3
1
100
25
x
y
-
=
21．（2014 重庆）设
2
1
F
F，
分别为双曲线
)
0
,0
(1
2
2
2
2
=
−
b
a
b
y
a
x
的左、右焦点，双曲线
上存在一点P 使得
,
4
9
|
|
|
|,
3
|
|
|
|
2
1
2
1
ab
PF
PF
b
PF
PF
=
=
+
则该双曲线的离心率为
A．3
4
B．3
5
C．4
9 D
3
．
22．（2013 新课标）已知双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
= （
0,
0
a
b
）的离心率为
5
2
，则C
的渐近线方程为
A．
1
4
y
x
=
B．
1
3
y
x
=
C．
1
2
y
x
=
D．y
x
=
23．(2013 湖北)已知0
4
，则双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1
cos
sin
x
y
−
=
与
2
C ：
2
2
sin
y
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2
2
2
1
sin
tan
y
−
= 的
A．实轴长相等
B
C
D
．虚轴长相等
．焦距相等
．离心率相等
24．（2013 重庆）设双曲线C 的中心为点O，若有且只有一对相较于点O 、所成的角为
0
60
的直线
1
1
A B 和
2
2
A B ，使
1
1
2
2
AB
A B
=
，其中
1
A 、
1B 和
2
A 、
2
B 分别是这对直线与双
曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
A．2 3
(
,2]
3
B．2 3
[
,2)
3
C．2 3
(
,
)
3
+ D．2 3
[
,
)
3
+
25．（ 2012 福建）已知双曲线
2
2
2
1
5
x
y
a
−
=
的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于
A． 3 14
14
B．3 2
4
C．3
2
D．4
3
26．（2012 湖南）已知双曲线
：
C
2
2
x
a
-
2
2
y
b
=1 的焦距为10 ，点P（
的渐近线上，
2,1）在C
则
的方程为
C
A．
2
20
x
−
2
5
y
=1 B．
2
5
x
−
2
20
y
=1 C．
2
80
x
−
2
20
y
=1 D．
2
20
x
−
2
80
y
=1
27．（ 2011 安徽）双曲线x
y
−
= 的实轴长是
A．
B．
C．
D．
28．（ 2011 山东）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的两条渐近线均和圆
2
2
:
6
5
0
C x
y
x
+
−
+
=
相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为
A．
2
2
1
5
4
x
y
−
=
B．
2
2
1
4
5
x
y
−
= C．
2
2
1
3
6
x
y
−
=
D．
2
2
1
6
3
x
y
−
=
29．（ 2011 湖南）设双曲线
2
2
2
1(
0)
9
x
y
a
a
−
=
的渐近线方程为
3
2
0
x
y
=
，则a 的值为
A
4 B
3 C
2 D
1
．
．
．
．
30．
（2011 天津）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的左顶点与抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
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的焦点的距离为，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为
4
( 2, 1)
−
−
，则
双曲线的焦距为
A．2 3
B．2 5
C．4 3
D．4 5
31．（2010 新课标）已知双曲线E 的中心为原点，(3,0)
P
是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相
交于A ，B 两点，且AB 的中点为
( 12, 15)
N −
−
,则E 的方程式为
A．
2
2
1
3
6
x
y
−
=
B．
2
2
1
4
5
x
y
−
=
C．
2
2
1
6
3
x
y
−
= D．
2
2
1
5
4
x
y
−
=
32．（2010 新课标）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点
(4, 2)
−
，则它
的离心率为
A．6
B．
5
C．
6
2
D．
5
2
33．（2010 福建）若点O和点F 分别为椭圆
2
2
1
4
3
x
y
+
= 的中心和左焦点，点P 为椭圆上的
任意一点，则
OP FP
的最大值为
A
2 B
3 C
6 D
8
．
．
．
．
二、填空题
34．(2018 上海)双曲线
2
2
1
4
x
y
−
=
的渐近线方程为
．
35．
在平面直角坐标系
(2018 江苏)
xOy 中，若双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的右焦点
( ,0)
F c
到一条渐近线的距离为
3
2 c ，则其离心率的值是 ．
36．（2017 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
1
3
x
y
−
=
的右准线与它的两条渐近
线分别交于点P ，Q ，其焦点是
1F ，
2F ，则四边形
1
2
F PF Q 的面积是
．
37．（ 2017 新课标Ⅰ）已知双曲线C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的右顶点为A，以A为圆
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心，b 为半径做圆A ，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点．若
MAN
=60°，
则C 的离心率为________
．
38．（2017 山东）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
2
2
2
2
1(
0
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
，
的右支与焦
点为F 的抛物线
2
2
(
0)
x
py p
=
交于A，B 两点，若
|
|
|
| 4|
|
AF
BF
OF
+
=
，则该
双曲线的渐近线方程为
．
39．（2017 北京）若双曲线
2
2
1
y
x
m
−
= 的离心率为3 ，则实数m=_________．
40．(2016 年北京双曲线
)
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的渐近线为正方形OABC的边
,
OA OC
所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC
的边长为，则
2
a =______
．
41．(2016 山东)已知双曲线E ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
=
(
0,
0)
a
b
，若矩形ABCD 的四个顶点在E
上，AB ，CD的中点为E 的两个焦点，且
2|
| 3|
|
AB
BC
=
，则E 的离心率是 .
42．（
北京）已知双曲线
2015
(
)
2
2
2
1
0
x
y
a
a
−
=
的一条渐近线为3
0
x
y
+
=
，则 a = ．
43．（2015 江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线
1
2
2
=
−y
x
右支上的一个动点．若
点P 到直线
0
1=
+
−y
x
的距离大于c恒成立，则是实数c 的最大值为
．
44．（2015 山东）平面直角坐标系xOy 中，双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
−
=
(
0,
0)
a
b
的渐近线
与抛物线
2
C ：
2
2
x
py
=
(
0
p
)交于
, ,
O A B ，若△OAB的垂心为
2
C 的焦点，则
1
C 的
离心率为_______．
45．（ 2014 山东）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的焦距为2c ，右顶点为A，抛物线
2
2
(
0)
x
py p
=
的焦点为F ，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且
|
|
FA
c
= ，则双曲线的渐近线方程为
．
46．（ 2014 浙江）设直线
3
0(
0)
x
y
m
m
−
+
=
与双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的两条渐近
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线分别交于点A ，B ，若点
( ,0)
P m
满足
|
| |
|
PA
PB
=
，则该双曲线的离心率是____
．
47．（2014 北京）设双曲线C 经过点 (
)
2,2 ，且与
2
2
1
4
y
x
−
=
具有相同渐近线，则C 的方程
为________；渐近线方程为________
．
48．（ 2013 陕西）双曲线
2
2
1
16
9
x
y
−
=
的离心率为
．
49．（ 2014 湖南）设F1，F2
是双曲线C：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的两个焦点．若在
上
C
存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2
=30°，则
的离心率为
C
_________
．
50．（2013 辽宁）已知F 为双曲线
2
2
:
1
9
16
x
y
C
−
= 的左焦点，,
P Q 为C 上的点，若PQ 的
长等于虚轴长的
倍，点
2
(5,0)
A
在线段PQ，则PQF
的周长为 ．
51．（ 2012 辽宁）已知双曲线
1
2
2
=
−y
x
，点
2
1,F
F
为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，
若
2
1
PF
PF ⊥
，则
2
1
PF
PF +
的值为
．
52．（2012 天津）已知双曲线
)
0
,0
(1
:
2
2
2
2
1
=
−
b
a
b
y
a
x
C
与双曲线
1
16
4
:
2
2
2
=
−y
x
C
有
相同的渐近线，且
1
C 的右焦点为
( 5,0)
F
,则 a =
b =
．
53．（
江苏）在平面直角坐标系
2012
xOy中，若双曲线
2
2
2
1
4
x
y
m
m
−
=
+
的离心率为
5 ，则m
的值为
．
54．（ 2011 山东）已知双曲线
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
和椭圆
2
2
1
16
9
x
y
+
= 有相同的焦点，
且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为
．
55．(2011 北京)已知双曲线
2
2
2
1(
0)
y
x
b
b
−
=
的一条渐近线的方程为
2
y
x
=
，则 b = ．
三、解答题
56．（2014 江西）如图，已知双曲线C ：
2
2
2
1
x
y
a −
=
(
0
a
)的右焦点F ，点
B
A,
分别在C
的两条渐近线上，
x
AF ⊥
轴，
BF
OB
AB
,
⊥
∥OA(O 为坐标原点）．
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（）求双曲线
1
C 的方程；
（2）过C上一点
)
0
)(
(
0
0
,0
y
y
x
P
的直线
1
:
0
2
0
=
−
y
y
a
x
x
l
与直线AF 相交于点M ，
与直线
2
3
=
x
相交于点N ，证明：当点P 在C上移动时，NF
MF 恒为定值，并求
此定值．
57．（2011 广东）设圆C 与两圆
2
2
2
2
(
5)
4,(
5)
4
x
y
x
y
+
+
=
−
+
=
中的一个内切，另一
个外切．
（）求
1
C
的圆心轨迹
的方程；
L
（）已知点
2
M
3 5 4 5
(
,
),
( 5,0)
5
5
F
，且P 为L上动点，求
MP
FP
−
的最大值及
此时点
的坐标．
P
