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广东省韶关市乐昌市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x
3
﹣）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0
C．x2=1 D．x2﹣
+2=0
2．（3 分）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x
20=0
﹣
D．x2﹣x
1=0
﹣
3．（3 分）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示祝贺，班长说：每位同
学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970 张．问：该班共有多少个
学生？如设该班共有x 个学生，则可列方程为（ ）
A．
x（x
l
﹣）=2970 B．x（x
l
﹣）=2970 C．x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
4．（3 分）抛物线y=（x+1）2+2 的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=
1
﹣
D．直线x=
1
﹣
5．（3 分）抛物线y=
2x
﹣
2先向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，所得抛物线是（ ）
A．y=
2
﹣（x+1）2+3 B．y=
2
﹣（x+1）2
3
﹣C．y=
2
﹣（x
1
﹣）2
3
﹣D．y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3
6．（3 分）抛物线y=
（x
2
﹣）2
3
﹣的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
7．（3 分）已知关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+x+1=0 有实数根，则m 的取值范围是（ ）
A．m
B．m＞1 C．m＜1 D．m
且m≠1
8．（3 分）已知一元二次方程x2
6x
﹣
+c=0 有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
9．（3 分）函数y=ax
2
﹣（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3 分）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2
1
﹣上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
二、填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）方程x2=2x 的根为 ．
12．（4 分）如果二次函数y=（m
2
﹣）x2+3x+m2
4
﹣的图象经过原点，那么m= ．
13．（4 分）当代数式x2+3x+5 的值等于7 时，代数式3x2+9x
2
﹣的值是 ．
14．（4 分）二次函数y=x2+bx+c 的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则此抛物线的对称轴是直
线x= ．
15．（4 分）方程（m
2
﹣）x|m|+3mx+1=0 是关于x 的一元二次方程，则 m= ．
16．（4 分）抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0 时，x 的取值范围是 ．
三、解答题（一）（本大题3 小题，每小题6 分，共18 分）
17．（6 分）解方程：x2
4x
1=0
﹣
﹣
．
18．（6 分）已知抛物线y=
2x
﹣
2+4x
3
﹣．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y 随x 的增大而减小时，求x 的取值范围．
19．（6 分）已知关于x 的一元二次方程x2
4x
﹣
+m
1=0
﹣
有两个相等的实数根，求m 的值及方
程的根．
四、解答题（二）（本大题3 小题，每小题7 分，共21 分）
20．（7 分）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力
度.2014 年市政府共投资3 亿元人民币建设了廉租房12 万平方米，2016 年投资6.75 亿元人
民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求毎年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2016 年建设了多少万平方米廉租房？
21．（7 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+2k
4=0
﹣
有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围：
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值及该方程的根．
22．（7 分）某商场以每件20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m
（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140
2x
﹣
．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利
润为多少？
五.解答题（每小题9 分，共27 分）
23．（9 分）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽
40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40 元/件，如果以单价100 元/件销售，那么每天可售出200 件，另
每天所需支付的各种费用2000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低1 元，每天可多售出
20 件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800 件，那么该公司应该把销售单价
定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
24．（9 分）如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S△PAB=8，并求出此时P 点的坐标．
25．（9 分）如图，抛物线y=x2+x
2
﹣与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于点C．
（1）求点A，点B 和点C 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC 的值最小时的点P 的坐标；
（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．
广东省韶关市乐昌市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．（3 分）（2016 秋•乐昌市期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x
3
﹣）x=x2+2 B．ax2+bx+c=0
C．x2=1 D．x2﹣
+2=0
【分析】根据一元二次方程的定义作出判断．
【解答】解：A、由已知方程得到：3x
2=0
﹣
，属于一元一次方程，故本选项错误；
B、当a=0 时，它不是一元二次方程，故本选项错误；
C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
D、该方程属于分式方程，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方
程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．
2．（3 分）（2016 秋•乐昌市期中）下列方程中没有实数根的是（ ）
A．x2+x+2=0 B．x2+3x+2=0
C．2015x2+11x
20=0
﹣
D．x2﹣x
1=0
﹣
【分析】分别计算出每个选项中方程的b2
4ac
﹣
的值，即可判断．
【解答】解：A、b2
4ac=1
8=
7
﹣
﹣
﹣＜0，没有实数根，此选项正确；
B、b2
4ac=9
8=1
﹣
﹣
＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
C、b2
4ac=121
﹣
+161200=161321＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
D、b2
4ac=1
﹣
+4=5＞0，有两个不相等实数根，此选项错误；
故选：A．
【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如
下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的两个实数
根；③当△＜0 时，方程无实数根．
3．
（3 分）
（2016 秋•乐昌市期中）我市某校九（1）班学生准备在元旦节那天用送贺卡方式表示
祝贺，班长说：每位同学都要送给其他同学一张贺卡，结果九（3）班学生共送出贺卡2970 张．
问：该班共有多少个学生？如设该班共有x 个学生，则可列方程为（ ）
A．
x（x
l
﹣）=2970 B．x（x
l
﹣）=2970 C．x（x+l）=2970 D．x（x+1）=2970
【分析】设全班有x 名同学，根据全班互赠贺卡，每人向本班其他同学各赠送一张，全班共相
互赠送了2970 张可列出方程．
【解答】解：∵全班有x 名同学，
∴每名同学要送出贺卡（x
1
﹣）张；
又∵是互送贺卡，
∴总共送的张数应该是x（x
1
﹣）=2970．
故选B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是理解题意后，类比数线段来做，互赠张数就
像总线段条数，人数类似线段端点数．
4．（3 分）（2012•西城区校级模拟）抛物线y=（x+1）2+2 的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=
1
﹣
D．直线x=
1
﹣
【分析】根据顶点式二次函数解析式写出对称轴解析式即可．
【解答】解：抛物线y=（x+1）2+2 的对称轴为x=
1
﹣．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式解析式是解题的关键．
5．
（3 分）
（2016 秋•乐昌市期中）抛物线y=
2x
﹣
2先向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，
所得抛物线是（ ）
A．y=
2
﹣（x+1）2+3 B．y=
2
﹣（x+1）2
3
﹣C．y=
2
﹣（x
1
﹣）2
3
﹣D．y=
2
﹣（x
1
﹣）2+3
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y=
2x
﹣
2的顶点坐标为（0，0），
向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=
2
﹣（x+1）2
3
﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下
减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
6．（3 分）（2014•徐汇区一模）抛物线y=
（x
2
﹣）2
3
﹣的顶点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【解答】解：因为
的是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，﹣3）．
故选B．
【点评】此题考查了二次函数顶点式的性质：抛物线y=a（x
h
﹣）2+k 的顶点坐标为（h，k）．
7．
（3 分）
（2014•罗平县校级模拟）已知关于x 的一元二次方程（m
1
﹣）x2+x+1=0 有实数根，则
m 的取值范围是（ ）
A．m
B．m＞1 C．m＜1 D．m
且m≠1
【分析】由方程有实数根得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出m
的范围．
【解答】解：∵一元二次方程（m
1
﹣）x2+x+1=0 有实数根，
∴△=1
4
﹣（m
1
﹣）≥0，且m
1
﹣≠0，
解得：m≤
且m≠1．
故选D
【点评】此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于0，方程有两个不相等的实数根；根的
判别式的值等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于0，方程没有实数根．
8．（3 分）（2013•黄冈）已知一元二次方程x2
6x
﹣
+c=0 有一个根为2，则另一根为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
【分析】利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为α，则α+2=6，
解得α=4．
故选C．
【点评】本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程
x2+px+q=0 的两根时，x1+x2=
p
﹣，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数
确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
9．（3 分）（2011•钦州）函数y=ax
2
﹣（a≠0）与y=ax2（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象
可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0 时，抛物线开口向上，直线与y 轴的负半轴相交，
经过第一、三、四象限，②当a＜0 时，抛物线开口向下，直线与y 轴的负半轴相交，经过第二、
三、四象限，因此选择A．
【解答】解：∵在y=ax
2
﹣，
∴b=
2
﹣，
∴一次函数图象与y 轴的负半轴相交，
∵①当a＞0 时，
∴二次函数图象经过原点，开口向上，一次函数图象经过第一、三、四象限，
∵②当a＜0 时，
∴二次函数图象经过原点，开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，
故选A．
【点评】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关
系．
10．（3 分）（2016 秋•乐昌市期中）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣
（x+2）2
1
﹣上，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y3＜y1＜y2
【分析】分别把﹣4、﹣1、1 代入解析式进行计算，比较即可．
【解答】解：y1=﹣
（﹣4+2）2
1=
3
﹣
﹣，
y2=﹣
（﹣1+2）2
1=
﹣
﹣
，
y3=﹣
（1+2）2
1=
﹣
﹣
，
则y3＜y1＜y2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上
点的坐标满足其解析式．
二、填空题（本大题6 小题，每小题4 分，共24 分）
11．（4 分）（2015 秋•北塘区期末）方程x2=2x 的根为
x 1=0
，
x 2=2
．
【分析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：x2=2x，
x2
2x=0
﹣
，
x（x
2
﹣）=0，
x=0，或x
2=0
﹣
，
x1=0，x2=2，
故答案为：x1=0，x2=2．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式
分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
12．（4 分）（2012•闸北区一模）如果二次函数y=（m
2
﹣）x2+3x+m2
4
﹣的图象经过原点，那么
m= ﹣
2
．
【分析】将原点坐标（0，0）代入二次函数解析式，列方程求m，注意二次项系数m
2
﹣≠0．
【解答】解：∵点（0，0）在抛物线y=（m
2
﹣）x2+x+（m2
4
﹣）上，
∴m2
4=0
﹣
，
解得m=±2，
又二次项系数m
2
﹣≠0，
∴m=
2
﹣．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的
关键，判断二次项系数不为0 是难点．
13．（4 分）（2015•科左中旗校级一模）当代数式x2+3x+5 的值等于7 时，代数式3x2+9x
2
﹣的
值是
4
．
【分析】根据题意求出x2+3x 的值，原式前两项提取3 变形后，将x2+3x 的值代入计算即可求
出值．
【解答】解：∵x2+3x+5=7，即x2+3x=2，
∴原式=3（x2+3x）﹣2=6
2=4
﹣
．
故答案为：4．
【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14．（4 分）（2016 秋•乐昌市期中）二次函数y=x2+bx+c 的图象上有两点（3，4）和（﹣5，4），则
此抛物线的对称轴是直线x= ﹣
1
．
【分析】根据两已知点的坐标特征得到它们是抛物线的对称点，而这两个点关于直线x=
1
﹣
对称，由此可得到抛物线的对称轴．
【解答】解：∵点（3，4）和（﹣5，4）的纵坐标相同，
∴点（3，4）和（﹣5，4）是抛物线的对称点，
而这两个点关于直线x=
1
﹣对称，
∴抛物线的对称轴为直线x=
1
﹣．
故答案为﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣
，
），对称轴直线x=﹣
．
15．（4 分）（2016 秋•乐昌市期中）方程（m
2
﹣）x|m|+3mx+1=0 是关于x 的一元二次方程，则
m= ﹣
2
．
【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：未知数的最高次数是
2；二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意，得
|m|=2，且m
2
﹣≠0，解得m=
2
﹣，
故答案为：﹣2．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方
程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0 的条件．这是在做
题过程中容易忽视的知识点．
16．（4 分）（2016 秋•乐昌市期中）抛物线的部分图象如图所示，则当y＜0 时，x 的取值范围
是
x ＞
3 或
x ＜
﹣
1
．
【分析】由函数图象可知抛物线的对称轴为x=1，从而可得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标
为（3，0），y＜0，找出抛物线位于x 轴下方部分x 的取值范围即可．
【解答】解：根据函数图象可知：抛物线的对称轴为x=1，抛物线与x 轴一个交点的坐标为（﹣
1，0），
由抛物线的对称性可知：抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（3，0）．
∵y＜0，
∴x＞3 或x＜﹣1．
故答案为：x＞3 或x＜﹣1．
【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式的关系，根据函数图象确定出抛物线与x 轴两
个交点的坐标是解题的关键．
三、解答题（一）（本大题3 小题，每小题6 分，共18 分）
17．（6 分）（2011•清远）解方程：x2
4x
1=0
﹣
﹣
．
【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】解：∵x2
4x
1=0
﹣
﹣
，
∴x2
4x=1
﹣
，
∴x2
4x
﹣
+4=1+4，
∴（x
2
﹣）2=5，
∴x=2±
，
∴x1=2+
，x2=2﹣
．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方
法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2 的倍数．
18．（6 分）（2016 秋•乐昌市期中）已知抛物线y=
2x
﹣
2+4x
3
﹣．
（1）求出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）当y 随x 的增大而减小时，求x 的取值范围．
【分析】（1）把解析式化为顶点式可求得其对称轴和顶点坐标；
（2）由抛物线的开口方向及对称轴，根据抛物线的增减性可求得x 的取值范围．
【解答】解：
（1）∵y=
2x
﹣
2+4x
3=
2
﹣
﹣（x
1
﹣）2
1
﹣，
∴对称轴为x=l，顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）∵抛物线开口向下，且对称轴为x=1，
∴当x＞l 时y 随x 的增大而减小．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣
h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．
19．
（6 分）
（2010•北京）已知关于x 的一元二次方程x2
4x
﹣
+m
1=0
﹣
有两个相等的实数根，求
m 的值及方程的根．
【分析】首先根据原方程根的情况，利用根的判别式求出m 的值，即可确定原一元二次方程，
进而可求出方程的根．
【解答】解：由题意可知△=0，即（﹣4）2
4
﹣（m
1
﹣）=0，解得m=5．
当m=5 时，原方程化为x2
4x
﹣
+4=0．解得x1=x2=2．
所以原方程的根为x1=x2=2．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
四、解答题（二）（本大题3 小题，每小题7 分，共21 分）
20．
（7 分）
（2016 秋•乐昌市期中）为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加
快了廉租房的建设力度.2014 年市政府共投资3 亿元人民币建设了廉租房12 万平方米，2016
年投资6.75 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求毎年市政府投资的增长率；
（2）若这两年内的建设成本不变，问2016 年建设了多少万平方米廉租房？
【分析】（1）设每年市政府投资的增长率为x，由3（1+x）2=2016 年的投资，列出方程，解方程
即可；
（2）2016 年的廉租房=12（1+50%）2，即可得出结果．
【解答】解：（1）设每年市政府投资的增长率为x，
根据题意得3（1+x）2=6.75，
解得x=0.5 或x=
2.5
﹣
（不合题意，舍去），
x=0.5×100%=50%，即每年市政府投资的增长率为50%
（2）∵12（1+50%）2=27，
∴.2016 年建设了 27 万平方米廉租房．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用；熟练掌握列一元一次方程解应用题的方法，根据题
意找出等量关系列出方程是解决问题的关键．
21．（7 分）（2016 秋•乐昌市期中）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+2k
4=0
﹣
有两个不相等
的实数根．
（1）求k 的取值范围：
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值及该方程的根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△=22
4
﹣（2k
4
﹣）＞0，然后解不等式即可得到k 的范围；
（2）先确定整数k 的值为1 或2，然后把k=1 或k=2 代入方程得到两个一元二次方程，然后解
方程确定方程有整数解的方程即可．
【解答】解：（1）依题意得△=22
4
﹣（2k
4
﹣）＞0，
解得：k＜
：
（2）因为k＜
且k 为正整数，
所以k=l 或2，
当k=l 时，方程化为x2+2x
4=0
﹣
，△=18，此方程无整数根；
当k=2 时，方程化为x2+2x=0 解得x1=0，x2=
2
﹣，
所以k=2，方程的有整数根为x1=0，x2=
2
﹣．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2
4ac
﹣
有如下
关系：当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0 时，方程有两个相等的两个实数
根；当△＜0 时，方程无实数根．
22．
（7 分）
（2000•甘肃）某商场以每件20 元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天
的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足关系：m=140
2x
﹣
．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利
润为多少？
【分析】（1）由销售利润=（销售价﹣进价）×销售量可列出函数关系式；
（2）应用二次函数的性质，求最大值．
【解答】解：（1）依题意，y=m（x
20
﹣
），代入m=140
2x
﹣
化简得y=
2x
﹣
2+180x
2800
﹣
．
（2）y=
2x
﹣
2+180x
2800
﹣
=
2
﹣（x2
90x
﹣
）﹣2800
=
2
﹣（x
45
﹣
）2+1250．
当x=45 时，y 最大=1250．
∴每件商品售价定为45 元最合适，此销售利润最大为1250 元．
【点评】本题考查的是二次函数的应用，难度一般，用配方法求出函数最大值即可．
五.解答题（每小题9 分，共27 分）
23．
（9 分）
（2014 秋•深圳期末）在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该
工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．
（1）若丝绸花边的面积为650cm2，求丝绸花边的宽度；
（2）已知该工艺品的成本是40 元/件，如果以单价100 元/件销售，那么每天可售出200 件，另
每天所需支付的各种费用2000 元，根据销售经验，如果将销售单价降低1 元，每天可多售出
20 件，同时，为了完成销售任务，该公司每天至少要销售800 件，那么该公司应该把销售单价
定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程
求解；
（2）先根据题意设每件工艺品降价为x 元出售，获利y 元，则降价x 元后可卖出的总件数为
（200+20x），每件获得的利润为（100
x
40
﹣﹣
），此时根据获得的利润=卖出的总件数×每件
工艺品获得的利润，列出二次方程，再根据求二次函数最值的方法求解出获得的最大利润即
可．
【解答】解：（1）设花边的宽度为xcm，根据题意得：
（60
2x
﹣
）（40
x
﹣）=60×40
650
﹣
，
解得：x=5 或x=65（舍去）．
答：丝绸花边的宽度为5cm；
（2）设每件工艺品定价x 元出售，获利y 元，则根据题意可得：
y=（x
40
﹣
）[200+20（100
x
﹣）]
2000=
20
﹣
﹣
（x
75
﹣
）2+22500；
∵销售件数至少为800 件，故40＜x≤70
∴当x=70 时，有最大值，y=22000
当售价为70 元时有最大利润22000 元．
【点评】考查了一元二次方程的应用及二次函数的应用，特别是二次函数的应用，其关键是从
实际问题中整理出二次函数模型，难度中等．
24．（9 分）（2015•大庆模拟）如图，抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；
（3）设（1）中的抛物线上有一个动点P，当点P 在该抛物线上滑动到什么位置时，满足
S△PAB=8，并求出此时P 点的坐标．
【分析】（1）由于抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，那么可以得到方程
x2+bx+c=0 的两根为x=
1
﹣或x=3，然后利用根与系数即可确定b、c 的值．
（2）根据S△PAB=8，求得P 的纵坐标，把纵坐标代入抛物线的解析式即可求得P 点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c 与x 轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，
∴方程x2+bx+c=0 的两根为x=
1
﹣或x=3，
∴﹣1+3=
b
﹣，
1
﹣×3=c，
∴b=
2
﹣，c=
3
﹣，
∴二次函数解析式是y=x2
2x
3
﹣
﹣．
（2）∵y=
x
﹣2
2x
3=
﹣
﹣
（x
1
﹣）2
4
﹣，
∴抛物线的对称轴x=1，顶点坐标（1，﹣4）．
（3）设P 的纵坐标为|yP|，
∵S△PAB=8，
∴
AB•|yP|=8，
∵AB=3+1=4，
∴|yP|=4，
∴yP=±4，
把yP=4 代入解析式得，4=x2
2x
3
﹣
﹣，
解得，x=1±2
，
把yP=
4
﹣代入解析式得，﹣4=x2
2x
3
﹣
﹣，
解得，x=1，
∴点P 在该抛物线上滑动到（1+2
，4）或（1
2
﹣
，4）或（1，﹣4）时，满足S△PAB=8．
【点评】此题主要考查了利用抛物线与x 轴的交点坐标确定函数解析式，二次函数的对称轴
点的坐标以及二次函数的性质，二次函数图象上的坐标特征，解题的关键是利用待定系数法
得到关于b、c 的方程，解方程即可解决问题．
25．
（9 分）
（2016 秋•乐昌市期中）如图，抛物线y=x2+x
2
﹣与x 轴交于A、B 两点，与y 轴交于
点C．
（1）求点A，点B 和点C 的坐标；
（2）在抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC 的值最小时的点P 的坐标；
（3）若点M 是直线AC 下方抛物线上一动点，求四边形ABCM 面积的最大值．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P．求出直线AC 的解析式即可解决问题．
（3）过点M 作MN 丄x 轴与点N，设点M（x，x2+x
2
﹣），则AN=x+2，0N=
x
﹣，0B=1，0C=2，
MN=﹣（x2+x
2
﹣）=
x
﹣2
x
﹣+2，根据S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC构建二次函数，利用二
次函数的性质即可解决问题．
【解答】解：（1）由 y=0，得 x2+x
2=0
﹣
解得 x=
2 x=l
﹣
，
∴A（﹣2，0），B（l，0），
由 x=0，得 y=
2
﹣，
∴C（0，﹣2）．
（2）连接AC 与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y=kx+b，则﹣2k+b=0，b=
2
﹣：得 k=
l
﹣，y=
x
2
﹣﹣．
对称轴为 x=﹣
，当 x=﹣
时，y=_（﹣
）﹣2=﹣
，
∴P（﹣
，﹣
）．
（3）过点M 作MN 丄x 轴与点N，
设点M（x，x2+x
2
﹣），则AN=x+2，0N=
x
﹣，0B=1，0C=2，MN=﹣（x2+x
2
﹣）=
x
﹣2
x
﹣+2，
S 四边形ABCM=S△AOM+S△OCM+S△BOC= （x+2）（﹣x2
x
﹣+2）+ （2
x
﹣2
x
﹣+2）（﹣x）+
×1×2
=
x
﹣2
2x
﹣
+3
=﹣（x+1）2+4．
∵﹣1＜0，
∴当x=_l 时，S 四边形ABCM的最大值为4．
【点评】本题考查二次函数综合题、待定系数法、两点之间线段最短、最值问题等知识，解题的
关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用对称解决在性质问题，学会构建二次函数解决
最值问题，属于中考常考题型．
