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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）sin30°的值是（ ）
A．
B．
C．1 D．
2．（3 分）已知反比例函数y=
，下列各点不在该函数图象上的是（ ）
A．（2，3）B．
（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（1，6）
3．（3 分）一元二次方程x2
x
2=0
﹣﹣
的解是（ ）
A．x1=
1
﹣，x2=
2
﹣B．x1=1，x2=
2
﹣
C．x1=1，x2=2 D．x1=
1
﹣，x2=2
4．（3 分）下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
5．（3 分）抛物线y=2（x
1
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
6．（3 分）口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的小球共30 个，摸到红球
的概率是
，摸到蓝球的概率是
，则袋子里有白球（ ）个．
A．15
B．10
C．5 D．6
7．
（3 分）华为手机营销按批量投入市场，第一次投放20000 台，第三次投放80000 台，每次按
相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．20000（1+x）2=80000
B．20000（1+x）+20000（1+x）2=80000
C．20000（1+x2）=80000
D．20000+20000（1+x）+20000（1+x）2=80000
8．（3 分）如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A 处观测到楼H 在北偏东60°方向
上，行驶1 小时后到达B 处，此时观测到楼H 在北偏东30°方向上，那么该车继续行驶
（ ）分钟可使汽车到达离楼H 距离最近的位置．
A．60
B．30
C．15
D．45
9．（3 分）如图，在△ABC 中，D、E 分别是线段AB、AC 的中点，则△ABC 与△ADE 的面积之
比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．4：1 D．2：1
10．（3 分）身高1.8 米的人在阳光下的影长是1.2 米，同一时刻一根旗杆的影长是6 米，则它
的高度是（ ）
A．10 米B．9 米C．8 米D．10.8 米
11．（3 分）如图，直线y=1 与抛物线y=x2
2x
﹣
相交于M、N 两点，则M、N 两点的横坐标是下
列哪个方程的解？（ ）
A．x2
2x
﹣
+1=0
B．x2
2x
1=0
﹣
﹣
C．x2
2x
2=0
﹣
﹣
D．x2
2x
﹣
+2=0
12．（3 分）如图，点A、B 在反比例函数y=
的图象上，过点A、B 作x 轴的垂线，垂足分别是
M、N，射线AB 交x 轴于点C，若OM=MN=NC，四边形AMNB 的面积是3，则k 的值为（
）
A．2 B．4 C．﹣2
D．﹣4
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）二次函数y=ax2
2ax
﹣
+3 的对称轴是x= ．
14．（3 分）已知菱形的两条对角线长分别为10 和24，则菱形的边长为 ．
15．（3 分）二次函数y1=ax2+bx+c 的图象与一次函数y2=kx+b 的图象如图所示，当y2＞y1时，
根据图象写出x 的取值范围 ．
16．（3 分）如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、C、D 在同一直线上，连
接AD，若AB=
，则sin∠CAD= ．
三、解答题（本大题共52 分）
17．（5 分）2cos60°
sin
﹣
245°+（﹣tan45°）2016．
18．（6 分）解方程：2（x+1）2=x+1．
19．
（7 分）小鹏和小娟玩一种游戏：小鹏手里有三张扑克牌分别是3、4、5，小娟有两张扑克牌
6、7，现二人各自把自己的牌洗匀，小鹏从小娟的牌中任意抽取一张，小娟从小鹏的牌中任意
抽取一张，计算两张数字之和，如果和为奇数，则小鹏胜；如果和为偶数则小娟胜．
（1）用列表或画树状图的方法，列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．
20．（8 分）如图，AD∥BC，AF 平分∠BAD 交BC 于点F，BE 平分∠ABC 交AD 于点E．求证：
（1）△ABF 是等腰三角形；
（2）四边形ABFE 是菱形．
21．（8 分）某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元，每天可以销售48 件，为尽
快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每
件应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
22．（9 分）如图，一次函数y=k1x
1
﹣的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，与反比例函数y=
的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM 的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x 轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x 轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理
由．
23．（9 分）已知△ABC 是边长为4 的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在
第一象限内，AB 与y 轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．
（1）点A 的坐标： ，点E 的坐标： ；
（2）若二次函数y=﹣
x2+bx+c 过点A、E，求此二次函数的解析式；
（3）P 是AC 上的一个动点（P 与点A、C 不重合）连结PB、PD，设l 是△PBD 的周长，当l 取最
小值时，求点P 的坐标及l 的最小值并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说
明你的判断理由．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分）
1．（3 分）（2014•高青县模拟）sin30°的值是（ ）
A．
B．
C．1 D．
【解答】解：sin30°=
．
故选A．
2．（3 分）（2015 秋•福田区期末）已知反比例函数y=
，下列各点不在该函数图象上的是（
）
A．（2，3）B．
（﹣2，﹣3）C．（2，﹣3）D．（1，6）
【解答】解：A、∵2×3=6，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
B、∵﹣2×（﹣3）=6，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
C、∵2×（﹣3）=
6
﹣≠6，点不在反比例函数图象上，故本选项正确；
D、∵1×6=6，点在反比例函数图象上，故本选项错误；
故选C．
3．（3 分）（2015 秋•福田区期末）一元二次方程x2
x
2=0
﹣﹣
的解是（ ）
A．x1=
1
﹣，x2=
2
﹣B．x1=1，x2=
2
﹣
C．x1=1，x2=2 D．x1=
1
﹣，x2=2
【解答】解：（x
2
﹣）（x+1）=0，
x
2=0
﹣
或x+1=0，
所以x1=2，x2=
1
﹣．
故选D．
4．（3 分）（2010•襄阳）下面四个几何体中，主视图与俯视图不同的共有（ ）
A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个
【解答】解：圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，它的主视图与俯视图不同；
圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图式圆，它的主视图与俯视图不同；
球体的三视图均为圆，故它的主视图和俯视图相同；
正方体的三视图均为正方形，故它的主视图和俯视图也相同；
所以主视图与俯视图不同的是圆柱和圆锥，故选B．
5．（3 分）（2003•湖州）抛物线y=2（x
1
﹣）2+1 的顶点坐标是（ ）
A．（1，1）B．（1，﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣1，﹣1）
【解答】解：∵抛物线y=2（x
1
﹣）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1）．
故选A．
6．（3 分）（2015 秋•福田区期末）口袋里有除颜色不同外其它都相同的红、蓝、白三种颜色的
小球共30 个，摸到红球的概率是
，摸到蓝球的概率是
，则袋子里有白球（ ）个．
A．15
B．10
C．5 D．6
【解答】解：因为摸到红球的概率是
，摸到蓝球的概率是
，
所以红球的个数为
，蓝球的个数为
，
所以袋子里有白球有30
15
10=5
﹣
﹣
．
故选C．
7．（3 分）（2015 秋•福田区期末）华为手机营销按批量投入市场，第一次投放20000 台，第三
次投放80000 台，每次按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．20000（1+x）2=80000
B．20000（1+x）+20000（1+x）2=80000
C．20000（1+x2）=80000
D．20000+20000（1+x）+20000（1+x）2=80000
【解答】解：设增长率为x，由题意得
20000（1+x）2=80000．
故选：A．
8．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，某汽车在路面上朝正东方向匀速行驶，在A 处观测到
楼H 在北偏东60°方向上，行驶1 小时后到达B 处，此时观测到楼H 在北偏东30°方向上，那
么该车继续行驶（ ）分钟可使汽车到达离楼H 距离最近的位置．
A．60
B．30
C．15
D．45
【解答】解：作HC⊥AB 交AB 的延长线于C，
由题意得，∠HAB=60°，∠ABH=120°，
∴∠AHB=30°，
∴BA=BH，
∵∠ABH=120°，
∴∠CBH=60°，又HC⊥AB，
∴∠BHC=30°，
∴BC=
BH，
∴BC=
AB，
则该车继续行驶30 分钟可使汽车到达离楼H 距离最近的位置，
故选：B．
9．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，在△ABC 中，D、E 分别是线段AB、AC 的中点，则
△ABC 与△ADE 的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．4：1 D．2：1
【解答】解：∵D、E 分别为AB、AC 的中点，
∴BC=2DE，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ABC 与△ADE 的面积之比=（
）2=4：1．
故选C．
10．（3 分）（2015 秋•福田区期末）身高1.8 米的人在阳光下的影长是1.2 米，同一时刻一根旗
杆的影长是6 米，则它的高度是（ ）
A．10 米B．9 米C．8 米D．10.8 米
【解答】解：设旗杆的高度约为hm，
∵同一时刻物高与影长成正比，
∴
=
，
解得：h=9（米）．
故选：B．
11．（3 分）（2009•宝安区一模）如图，直线y=1 与抛物线y=x2
2x
﹣
相交于M、N 两点，则M、N
两点的横坐标是下列哪个方程的解？（ ）
A．x2
2x
﹣
+1=0
B．x2
2x
1=0
﹣
﹣
C．x2
2x
2=0
﹣
﹣
D．x2
2x
﹣
+2=0
【解答】解：把y=1 代入抛物线y=x2
2x
﹣
得，x2
2x=1
﹣
，
即x2
2x
1=0
﹣
﹣
．
故选B．
12．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，点A、B 在反比例函数y=
的图象上，过点A、B 作x
轴的垂线，垂足分别是M、N，射线AB 交x 轴于点C，若OM=MN=NC，四边形AMNB 的面
积是3，则k 的值为（ ）
A．2 B．4 C．﹣2
D．﹣4
【解答】解：∵点A、B 在反比例函数y 的图象上，
∴S△AOM=
|k|，
∵OM=MN=NC，
∴AM=2BN，
∴S△AOM=
S△AOC，S△ACM=4S△BCN，S△ACM=2S△AOM，
∵四边形AMNB 的面积是3，
∴S△BCN=1，
∴S△AOM=2，
∴|k|=4，
∵反比例函数y=
的图象在第二四象限，
∴k=
4
﹣，
故选D．
二、填空题（本大题共有4 小题，每小题3 分，共12 分）
13．（3 分）（2015 秋•福田区期末）二次函数y=ax2
2ax
﹣
+3 的对称轴是x=
1
．
【解答】解：∵二次函数y=ax2
2ax
﹣
+3
∴此抛物线的对称轴为：x=﹣
，
故答案为：1．
14．
（3 分）
（2015 秋•福田区期末）已知菱形的两条对角线长分别为10 和24，则菱形的边长为
13
．
【解答】解：如图，BD=10，AC=24，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴OA=
AC=12，OB=
BD=5，AC⊥BD，
∴AB=
=13，
故答案为：13．
15．（3 分）（2015 秋•福田区期末）二次函数y1=ax2+bx+c 的图象与一次函数y2=kx+b 的图象
如图所示，当y2＞y1时，根据图象写出x 的取值范围 ﹣
2 ＜
x ＜
1
．
【解答】解：当y2＞y1时，即一次函数y2=kx+b 的图象在二次函数y1=ax2+bx+c 的图象的上面，
可得x 的取值范围是：﹣2＜x＜1．
故答案为：﹣2＜x＜1．
16．（3 分）（2015 秋•福田区期末）如图，在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=45°，∠D=30°，B、
C、D 在同一直线上，连接AD，若AB=
，则sin∠CAD=
．
【解答】解：∵在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴△ABC 是等腰直角三角形，
∵AB=
，
∴BC=AB=
，AC=
AB=
．
∵在Rt△ABD 中，∠B=90°，∠D=30°，AB=
，
∴AD=2AB=2
，BD=
AB=3，
∴CD=BD
BC=3
﹣
﹣
．
过C 点作CE⊥AD 于E．
∵S△ACD=
AD•CE=
CD•AB，
∴CE=
=
=
，
∴sin∠CAD=
=
=
．
故答案为
．
三、解答题（本大题共52 分）
17．（5 分）（2015 秋•福田区期末）2cos60°
sin
﹣
245°+（﹣tan45°）2016．
【解答】解：原式=2×
﹣（
）2+（﹣1）2016=1﹣
+1=
．
18．（6 分）（2015 秋•福田区期末）解方程：2（x+1）2=x+1．
【解答】解：2（x+1）2=x+1
2（x+1）2﹣（x+1）=0，
（x+1）[2（x+1）﹣1]=0，
解得：x1=
1
﹣，x2=﹣
．
19．（7 分）（2015 秋•福田区期末）小鹏和小娟玩一种游戏：小鹏手里有三张扑克牌分别是3、
4、5，小娟有两张扑克牌6、7，现二人各自把自己的牌洗匀，小鹏从小娟的牌中任意抽取一张，
小娟从小鹏的牌中任意抽取一张，计算两张数字之和，如果和为奇数，则小鹏胜；如果和为偶
数则小娟胜．
（1）用列表或画树状图的方法，列出小鹏和小娟抽得的数字之和所有可能出现的情况；
（2）请判断该游戏对双方是否公平？并说明理由．
【解答】解：（1）画出树状图如下：
（2）此游戏公平，由树形图可知：小娟赢的概率=
=小鹏赢的概率．
20．（8 分）（2015 秋•福田区期末）如图，AD∥BC，AF 平分∠BAD 交BC 于点F，BE 平分
∠ABC 交AD 于点E．求证：
（1）△ABF 是等腰三角形；
（2）四边形ABFE 是菱形．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBF，
∵BF 平分∠ABC，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF，即△ABF 是等腰三角形；
（2）由（1）得：AB=AF，
同理：AB=BE，
∴AF=BE，
∵AF∥BE，
∴四边形ABFE 是平行四边形，
又∵AB=AF，
∴四边形ABFE 是菱形．
21．（8 分）（2015 秋•福田区期末）某商场一种商品的进价为每件30 元，售价为每件40 元，每
天可以销售48 件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．
（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，求两次下降的百分率；
（2）经调查，若该商品每降价0.5 元，每天可多销售4 件，那么每天要想获得510 元的利润，每
件应降价多少元？
（3）在（2）的条件下，每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
【解答】解：（1）设每次降价的百分率为x．
40×（1
x
﹣）2=32.4，
解得x=10%或190%（190%不符合题意，舍去）．
答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4 元，两次下降的百分率为10%；
（2）设每天要想获得510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y 元，由题意，
得
（40
30
y
﹣
﹣）（4×
+48）=510，
解得：y1=1.5，y2=2.5，
∵有利于减少库存，
∴y=2.5．
答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降
价2.5 元；
（3）设每件商品应降价y 元，获得利润为W，
由题意得，W=（40
30
y
﹣
﹣）（4×
+48）=
8y
﹣
2+32y+480=
8
﹣（y
2
﹣）2+512，
故每件商品的售价为38 元时，每天可获得最大利润，最大利润是512 元．
22．（9 分）（2015 秋•福田区期末）如图，一次函数y=k1x
1
﹣的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）
两点，与反比例函数y=
的图象在第一象限内的交点为M，若△OBM 的面积为1．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在x 轴上是否存在点P，使AM⊥PM？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；
（3）x 轴上是否存在点Q，使△QBM∽△OAM？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理
由．
【解答】解：（1）如图1，过点M 作MN⊥x 轴于点N，
∵一次函数y=k1x
1
﹣的图象经过A（0，﹣1）、B（1，0）两点，
∴0=k1
1
﹣，AO=BO=1，
解得：k1=1，
故一次函数解析式为：y=x
1
﹣，
∵△OBM 的面积为1，BO=1，
∴M 点纵坐标为：2，
∵∠OAB=∠MNB，∠OBA=∠NBM，
∴△AOB∽△MNB，
∴
=
=
，
则BN=2，
故M（3，2），
则xy=k2=6，
故反比例函数解析式为：y=
；
（2）如图2，过点M 作PM⊥AM，垂足为M，
∵∠AOB=∠PMB，∠OBA=∠MBP，
∴△AOB∽△PMB，
∴
=
，
由（1）得：AB=
=
，BM=
=2
，
故
=
，
解得：BP=4，
故P（5，0）；
（3）如图3，∵△QBM∽△OAM，
∴
=
，
由（2）可得AM=3
，
故
=
，
解得：QB=
，
则OQ=
，
故Q 点坐标为：（
，0）．
23．（9 分）（2015 秋•福田区期末）已知△ABC 是边长为4 的等边三角形，BC 在x 轴上，点D
为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴交与点E，已知点B（﹣1，0）．
（1）点A 的坐标： （
1 ，
2
） ，点E 的坐标： （
0 ，
） ；
（2）若二次函数y=﹣
x2+bx+c 过点A、E，求此二次函数的解析式；
（3）P 是AC 上的一个动点（P 与点A、C 不重合）连结PB、PD，设l 是△PBD 的周长，当l 取最
小值时，求点P 的坐标及l 的最小值并判断此时点P 是否在（2）中所求的抛物线上，请充分说
明你的判断理由．
【解答】解：（1）连接AD，如图1
，
∵△ABC 是边长为4 的等边三角形，又B 的坐标为（﹣1，0），BC 在x 轴上，A 在第一象限，
∴点C 在x 轴的正半轴上，
∴C 的坐标为（3，0），由中点坐标公式，得：D 的坐标为（1，0）．
显然AD⊥BC 且AD=
BD=2
，
∴A 的坐标是（1，2
）．
OE=
AD，得E（0，
）；
（2）因为抛物线y=﹣
x2+bx+c 过点A、E，
由待定系数法得：c=
，b=
，
抛物线的解析式为y=﹣
x2+
x+
；
（3）作点D 关于AC 的对称点D'，
连接BD'交AC 于点P，则PB 与PD 的和取最小值，
即△PBD 的周长L 取最小值，如图2
．
∵D、D′关于直线AC 对称，
∴DD′⊥AC，即∠D′DC=30°，
DF=
，DD'=2
，
求得点D'的坐标为（4，
），
直线BD'的解析式为：y=
x+
，
直线AC 的解析式为：y=﹣
x+3
，
求直线BD'与AC 的交点可，得
点P 的坐标（
，
）．
此时BD'=
=
=2
，
所以△PBD 的最小周长L 为2
+2，
把点P 的坐标代入y=﹣
+
x+
成立，
所以此时点P 在抛物线上．
参与本试卷答题和审题的老师有：zcx；守拙；gsls；MMCH；1987483819；73zzx；知足长乐；王
学峰；gbl210；ZJX；张其铎；zgm666；wd1899；HJJ；sks；家有儿女；sd2011；2300680618（排名
不分先后）
菁优网
2016 年12 月20 日
