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专题九
解析几何
第二十八讲
抛物线
2019
年
1.（2019 全国II 理8）若抛物线y2=2px( >0)
p
的焦点是椭圆
2
2
3
1
x
y
p
p
+
=
的一个焦点，则p=
A．
2 B．
3 C．
4 D．8
2.（2019 北京理18（1））已知抛物线
2
:
2
C x
py
= −
经过点(2，-1).求抛物线
的方程及其准
C
线方程；
3．（2019 全国理
I
19）已知抛物线：
C y2
=3x
F
的焦点为，斜率为3
2
的直线与
的交点为
，
l
C
A
B
x
，与
轴的交点为．
P
（1）若
4
AF
BF
+
=
，求的方程；
l
（2）若
3
AP
PB
=
uuur
uur
，求AB ．
4. （2019 全国III 理21）已知曲线C：y=
2
2
x
，D 为直线y=
1
2
−
上的动点，过D 作C 的两
条切线，切点分别为A，B.
（1）证明：直线AB 过定点：
（2）若以E(0，5
2
)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形
ADBE 的面积.
2010-2018
年
一、选择题
1．(2018 全国卷Ⅰ设抛物线
)
C ：
2
4
=
y
x 的焦点为F ，过点 ( 2,0)
−
且斜率为2
3
的直线与C
交于M ，N 两点，则
FM FN =
A．
5
B．
6
C．
7 D．8
2
2017
．（
新课标Ⅰ）已知F 为抛物线C ：
2
4
y
x
=
的焦点，过F 作两条互相垂直的直线1l ，
2l ，直线1l 与C 交于A 、B 两点，直线2l 与C 交于D 、E 两点，则
|
|
|
|
AB
DE
+
的最
小值为
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A
16
B
C
D
．
．14
．12
．10
3．(2016
)
年四川设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
上任意一点，
M 是线段PF 上的点，且PM =2 MF ,则直线OM 的斜率的最大值为
A．
3
3
B．2
3
C．
2
2
D
1
．
4．(2016 年全国
以抛物线
I)
C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E
两点．已知|
|
AB =4 2 ，|
|
DE =2 5 ，则C 的焦点到准线的距离为
A
2 B
．
．
．
．
4 C
6 D
8
5
2015
．（
浙江）如图，设抛物线
2
4
y
x
=
的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的
点
, ,
A B C ，其中点,
A B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF
与ACF
的面积之比是
A．
1
1
BF
AF
−
−
B．
2
2
1
1
BF
AF
−
−
C．
1
1
BF
AF
+
+
D．
2
2
1
1
BF
AF
+
+
6
2015
．（
四川）设直线l 与抛物线
2
4
y
x
=
相交于
,
A B 两点，与圆
(
)
(
)
2
2
2
5
0
x
y
r
r
−
+
=
相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l
恰有
条，则
4
r 的取值范围是
A． (
)
1 3
，
B． (
)
1 4
，
C． (
)
2 3
，
D． (
)
2 4
，
7
2014
1
．（
新课标）已知抛物线C ：
2
8
y
x
=
的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是
直线PF 与C 的一个焦点，若
4
FP
FQ
=
，则|
|
QF =
A．7
2
B．5
2
C．
．
3 D
2
8
2014
．（
新课标2）设F
为抛物线
：
C
2
3
y
x
=
的焦点，过F
且倾斜角为
°的直线交
30
C 于
,
A B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（
）
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A．3 3
4
B．9 3
8
C．63
32
D．9
4
9
2014
．（
辽宁）已知点
( 2,3)
A −
在抛物线C：
2
2
y
px
=
的准线上，过点
的直线与
在第
A
C
一象限相切于点B，记
的焦点为
，则直线
的斜率为（
）
C
F
BF
A．1
2
B．2
3
C．3
4
D．4
3
10．（2013 新课标）
1
O 为坐标原点，F 为抛物线
2
:
4 2
C y
x
=
的焦点，P 为C 上一点，
若
|
| 4 2
PF =
，则POF
的面积为（
）
A．2
B．2 2
C．2 3
D．4
11．（2013 江西）已知点
(
)
2,0
A
，抛物线
2
:
4
C x
y
=
的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相
交于点M ，与其准线相交于点N ，则
|
|:|
|
FM
MN =
A．2:
5
B
1:2 C
．
．1:
5 D
1:3
．
12．（
新课标）等轴双曲线
2012
C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线
x
y
16
2 =
的
准线交于A 、B 两点，
3
4
|
|
=
AB
，则C 的实轴长为
A、2
B、
2
2
C
4
D
8
、
、
13．（2012 山东）已知双曲线
1
C ：
2
2
2
2
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
−
=
的离心率为
．若抛物线
2
2
2
:
2
(
0)
C
x
py p
=
的焦点到双曲线
1
C 的渐近线的距离为，则抛物线
2
2
C 的方程为
A．
2
8 3
3
x
y
=
B
．
2
16 3
3
x
y
=
C．
2
8
x
y
=
D．
2
16
x
y
=
14．（ 2011 新课标）已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，
B 两点，
|
| 12
AB =
，P 为C 的准线上一点，则ABP
的面积为
A
18 B
24 C
36 D
．
．
．
．48
二、填空题
15．(2018
)
全国卷Ⅲ已知点
( 1,1)
M −
和抛物线C ：
2
4
y
x
=
，过C 的焦点且斜率为k 的直
线与C 交于A，B 两点．若
90
AMB
=
，则 k = ______
．
16
2017
．（
新课标Ⅱ）已知F 是抛物线C ：
2
8
y
x
=
的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长
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线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，则
|
|
FN =
．
17．（ 2015 陕西）若抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
的准线经过双曲线
2
2
1
x
y
−
=
的一个焦点，则
p =
18．（ 2014 湖南）如图，正方形
4
ABCD
DEFG
和正方形
的边长分别为
, (
)
a b a
b
，原点
O 为AD 的中点，抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
经过
,
b
C F
a =
两点，则
．
19．（ 2013 北京）若抛物线
2
2
y
px
=
的焦点坐标为(1,0) ，则 p = ，准线方程为
．
20．（ 2012 陕西）右图是抛物线形拱桥，当水面在l
时，拱顶离水面
米，水面宽
米，水
2
4
位下降
米后，水面宽
米．
1
21．（2010 浙江）设抛物线
2
2
(
0)
y
px p
=
的焦点为F ，点
(0,2)
A
．若线段FA 的中点B
在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________
．
三、解答题
22．（2018 北京）已知抛物线C ：
2
2
y
px
=
经过点(1,2)
P
．过点
(0,1)
Q
的直线l与抛物线
C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ．
(1)求直线l 的斜率的取值范围；
(2)设O 为原点，
QM
QO
=
，
QN
QO
=
，求证：1
1
+
为定值．
23．（2018 全国卷Ⅱ）设抛物线
2
4
=
：
C
y
x 的焦点为F ，过F 且斜率为
(
0)
k k
的直线l
与C 交于A ，B 两点，
|
|
8
=
AB
．
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(1)求l 的方程；
(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
24．（ 2018 浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴一点，抛物线
)
C ：
2
4
y
x
=
上存在
不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
P
M
B
A
O
y
x
(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；
(2)若P 是半椭圆
2
2
1
4
y
x +
=
(
0
x
)上的动点，求PAB
面积的取值范围．
25．（ 2017 新课标Ⅲ）已知抛物线C ：
2
2
y
x
=
，过点(2,0) 的直线l 交C 与A ，B 两点，
圆M 是以线段AB 为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2)设圆M 过点
(4, 2)
P
−
，求直线l 与圆M 的方程．
26．（ 2017 浙江）如图，已知抛物线
2
x
y
=
．点
1 1
(
,
)
2 4
A −
，
3 9
( , )
2 4
B
，抛物线上的点
( , )
P x y
1
3
(
)
2
2
x
−
，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q ．
y
x
Q
A
B
P
O
（Ⅰ）求直线AP 斜率的取值范围；
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（Ⅱ）求
|
| |
|
PA
PQ
的最大值．
27．（2017 北京）已知抛物线C ：2
2
y
px
=
过点
(1,1)
P
．过点
1
(0, )
2
作直线l 与抛物线C 交
于不同的两点M ，N ，过点M 作x 轴的垂线分别与直线OP ，ON 交于点A ，B ，
其中O 为原点．
（Ⅰ
抛物线
）求
C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A 为线段BM 的中点．
28．(2016 年全国III)已知抛物线
：
C
2
2
y
x
=
的焦点为
，平行于
轴的两条直线
F
x
1l ，2l 分
别交
于
，
两点，交
的准线于
，
两点
C
A
B
C
P
Q
.
（Ⅰ）若
在线段
是
的中点，证明
∥
；
F
AB 上，R
PQ
AR
FQ
（Ⅱ）若△PQF 的面积是△
的面积的两倍，求
中点的轨迹方程．
ABF
AB
29．（ 2015 新课标
）在直角坐标系
1
xoy中，曲线C ：
2
4
x
y =
与直线
y
kx
a
=
+
(
0)
a
交
与M ，N 两点，
（Ⅰ）当
0
k =
时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；
（Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有
OPM
OPN
=
？说明理由．
30．（ 2014 山东）已知抛物线
）
＞0
(
2
:
2
p
px
y
C
=
的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意
一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有
FA
FD
=
，
当点A
的横坐标为3 时，ADF
为正三角形。
（Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线
l
l //
1
，且
1l 和C 有且只有一个公共点E ，
（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说
明理由。
31．（2014 陕西）如图，曲线C 由上半椭圆
2
2
1
2
2
:
1(
0,
0)
y
x
C
a
b
y
a
b
+
=
和部分抛物
线
2
2
:
1(
0)
C
y
x
y
= −
+
连接而成，
1
2
,
C C 的公共点为,
A B ，其中
1
C 的离心率为
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3
2
．
（Ⅰ）求,a b的值；
（Ⅱ）过点B 的直线l 与
1
2
,
C C 分别交于,
P Q （均异于点,
A B ），若
AP
AQ
⊥
，求
直线l 的方程．
32．
（
广东）已知抛物线
2013
C 的顶点为原点，其焦点
(
)(
)
0,
0
F
c
c
到直线
:
2
0
l x
y
−
−
=
的距离为3 2
2
．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线
,
PA PB ，其中
,
A B 为切点．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）当点
(
)
0
0
,
P x y
为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程；
（Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求
AF
BF
的最小值．
33．（
新课标）设抛物线
2012
C ：
)
0
(
2
2
=
p
py
x
的焦点为F ，准线为l，A 为C 上一点，
已知以F 为圆心，FA为半径的圆F 交l 于B 、D 点．
（Ⅰ）若
o
BFD
90
=
，ABD
的面积为
2
4
，求p 的值及圆F 的方程；
（Ⅱ）若A 、B 、F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共
点，求坐标原点到m 、n 距离的比值．
34．（2011 新课标）在平面直角坐标系xoy中，已知点
(0, 1)
A
−
，B 点在直线
3
y = −上，
M 点满足
/ /
MB
OA ，
MA AB
MB BA
=
，M
点的轨迹为曲线
．
C
（Ⅰ）求
的方程；
C
（Ⅱ）P
为
上动点，
C
l
为
在点
C
P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．
