文档文本内容
九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共有10 小题，每小题3 分，共30 分，请选出一个符合题意的正确的选项
填涂在答题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．﹣7 的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7
C．D．﹣
2．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014 年的“双11”网上促销活动中天
猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000 元，将数字57000 000 000 用科学记数法表示为（
）
A．5.7×109
B．5.7×1010
C．0.57×1011 D．57×109
3．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4
B．2a
a=2
﹣
C．
（ab）2=a2b2D．（a2）3=a5
5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
6．一只不透明的袋子中装有4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3 个
球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1 个球是黑球
B．至少有1 个球是白球
C．至少有2 个球是黑球
D．至少有2 个球是白球
7．将抛物线y=x2
2x+3
﹣
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线
的解析式为（ ）
A．y=（x
1
﹣）2+4 B．y=（x
4
﹣）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x
4
﹣）2+6
8．如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之
自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C
所经过的路径是（ ）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
9．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C
点，直线l 与△ABC 的边相交于E、F 两点．设线段EF 的长度为y，平移时间为t，则下图中能
较好反映y 与t 的函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．如图，某数学兴趣小组将边长为3 的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径
的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ）[来源:Zxxk.Com]
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共有6 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案填在答题纸上）
11．多项式a2
4
﹣因式分解的结果是 ．
12．使式子1+
有意义的x 的取值范围是 ．
13．2014 年南京青奥会某项目6 名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：168，166，168，167，
169，168，则她们身高的众数是 cm．
14．化简：
= ．
15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： ．
16．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3 加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干
步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：
取自然数5．最少经过下面5 步运算可得1，即：5
16
8
4
2
1，如果自然数m
最少经过7 步运算可得到1，则所有符合条件的m 的最小值为 ．
三、解答题（本大题共有8 小题，共66 分，请将答案写在答题纸上，务必写出解答过程）
17．计算：
﹣23÷|
2|×cos45°
﹣
．
18．解不等式
，并把解在数轴上表示出来．
19．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同
颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8 个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先
搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了50 次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？
20．如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D．
（1）求
的长．
（2）求弦BD 的长．
21．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然
供不应求，商家又用28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2 倍，但单
价贵了10 元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完
后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
22．如图，已知点A（4，0），B（0，4
），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD
在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G 为边FD 的中
点．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求
出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
23．如图1，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接
DE，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，
= ；②当α=180°时，
= ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC 旋转至A，D，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
1
﹣，且抛物线经过A（1，0），C
（0，3）两点，与x 轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n 经过B、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=
1
﹣上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，
求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x=
1
﹣上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共有10 小题，每小题3 分，共30 分，请选出一个符合题意的正确的选项
填涂在答题纸上，不选、多选、错选均不给分）
1．﹣7 的倒数是（ ）
A．7 B．﹣7
C．D．﹣
【考点】倒数．
【分析】根据乘积是1 的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
【解答】解：﹣7 的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
2．现在网购越来越多地成为人们的一种消费方式，在2014 年的“双11”网上促销活动中天
猫和淘宝的支付交易额突破57000 000 000 元，将数字57000 000 000 用科学记数法表示为（
）
A．5.7×109
B．5.7×1010
C．0.57×1011 D．57×109
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要
看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对
值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将57000000000 用科学记数法表示为：5.7×1010．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
3．如图所示的几何体是由一个圆柱体和一个长方形组成的，则这个几何体的俯视图是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】简单组合体的三视图．
【专题】常规题型．
【分析】根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从上面看外边是一个矩形，里面是一个圆，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a2+a2=a4
B．2a
a=2
﹣
C．
（ab）2=a2b2D．（a2）3=a5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项．
【分析】根据合并同类项的法则，同底数幂的乘法以及幂的乘方的知识求解即可求得答案．
【解答】解：A、a2+a2=2a2，故本选项错误；
B、2a
a=a
﹣
，故本选项错误；
C、（ab）2=a2b2，故本选项正确；
D、（a2）3=a6，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，一定要记准法则才能做题．
5．将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC 的大小为（ ）
A．140° B．160° C．170° D．150°
【考点】直角三角形的性质．
【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA 的度数，即可得出答案．
【解答】解：∵将一副直角三角尺如图放置，∠AOD=20°，
COA=90°
20°=70°
∴∠
﹣
，
BOC=90°+70°=160°
∴
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了直角三角形的性质，得出∠COA 的度数是解题关键．
6．一只不透明的袋子中装有4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3 个
球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至少有1 个球是黑球
B．至少有1 个球是白球
C．至少有2 个球是黑球
D．至少有2 个球是白球
【考点】随机事件．
【分析】由于只有2 个白球，则从中任意摸出3 个球中至少有1 个球是黑球，于是根据必然事
件的定义可判断A 选项正确．
【解答】解：一只不透明的袋子中装有4 个黑球、2 个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意
摸出3 个球，至少有1 个球是黑球是必然事件；至少有1 个球是白球、至少有2 个球是黑球和
至少有2 个球是白球都是随机事件．
故选A．
【点评】本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，
7．将抛物线y=x2
2x+3
﹣
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线
的解析式为（ ）
A．y=（x
1
﹣）2+4 B．y=（x
4
﹣）2+4 C．y=（x+2）2+6 D．y=（x
4
﹣）2+6
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【解答】解：将y=x2
2x+3
﹣
化为顶点式，得y=（x
1
﹣）2+2．
将抛物线y=x2
2x+3
﹣
向上平移2 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后，得到的抛物线的
解析式为y=（x
4
﹣）2+4，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
8．如图，在直角∠O 的内部有一滑动杆AB，当端点A 沿直线AO 向下滑动时，端点B 会随之
自动地沿直线OB 向左滑动，如果滑动杆从图中AB 处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C
所经过的路径是（ ）
A．直线的一部分B．圆的一部分
C．双曲线的一部分
D．抛物线的一部分
【考点】轨迹；直角三角形斜边上的中线．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC= AB= A′B′=OC′，从而得出
滑动杆的中点C 所经过的路径是一段圆弧．
【解答】解：连接OC、OC′，如图，
AOB=90°
∠
，C 为AB 中点，
OC=
∴
AB= A′B′=OC′，
∴当端点A 沿直线AO 向下滑动时，AB 的中点C 到O 的距离始终为定长，
∴滑动杆的中点C 所经过的路径是一段圆弧．
故选B．
【点评】本题考查了轨迹，圆的定义与性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是
解题的关键．
9．如图，在等腰△ABC 中，直线l 垂直底边BC，现将直线l 沿线段BC 从B 点匀速平移至C
点，直线l 与△ABC 的边相交于E、F 两点．设线段EF 的长度为y，平移时间为t，则下图中能
较好反映y 与t 的函数关系的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】数形结合．
【分析】作AD BC
⊥
于D，如图，设点F 运动的速度为1，BD=m，根据等腰三角形的性质得
∠B=∠C，BD=CD=m，当点F 从点B 运动到D 时，如图1，利用正切定义即可得到y=tanB•t
（0≤t≤m）；当点F 从点D 运动到C 时，如图2，利用正切定义可得y=tanC•CF=﹣
tanB•t+2mtanB（m≤t≤2m），即y 与t 的函数关系为两个一次函数关系式，于是可对四个选项
进行判断．
【解答】解：作AD BC
⊥
于D，如图，设点F 运动的速度为1，BD=m，
ABC
△
为等腰三角形，
B=∠C
∴
，BD=CD，
当点F 从点B 运动到D 时，如图1，
在Rt
BEF
△
中，∵tanB=
，
y=tanB•t
∴
（0≤t≤m）；
当点F 从点D 运动到C 时，如图2，
在Rt
CEF
△
中，∵tanC=
，
y=tanC•CF
∴
=tanC•（2m
t
﹣）
=
tanB•t+2mtanB
﹣
（m≤t≤2m）．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用三角函数关系得到两变量的函数关系，再利用
函数关系式画出对应的函数图象．注意自变量的取值范围．
10．如图，某数学兴趣小组将边长为3 的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径
的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB 的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】扇形面积的计算．
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD 的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S 扇形DAB=
，计算即可．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD 的弧长=6，
S
∴
扇形DAB=
= ×6×3=9．
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S 扇形DAB=
．
二、填空题（本大题共有6 小题，每小题4 分，共24 分，请将答案填在答题纸上）
11．多项式a2
4
﹣因式分解的结果是 （
a+2
）（
a
2
﹣
）
．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：a2
4=
﹣
（a+2）（a
2
﹣）．
故答案为：（a+2）（a
2
﹣）．
【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．
12．使式子1+
有意义的x 的取值范围是
x≥0
．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0 列式即可．
【解答】解：由题意得，x≥0．
故答案为：x≥0．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
13．2014 年南京青奥会某项目6 名礼仪小姐的身高如下（单位：cm）：168，166，168，167，
169，168，则她们身高的众数是
168
cm．
【考点】众数．
【分析】根据众数的定义找出这组数据中出现次数最多的数即可得出答案．
【解答】解：168 出现了3 次，出现的次数最多，则她们身高的众数是168cm；
故答案为：168；
【点评】此题考查了众数众数是一组数据中出现次数最多的数，属于基础题，难度不大．
14．化简：
=
．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】先将x2
4
﹣分解为（x+2）（x
2
﹣），然后通分，再进行计算．
【解答】解：
=
=
=
．
【点评】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本
质是通分，乘除的本质是约分．
15．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： （
x+1
）
2 =25
．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【分析】此图形的面积等于两个正方形的面积的差，据此可以列出方程．
【解答】解：根据题意得：（x+1）2
1=24
﹣
，
即：（x+1）2=25．
故答案为：（x+1）2=25．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题目中的不规则图
形的面积计算方法．
16．取一个自然数，若它是奇数，则乘以3 加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干
步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：
取自然数5．最少经过下面5 步运算可得1，即：5
16
8
4
2
1，如果自然数m
最少经过7 步运算可得到1，则所有符合条件的m 的最小值为
3
．
【考点】规律型：数字的变化类．
【分析】利用列举法，尝试最小的几个非0 自然数，再结合“自然数5．最少经过5 步运算可得
1”，即可得出结论．
【解答】解：利用列举法进行尝试，
1（不用运算）；
2
1（1 步运算）；
3
10
5，结合已知给定案例可知，5 再经过5 步运算可得1，
故3 要经过7 步运算可得1．
故答案为：3．
【点评】本题考查了数字的变换类，解题的关键是：利用列举法，尝试几个最小的非0 自然数．
三、解答题（本大题共有8 小题，共66 分，请将答案写在答题纸上，务必写出解答过程）
17．计算：
﹣23÷|
2|×cos45°
﹣
．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义，绝对值的代数意义，
以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2
8÷2×
﹣
=2
2
﹣
．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．解不等式
，并把解在数轴上表示出来．
【考点】解一元一次不等式；不等式的性质；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】计算题；数形结合．
【分析】根据不等式的性质得到3（x
1
﹣）≤1+x，推出2x≤4，即可求出不等式的解集．
【解答】解：去分母，得3（x
1
﹣）≤1+x，
整理，得2x≤4，
x≤2
∴
．
在数轴上表示为：
．
【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，不等式的性质等知
识点的理解和掌握，能根据不等式的性质正确解不等式是解此题的关键．
19．研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同
颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8 个球，画上记号放回盒中，再进行摸球实验，摸球实验的要求：先
搅拌均匀，每次摸出一个球，放回盒中，再继续．
活动结果：摸球实验活动一共做了50 次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色黄色
摸到的次数
18
28
2
2
推测计算：由上述的摸球实验可推算：
（1）盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？
（2）盒中有红球多少个？
【考点】模拟实验；利用频率估计概率．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】（1）根据表格数据可以得到50 次摸球实验活动中，出现红球20 次，黄球30 次，由此
即可求出盒中红球、黄球各占总球数的百分比；
（2）由题意可知50 次摸球实验活动中，出现有记号的球4 次，由此可以求出总球数，然后利
用（1）的结论即可求出盒中红球．
【解答】解：（1）由题意可知，50 次摸球实验活动中，出现红球20 次，黄球30 次，
∴红球所占百分比为20÷50=40%，
黄球所占百分比为30÷50=60%，
答：红球占40%，黄球占60%；
（2）由题意可知，50 次摸球实验活动中，出现有记号的球4 次，
∴总球数为8÷
=100，
∴红球数为100×40%=40，
答：盒中红球有40 个．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率的问题，首先利用模拟实验得到盒中红球、黄球各
占总球数的百分比，然后利用百分比即可求出盒中红球个数．
20．如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为5，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D．
（1）求
的长．
（2）求弦BD 的长．
【考点】圆周角定理；含30 度角的直角三角形；等腰直角三角形；弧长的计算．
【分析】（1）首先根据AB 是⊙O 的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt
ABC
△
中，求出
∠BAC 的度数，即可求出∠BOC 的度数；最后根据弧长公式，求出
的长即可．
（2）首先根据CD 平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得
∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt
ABD
△
中，求出弦BD 的长是
多少即可．
【解答】解：（1）如图，连接OC，OD，
，
∵AB 是⊙O 的直径，
ACB=∠ADB=90°
∴
，
在Rt
ABC
△
中，
∵
，
BAC=60°
∴
，
BOC=2∠BAC=2×60°=120°
∴
，
∴
的长=
．
（2）∵CD 平分∠ACB，
ACD=∠BCD
∴
，
AOD=∠BOD
∴
，
AD=BD
∴
，
ABD=∠BAD=45°
∴
，
在Rt
ABD
△
中，
BD=AB×sin45°=10×
．
【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半，要熟练掌握．
（2）此题还考查了含30 度角的直角三角形，以及等腰直角三角形的性质和应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了弧长的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①弧长公式：l=
（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．②在弧长的计算公式中，n 是表示1°的圆心角的
倍数，n 和180 都不要带单位．
21．某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然
供不应求，商家又用28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2 倍，但单
价贵了10 元．
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完
后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫是2x 件，根据第
二批这种衬衫单价贵了10 元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y 元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x 件，则购进第二批这种衬衫是2x 件，依题意
有
+10=
，
解得x=120，
经检验，x=120 是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120 件．
（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y 元，依题意有
（360
50
﹣
）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150 元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量
关系并列出方程是解题的关键．
22．如图，已知点A（4，0），B（0，4
），把一个直角三角尺DEF 放在△OAB 内，使其斜边FD
在线段AB 上，三角尺可沿着线段AB 上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G 为边FD 的中
点．
（1）求直线AB 的解析式；
（2）如图1，当点D 与点A 重合时，求经过点G 的反比例函数y= （k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G 的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求
出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b，把点A、B 的坐标代入，组成方程组，解方程组求
出k、b 的值即可；
（2）由Rt
DEF
△
中，求出EF、DF，在求出点D 坐标，得出点F、G 坐标，把点G 坐标代入反比
例函数求出k 即可；
（3）设F（t，﹣
t+4
），得出D、G 坐标，设过点G 和F 的反比例函数解析式为y= ，用待
定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
【解答】解：（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，4
），
∴
，
解得：
，
∴直线AB 的解析式为：y=﹣
x+4
；
（2）∵在Rt
DEF
△
中，∠EFD=30°，ED=2，
EF=2
∴
，DF=4，
∵点D 与点A 重合，
D
∴（4，0），
F
∴（2，2
），
G
∴（3，
），
∵反比例函数y= 经过点G，
k=3
∴
，
∴反比例函数的解析式为：y=
；
（3）经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F 在直线AB 上，
∴设F（t，﹣
t+4
），
又∵ED=2，
D
∴（t+2，﹣
t+2
），
∵点G 为边FD 的中点．
G
∴（t+1，﹣
t+3
），
若过点G 的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y= ，
则
，
整理得：（﹣
t+3
）（t+1）=（﹣
t+4
）t，
解得：t= ，
m=
∴
，
∴经过点G 的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=
．
【点评】本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函
数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用
待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．
23．如图1，在Rt
ABC
△
中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E 分别是边BC、AC 的中点，连接
DE，将△EDC 绕点C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时，
=
；②当α=180°时，
=
．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，
的大小有无变化？请仅就图2 的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC 旋转至A，D，E 三点共线时，直接写出线段BD 的长．
【考点】几何变换综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）①当α=0°时，在Rt
ABC
△
中，由勾股定理，求出AC 的值是多少；然后根据点D、
E 分别是边BC、AC 的中点，分别求出AE、BD 的大小，即可求出
的值是多少．
α=180°
②
时，可得AB DE
∥
，然后根据
，求出
的值是多少即可．
（2）首先判断出∠ECA=∠DCB，再根据
，判断出△ECA
DCB
△
∽
，即可求出
的
值是多少，进而判断出
的大小没有变化即可．
（3）根据题意，分两种情况：①点A，D，E 所在的直线和BC 平行时；②点A，D，E 所在的直线
和BC 相交时；然后分类讨论，求出线段BD 的长各是多少即可．
【解答】解：（1）①当α=0°时，
Rt△
ABC
△
中，∠B=90°，
AC=
∴
，
∵点D、E 分别是边BC、AC 的中点，
∴
，
∴
．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB DE
∥
，
∵
，
∴
=
．
故答案为：
．
（2）如图2，
，
当0°≤α＜360°时，
的大小没有变化，
ECD= ACB
∠
∠
，
ECA=∠DCB
∴
，
又∵
，
ECA
DCB
∴△
△
∽
，
∴
．
（3）①如图3，
，
∵AC=4
，CD=4，CD AD
⊥
，
AD=
∴
=
，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD 是矩形，
∴
．
②如图4，连接BD，过点D 作AC 的垂线交AC 于点Q，过点B 作AC 的垂线交AC 于点P，
，
∵AC=4
，CD=4，CD AD
⊥
，
AD=
∴
=
，
∵点D、E 分别是边BC、AC 的中点，
DE=
∴
=2，
AE=AD
DE=8
2=6
∴
﹣
﹣
，
由（2），可得
，
BD=
∴
=
．
综上所述，BD 的长为4
或
．
【点评】（1）此题主要考查了几何变换综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的
应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了相似三角形、全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了线段长度的求法，以及矩形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
24．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=
1
﹣，且抛物线经过A（1，0），C
（0 ，3）两点，与x 轴交于点B．
（1）若直线y=mx+n 经过B、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴x=
1
﹣上找一点M，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，
求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴x=
1
﹣上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）先把点A，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b，c 的关系式，再根据抛物
线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c 的值即可得到
抛物线解析式；把B、C 两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m 和n 的值即可得到直
线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=
1
﹣的交点为M，则此时MA+MC 的值最小．把x=
1
﹣代入直线
y=x+3 得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P（﹣1，t），又因为B（﹣3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，
PC2=（﹣1）2+（t
3
﹣）2=t2
6t+10
﹣
，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的
坐标．
【解答】解：（1）依题意得：
，
解之得：
，
∴抛物线解析式为y=
x
﹣2
2x+3
﹣
∵对称轴为x=
1
﹣，且抛物线经过A（1，0），
∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，
得
，
解之得：
，
∴直线y=mx+n 的解析式为y=x+3；
（2）设直线BC 与对称轴x=
1
﹣的交点为M，则此时MA+MC 的值最小．
把x=
1
﹣代入直线y=x+3 得，y=2，
M
∴
（﹣1，2），
即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为（﹣1 ，2）；
（3）设P（﹣1，t），
又∵B（﹣3，0），C（0，3），
BC
∴
2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t
3
﹣）2=t2
6t+10
﹣
，
①若点B 为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2
6t+10
﹣
解之得：t=
2
﹣；
②若点C 为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2
6t+10=4+t
﹣
2解之得：t=4，
③若点P 为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2
6t+10=18
﹣
解之得：t1=
，t2=
；
综上所述P 的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，
） 或（﹣1，
）．
【点评】本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）
的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
