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九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、
B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方格
涂黑.
1．实数﹣6、0、﹣2、2 的中最小的是（ ）
A．﹣6
B．0 C．﹣2
D．2
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a=6a B．a2+a3=a5
C．a8÷a2=a6 D．（a3）4=a7
4．如图，直线a，b 被直线c 所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4 等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
5．以下说法正确的是（ ）
A．调查某食品添加剂是否超标宜用普查
B．甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S 甲
2=3.6，S 乙
2=3.0，则两组成绩一样稳定
C．同一年出生的367 名学生中，至少有两人的生日是同一天是随机事件
D．调查10 名运动员兴奋剂的使用情况适宜全面调查
6．某班25 名女生在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：
成绩（次）
43
45
46
47
48
49
51
人数
2
3
5
7
4
2
2
则这25 名女生测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，47
7．已知⊙O 的直径为8cm，圆心O 到直线l 的距离为4cm，则直线l 和⊙O 的位置关系是
（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不能确定
8．如图，BC 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，连接CD 并延长交AB 于
点A，若∠BOD=100°，则∠BAC 的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
9．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2 个单位B．向右平移2 个单位
C．向上平移2 个单位D．向下平移2 个单位
10．如图图象所反映的过程是：明明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃
早餐，然后散步走回家．其中x 表示时间（分），y（千米）表示明明离家的距离．根据图象提供
的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．明明家离体育场2.5 千米
B．明明在体育场锻炼了15 分钟
C．体育场离早餐店1 千米
D．明明从早餐店回家的平均速是3 千米/小时
11．如图图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1 颗棋子，第②
个图形一共有6 颗棋子，第③个图形一共有16 颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（
）
A．141
B．106
C．169
D．150
12．如图，菱形OABC 的顶点O、A、C 在抛物线y=
x2上，其中点O 为坐标原点，对角线OB 在y
轴上，且OB=2．则菱形OABC 的面积是（ ）
A．2
B．2
C．4 D．4
二、填空题（本大题6 小题，每小题题4 分，共24 分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中
对应的横线上.
13．轨道交通以其环保、经济成为越来越多的人出行的首选方式．重庆市的轨道交通发展迅
速，已建成和正在规划建设的轨道交通项目总投资约1097000 万元，数据1097000 万元用科
学记数法表示为 万元．
14．计算：﹣
﹣（﹣
）﹣2+（3﹣π）0= ．
15．若方程x2﹣4x+m=0 有两个相等的实数根，则m 的值是 ．
16．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2AC=6，以B 为圆心BC 为半径作弧交AB 于点D，则阴影
部分的面积为 ．
17．桌面上摆放着背面向上，正面上分别写有数字3、4、6、9、10、12 的六张大小、质地相同的
卡片，洗和均匀后从中任意翻开一张，将该卡片上的数字作为抛物线y=（5﹣m）x2+2 和分式
方程
=
+4 中的m 的值，则这个m 值恰好使得抛物线的开口向下且分式方程有整数
解的概率为 ．
18．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2
，点D 为AB 边上一点，且AD：BD=1：3，连接
CD，现将CD 绕点C 顺时针旋转90°度得到线段CE，连接EB，则线段EB 的长是 ．
三、解答题（本大题2 小题，每小题7 分，共14 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解方程：
（1）9x2﹣196=0
（2）2x2﹣8x﹣3=0．
20．如图，AB 与⊙O 相切于点C，OA=OB，⊙O 的直径为8cm，AB=10cm，求OA 长．
四、解答题（本大题4 小题，每小题10 分，共40 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置
上.
21．化简：
（1）x（2x﹣1）﹣（x﹣3）2
（2）（
﹣x﹣2）÷
．
22．为了解我区初三学生体育达标情况，现对初三部分同学进行了跳绳、立定跳远、实心球三
项体育测试，按A（及格），B（良好），C（优秀），D（满分）进行统计，并根据测试的结果绘制了
如图两幅不完整的统计图，请你结合所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了 名学生，请补全折线统计图．
（2）我区初三年级有4100 名学生，根据这次统计数据，估计全年级有多少同学获得满分？
（3）在接受测试的学生中，“优秀”中有1 名是女生，“满分”中有2 名是女生，现分别从获
得“优秀”和“满分”的学生中各选出一名学生交流经验，请用画树状图或列表的方法求
出刚好选中两名男生的概率．
23．一个不爱读书的民族，是可怕的民族，一个不爱读书的民族，是没有希望的民族．读书开
拓视野，增长智慧．在“诵十月”读书活动中，某社区计划筹资15000 元购买科普书籍和文
艺刊物．
（1）该社区计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2 倍，那么最少用多少资金
购买文艺刊物？
（2）经初步了解，该社区有150 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100 元．经筹委会
进一步宣传，自愿参加的户数在150 户的基础上增加了a%（其中a＞50），这样每户平均集资
在100 元的基础上减少
a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000 元，求a 的值．
24．对x，y 定义一种新运算x[]y=
（其中a，b 均为非零常数），这里等式右边是通常
的四则混合运算，例如：0[]2=
=﹣2b．
（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题．
①求a，b 的值；
②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），则称M 是m 的函数，当自变量m 在﹣1≤m≤3 的范围内取值
时，函数值M 为整数的个数记为k，求k 的值；
（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y 都成立（这里x[]y 和y[]x 均有意义），求a 与b 的函数关
系式？
五、解答题.（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分）解答题时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位
置上.
25．如图，在△ABC 中，BE⊥AC 于点E，AD⊥BC 于点D，连接DE．
（1）如图1，若AD=3，AB=BC=5，求ED 的长；
（2）如图2，若∠ABC=45°，求证：CE+EF=
ED；
（3）如图3，若∠ABC=45°，现将△ADC 沿AC 边翻折得到△AGC，连接EG、DG．猜想线段AE、DG、
BE 之间的数量关系，写出关系式，并证明你的结论．
26．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5 交x 轴于点A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点
C，点D 为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD 的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y 轴，
交抛物线于点E′和F′，交AD 于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y 轴上找一点R，使
得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R 的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC 是以AC 为底边的等腰三角形，若存在，请出
点P 的坐标及△PAC 的面积，若不存在，请说明理由．
九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12 小题，每小题4 分，共48 分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、
B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方格
涂黑.
1．实数﹣6、0、﹣2、2 的中最小的是（ ）
A．﹣6
B．0 C．﹣2
D．2
【考点】实数大小比较．
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大
的反而小．依此即可求解．
【解答】解：因为﹣6＜﹣2＜0＜2，
所以实数﹣6、0、﹣2、2 的中最小的是﹣6．
故选：A．
【点评】考查了实数大小比较，关键是熟悉正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切
负实数，两个负实数绝对值大的反而小的知识点．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A 错误；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故B 错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C 错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D 正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的
特点是解题的关键．
3．下列计算正确的是（ ）
A．2a+3a=6a B．a2+a3=a5
C．a8÷a2=a6 D．（a3）4=a7
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可
判断C，根据幂的乘方，可判断D．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A 错误；
B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B 错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C 正确；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D 错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
4．如图，直线a，b 被直线c 所截，a∥b，∠2=∠3，若∠1=80°，则∠4 等于（ ）
A．20° B．40° C．60° D．80°
【考点】平行线的性质．
【分析】先根据平行线的性质求出∠2+∠3 的度数，再由∠2=∠3 即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1=80°，
∴∠2+∠3=80°，∠3=∠4．
∵∠2=∠3，
∴∠3=40°，
∴∠4=40°．
故选B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
5．以下说法正确的是（ ）
A．调查某食品添加剂是否超标宜用普查
B．甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S 甲
2=3.6，S 乙
2=3.0，则两组成绩一样稳定
C．同一年出生的367 名学生中，至少有两人的生日是同一天是随机事件
D．调查10 名运动员兴奋剂的使用情况适宜全面调查
【考点】方差；全面调查与抽样调查；随机事件．
【分析】分别利用全面调查与抽样调查的意义，再结合随机事件的定义和方差的意义分别分
析得出答案．
【解答】解：A．调查某食品添加剂是否超标宜用抽样调查，故此选项错误；
B．甲、乙两组的平均成绩相同，方差分别是S 甲
2=3.6，S 乙
2=3.0，则乙的成绩稳定，故此选项
错误；
C．同一年出生的367 名学生中，至少有两人的生日是同一天是必然事件，故此选项错误；
D．调查10 名运动员兴奋剂的使用情况适宜全面调查，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了方差、随机事件、全面调查与抽样调查等知识，正确把握相关定义是
解题关键．
6．某班25 名女生在一次“1 分钟仰卧起坐”测试中，成绩如下表：
成绩（次）
43
45
46
47
48
49
51
人数
2
3
5
7
4
2
2
则这25 名女生测试成绩的众数和中位数分别是（ ）
A．47，46 B．47，47 C．45，48 D．51，47
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数与中位数的定义，众数是出现次数最多的一个，中位数是第13 个数解答即
可．
【解答】解：47 出现的次数最多，出现了7 次，所以众数为47，
按从小到大的顺序排列，第13 个数是47，所以中位数为47，
故选B．
【点评】本题主要考查众数与中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重
新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数
的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据
叫做众数．
7．已知⊙O 的直径为8cm，圆心O 到直线l 的距离为4cm，则直线l 和⊙O 的位置关系是
（ ）
A．相交B．相离C．相切D．不能确定
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】由⊙O 的直径为8cm，得出圆的半径是4cm，圆心O 到直线l 的距离为4cm，即d=4cm，
得出d=r，即可得出直线l 与⊙O 的位置关系是相切．
【解答】解：∵⊙O 的直径为8cm，
∴r=4cm，
∵d=4cm，
∴d=r，
∴直线l 与⊙O 的位置关系是相切．
故选：C．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系；若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r 时，
圆和直线相离；d=r 时，圆和直线相切；d＜r 时，圆和直线相交．
8．如图，BC 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，连接CD 并延长交AB 于
点A，若∠BOD=100°，则∠BAC 的度数是（ ）
A．40° B．45° C．50° D．80°
【考点】切线的性质．
【分析】由切线的性质可知BC⊥BA，由圆周角定理可知∠C=50°，从而可求得∠A=40°．
【解答】解：∵BA 是圆O 的切线，B 为切点，
∴BC⊥BA．
∴∠CBA=90°．
∵∠BOD=100°，
∴∠C=50°．
∴∠A=90°﹣50°=40°．
故选：A．
【点评】本题主要考查的是切线的性质和圆周角定理的应用，利用切线的性质和圆周角定理
求得∠CBA=90°、∠C=50°是解题的关键．
9．将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是（ ）
A．向左平移2 个单位B．向右平移2 个单位
C．向上平移2 个单位D．向下平移2 个单位
【考点】二次函数图象与几何变换．
【分析】根据图象左移加，可得答案．
【解答】解：将抛物线y=x2平移得到抛物线y=（x+2）2，则这个平移过程正确的是向左平移了2
个单位，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．
10．如图图象所反映的过程是：明明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃
早餐，然后散步走回家．其中x 表示时间（分），y（千米）表示明明离家的距离．根据图象提供
的信息，以下四个说法错误的是（ ）
A．明明家离体育场2.5 千米
B．明明在体育场锻炼了15 分钟
C．体育场离早餐店1 千米
D．明明从早餐店回家的平均速是3 千米/小时
【考点】函数的图象．
【分析】根据函数图象的横坐标，可得时间，根据函数图象的纵坐标，可得距离．
【解答】解：A、明明家离体育场2.5 千米，正确；
B、明明在体育场锻炼了30﹣15=15 分钟，正确；
C、体育场离早餐店2.5﹣1.5=1 千米，正确；
D、明明从早餐店回家的平均速是
千米/分钟，错误．
故选D．
【点评】本题考查了函数图象，观察函数图象获得有效信息是解题关键．
11．如图图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1 颗棋子，第②
个图形一共有6 颗棋子，第③个图形一共有16 颗棋子，…，则第⑧个图形中棋子的颗数为（
）
A．141
B．106
C．169
D．150
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】通过观察图形可知：第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；第②个图形中棋子的个数
为1+5=6；第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×（1+2）=16；…由此得出第n 个图形中棋
子的个数为1+5（1+2+…+n﹣1）=1+
，然后把n=8 代入计算即可．
【解答】解：∵第①个图形中棋子的个数为1=1+5×0；
第②个图形中棋子的个数为1+5=6；
第③个图形中棋子的个数为1+5+10=1+5×（1+2）=16；
…
∴第n 个图形中棋子的个数为1+5（1+2+…+n﹣1）=1+
；
则第⑧个图形中棋子的颗数为1+
=141．
故选：A．
【点评】本题考查图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律
变化的因素，然后推广到一般情况解决问题．
12．如图，菱形OABC 的顶点O、A、C 在抛物线y=
x2上，其中点O 为坐标原点，对角线OB 在y
轴上，且OB=2．则菱形OABC 的面积是（ ）
A．2
B．2
C．4 D．4
【考点】菱形的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据二次函数图象上点的坐标性质得出A，C 点坐标，进而利用三角形面积求法得出
答案．
【解答】解：∵菱形OABC 的顶点O、A、C 在抛物线y=
x2上，对角线OB 在y 轴上，且OB=2，
∴由题意可得：A，C 点纵坐标为1，
故1=
x2，
解得：x=±
，故A（
，1），C（﹣
，1），
故菱形OABC 的面积是：2×（
×2×
）=2
．
故选：B．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及二次函数图象上点的坐标性质，得出A，C 点坐标是
解题关键．
二、填空题（本大题6 小题，每小题题4 分，共24 分）请将每小题的答案直接填写在答题卡中
对应的横线上.
13．轨道交通以其环保、经济成为越来越多的人出行的首选方式．重庆市的轨道交通发展迅
速，已建成和正在规划建设的轨道交通项目总投资约1097000 万元，数据1097000 万元用科
学记数法表示为
1.097
×
10
6
万元．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，
要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝
对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将1097000 用科学记数法表示为：1.097×106．
故答案为：1.097×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中
1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
14．计算：﹣
﹣（﹣
）﹣2+（3﹣π）0= ﹣
6
．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，最后一项
利用零指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣3﹣4+1
=﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．若方程x2﹣4x+m=0 有两个相等的实数根，则m 的值是
4
．
【考点】根的判别式．
【分析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，建立关于m 的方程，求出m 的
取值．
【解答】解：∵方程x2﹣4x+m=0 有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=16﹣4m=0，
解之得，m=4
故本题答案为：4
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．
16．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AB=2AC=6，以B 为圆心BC 为半径作弧交AB 于点D，则阴影
部分的面积为
﹣
．
【考点】扇形面积的计算．
【分析】先根据锐角三角函数的定义求出∠B 的度数，再由勾股定理求出BC 的长，再根据S 阴
影=S△ABC﹣S 扇形BCD进行解答即可．
【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=2AC=6，
∴AC=3，∠B=30°，
∴BC=
=3
，
∴S 阴影=S△ABC﹣S 扇形BCD=
AC•BC﹣
=
﹣
=
﹣
．
故答案为：
﹣
．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算及直角三角形的性质，熟知三角形及扇形的面积公式
是解答此题的关键．
17．桌面上摆放着背面向上，正面上分别写有数字3、4、6、9、10、12 的六张大小、质地相同的
卡片，洗和均匀后从中任意翻开一张，将该卡片上的数字作为抛物线y=（5﹣m）x2+2 和分式
方程
=
+4 中的m 的值，则这个m 值恰好使得抛物线的开口向下且分式方程有整数
解的概率为
．
【考点】概率公式；分式方程的解；二次函数的性质．
【分析】由m 值恰好使得抛物线的开口向下，可得5﹣m＜0，由分式方程有整数解，可得m=4，
6，12，继而求得这个m 值恰好使得抛物线的开口向下且分式方程有整数解的情况，再利用概
率公式即可求得答案．
【解答】解：∵m 值恰好使得抛物线的开口向下，
则5﹣m＜0，
解得：m＞5，
∴m=6，9，10，
∵
=
+4，
∴mx=6x+4（x﹣6），
解得：x=﹣
，
∵分式方程有整数解，
∴m=4，6，12，
∴这个m 值恰好使得抛物线的开口向下且分式方程有整数解的只有6 和12，
∴这个m 值恰好使得抛物线的开口向下且分式方程有整数解的概率为：
=
．
故答案为：
．
【点评】此题考查了概率公式的应用、二次函数的性质以及分式方程的整数解．用到的知识点
为：概率=所求情况数与总情况数之比．
18．如图，已知△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2
，点D 为AB 边上一点，且AD：BD=1：3，连接
CD，现将CD 绕点C 顺时针旋转90°度得到线段CE，连接EB，则线段EB 的长是
5
．
【考点】旋转的性质．
【专题】计算题．
【分析】连结AE，如图，先判断△ACB 为等腰直角三角形得到∠BAC=∠ABC=45°，AB=
AC=4，
则BD=3，再根据旋转的性质得CE=CD，∠DCE=90°，利用等角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，
则根据旋转的定义可判断△CBD 绕点C 顺时针旋转90°度得到△CAE，接着根据旋转的性质
得AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，所以∠BAE=90°，最后在Rt△BAE 中利用勾股定理可计算出
EB 的长．
【解答】解：连结AE，如图，
∵∠ACB=90°，AC=BC=2
，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ABC=45°，AB=
AC=4，
∵AD：BD=1：3，
∴BD=3，
∵CD 绕点C 顺时针旋转90°度得到线段CE，
∴CE=CD，∠DCE=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∴△CBD 绕点C 顺时针旋转90°度得到△CAE，
∴AE=BD=3，∠CAE=∠CBD=45°，
∴∠BAE=45°+45°=90°，
在Rt△BAE 中，∵AE=3，AB=4，
∴BE=
=5．
故答案为5．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段
的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
三、解答题（本大题2 小题，每小题7 分，共14 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过程
或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．解方程：
（1）9x2﹣196=0
（2）2x2﹣8x﹣3=0．
【考点】解一元二次方程-公式法；解一元二次方程-直接开平方法．
【专题】计算题．
【分析】（1）先变形得到x2=
，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）x2=
，
所以x1=
，x2=﹣
；
（2）△=（﹣8）2﹣4×2×（﹣3）=88，
x=
=
，
所以x1=
，x2=
．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣求根公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公
式法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．
20．如图，AB 与⊙O 相切于点C，OA=OB，⊙O 的直径为8cm，AB=10cm，求OA 长．
【考点】切线的性质．
【分析】连接OC，AB 为切线，所以有OC⊥AB，根据题意，得C 为△AOB 的中点，即AC=5cm，根据
勾股定理即可得出OA 的长度．
【解答】解：连接OC；
∵AB 与⊙O 相切于点C，
∴OC⊥AB，
∵OA=OB，
∴AC=BC=5，
在Rt△AOC 中，
（cm）．
答：OA 的长为
．
【点评】本题考查了切线与圆的位置关系，利用勾股定理求解直角三角形的知识．
四、解答题（本大题4 小题，每小题10 分，共40 分）解答题时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置
上.
21．化简：
（1）x（2x﹣1）﹣（x﹣3）2
（2）（
﹣x﹣2）÷
．
【考点】分式的混合运算；整式的混合运算．
【分析】（1）利用整式的乘法和完全平方公式计算，再进一步合并即可；
（2）括号内先通分，再把除法改为乘法计算即可．
【解答】解：（1）原式=2x2﹣x﹣（x2﹣6x+9）
=2x2﹣x﹣x2+6x﹣9
=x2+5x﹣9；
（2）原式=
÷
=
•
=﹣x．
【点评】此题考查分式的混合运算，整式的混合运算，掌握运算方法是解决问题的关键．
22．（2015 秋•重庆校级期中）为了解我区初三学生体育达标情况，现对初三部分同学进行了
跳绳、立定跳远、实心球三项体育测试，按A（及格），B（良好），C（优秀），D（满分）进行统计，
并根据测试的结果绘制了如图两幅不完整的统计图，请你结合所给信息解答下列问题：
（1）本次共调查了
20
名学生，请补全折线统计图．
（2）我区初三年级有4100 名学生，根据这次统计数据，估计全年级有多少同学获得满分？
（3）在接受测试的学生中，“优秀”中有1 名是女生，“满分”中有2 名是女生，现分别从获
得“优秀”和“满分”的学生中各选出一名学生交流经验，请用画树状图或列表的方法求
出刚好选中两名男生的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；折线统计图．
【分析】
（1）用A 的人数除以所占的百分比，即可求出调查的学生数，再补全折线统计图即可；
（2）计算出20 名学生中满分所在的比例，即可估计全年级有多少同学获得满分；
（3）列表或画树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）由扇形统计图可知A 占35%，由条形统计图可知人数为7 人，所以总人数
=7÷35=20（人），
如图所示：
（2）满分的人数=
×4100=820（人）；
（3）列表如下：
男
男
女
女
男
男男
男男
女男
女男
男
男男
男男
女男
女男
女
男女
男女
女女
女女
总共有12 种等可能的结果，满足条件的有4 种，
P（两名男生）=
．
【点评】本题考查列树状图与列表法求概率，条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计
图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个
项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（2015 秋•重庆校级期中）一个不爱读书的民族，是可怕的民族，一个不爱读书的民族，是
没有希望的民族．读书开拓视野，增长智慧．在“诵十月”读书活动中，某社区计划筹资
15000 元购买科普书籍和文艺刊物．
（1）该社区计划购买文艺刊物的资金不少于购买科普书籍资金的2 倍，那么最少用多少资金
购买文艺刊物？
（2）经初步了解，该社区有150 户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资100 元．经筹委会
进一步宣传，自愿参加的户数在150 户的基础上增加了a%（其中a＞50），这样每户平均集资
在100 元的基础上减少
a%，那么实际筹资将比计划筹资多3000 元，求a 的值．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设用x 元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据购买文艺刊物的
资金不少于购买科普书籍资金的2 倍列出不等式，解不等式即可；
（2）根据实际筹资将比计划筹资多3000 元建立方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设用x 元购买文艺刊物，则用（15000﹣x）元购买科普书籍，根据题意得
x≥2（15000﹣x），
解得x≥10000．
答：最少用10000 元购买文艺刊物；
（2）由题意得150（1+a%）×100（1﹣
a%）=15000+3000，
解得a1=100，a2=50（不合题意舍去），
∵a＞50，
∴a=100．
答：a 的值为100．
【点评】本题考查了一元二次方程与一元一次不等式的应用，解题关键是要读懂题目的意思，
根据题目给出的条件，找出合适的关系，列出方程或不等式，再求解．
24．对x，y 定义一种新运算x[]y=
（其中a，b 均为非零常数），这里等式右边是通常
的四则混合运算，例如：0[]2=
=﹣2b．
（1）已知1[]2=3，﹣1[]3=﹣2．请解答下列问题．
①求a，b 的值；
②若M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2），则称M 是m 的函数，当自变量m 在﹣1≤m≤3 的范围内取值
时，函数值M 为整数的个数记为k，求k 的值；
（2）若x[]y=y[]x，对任意实数x，y 都成立（这里x[]y 和y[]x 均有意义），求a 与b 的函数关
系式？
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）①结合新运算的定义，代入数据，解二元一次方程组即可得出结论；
②将a、b 的值代入原定义式中，用m 表示出M，由二次函数的性质即可找出M 的取值范围，从
而得出k 的值；
（2）x[]y=y[]x 得出关于a、b、x、y 的等式，由对任意实数x，y 都成立，找出恒为0 的代数式
a+4b=0，从而得出结论．
【解答】解：（1）①由1[]2=3，﹣1[]3=﹣2，得
，解得
．
答：a 的值为8，b 的值为﹣1．
②把a=8，b=﹣1 代入x[]y=
，得x[]y=
，
M=（m2﹣m﹣1）[]（2m﹣2m2）=﹣2m2+2m+4=﹣2
+
，
又∵﹣1≤m≤3，
∴当m=
时，M 取最大值
；
当m=﹣1 时，M=0；
当m=3 时，M=﹣8．
∴﹣8≤M≤
=4
，
∴k=8+4+1=13．
（2）∵x[]y=y[]x，
∴
=
，
∴ay2﹣ax2+4by2﹣4bx2=0，
∴a（y2﹣x2）+4b（y2﹣x2）=0，
即（a+4b）（y2﹣x2）=0．
∵对任意实数x，y 都成立，
∴a+4b=0，
∴a=﹣4b．
【点评】本题考查了解二元一次方程组以及二次函数的性质，解题的关键：（1）①代入数据解
二元一次方程组；②结合二次函数的性质寻找最值；（2）代入定义式，寻找恒为0 的量．本题
属于中档题，难度不大，但是由于涉及到新的运算规则，不少学生会放弃该题，其实在解决新
定义类型的题目时，运算都是很简单的，只要牢记运算的规则，套入给定的例子即可得出结
论．
五、解答题.（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分）解答题时每小题必须给出必要的演算
过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位
置上.
25．如图，在△ABC 中，BE⊥AC 于点E，AD⊥BC 于点D，连接DE．
（1）如图1，若AD=3，AB=BC=5，求ED 的长；
（2）如图2，若∠ABC=45°，求证：CE+EF=
ED；
（3）如图3，若∠ABC=45°，现将△ADC 沿AC 边翻折得到△AGC，连接EG、DG．猜想线段AE、DG、
BE 之间的数量关系，写出关系式，并证明你的结论．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）根据勾股定理和直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可求解；
（2）过点D 作DM⊥ED 交BE 于点M，先证明△ACD≌△BFD 和△AED≌△BMD，进一步通过等量代
换和加减即可求解；
（3）过点D 作DN⊥ED 于点D 交BE 于点N，先证明△AED≌△BND，再论证四边形DGEN 为平行四
边形，通过等量代换即可求解．
【解答】解：（1）如图1
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵AD=3，AB=BC=5，
∴AE=CE，DE=
AC，
∴BD=
=
=4，
∴CD=BC﹣BD=1，
∴AC=
=
=
，
∴DE=
；
（2）如图2
过点D 作DM⊥ED 交BE 于点M，
∵BE⊥AC 于点E，AD⊥BC 于点D，
可证：∠CBE=∠CAD，∠EDF=∠BDM，
∵∠ABC=45°，
∴△ADB 是等腰直角三角形，
∴AD=BD，
在△ACD 和△BFD 中，
，
∴△ACD≌△BFD，
∴FD=CD，AC=BF，
在△AED 和△BMD 中，
，
∴△AED≌△BMD，
∴DE=DM，AE=BM，
∴FM=CE，
∴EF+EC=EF+FM=EM，
在Rt△DEM 中，可求EM=
ED，
∴EF+EC=
ED；
（3）如图3
过点D 作DN⊥ED 于点D 交BE 于点N．
与（2）同理易证△AED≌△BND，
∴ED=ND，BN=AE，
∴∠DEB=45°，
∵BE⊥AC，
∴∠CED=∠BED=45°
∴∠CEG=∠CED=45°
∴∠DEG=90°
∴∠DEG=∠EDN=90°
∴EG∥DN，又DG∥BE
∴四边形DGEN 为平行四边形
∴DG=EN
∵BE=EN+BN
∴BE=AE+DG．
【点评】此题主要考查几何变换的综合问题，会构造三角形全等，会运用勾股定理求线段的长
度，会灵活运用等量代换和加减是解题的关键．
26．如图1，已知抛物线y=﹣x2﹣4x+5 交x 轴于点A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点
C，点D 为抛物线的顶点，连接AD．
（1）求直线AD 的解析式．
（2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分别平行于y 轴，
交抛物线于点E′和F′，交AD 于点M、N，当ME′+NF′的值最大时，在y 轴上找一点R，使
得|RE′﹣RF′|值最大，请求出点R 的坐标及|RE′﹣RF′|的最大值．
（3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△PAC 是以AC 为底边的等腰三角形，若存在，请出
点P 的坐标及△PAC 的面积，若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据抛物线的解析式求得点A、D 的坐标，然后利用待定系数法来求直线AD 的解
析式即可；
（2）根据平行线的性质和函数图象上点的坐标特征易得ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣
18=2m2﹣16m﹣28；结合二次函数最值的求法和两点间线段最短得到：要使|RE′﹣RF′|值最
大，则点E′、F′、R 三点在一条直线上，只需求得点E′、F′的坐标，利用待定系数法推知
直线E′F′关系式，由该关系式来求点R 的坐标即可；
（3）当PA=PC 时，点P 在线段AC 的垂直平分线上，结合三角形的面积公式进行解答．
【解答】解：（1）如图1，∵y=﹣x2﹣4x+5=﹣（x+5）（x﹣1）或y=﹣（x+2）2+9，
∴A（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）．
设直线AD 的解析式为：y=kx+b（k≠0），把A、D 的坐标代入，得
，
解得
．
故直线AD 的解析式为：y=3x+15；
（2）如图1，∵EE′∥y 轴，FF′∥y 轴，E（m，0）、F（m+1，0），
∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），
∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，
∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．
∵﹣2＜0，
∴m=﹣
=﹣4，
∴ME′+NF′有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8），
要使|RE′﹣RF′|值最大，则点E′、F′、R 三点在一条直线上，
∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则
，
解得
，
∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）．
当x=0 时，y=17，则点R 的坐标是（0，17）．
此时，|RE′﹣RF′|的最大值为
=
；
（3）如图2，设点P（x，﹣x2﹣4x+5）．
当PA=PC 时，点P 在线段AC 的垂直平分线上，
∵OC=OA，
∴点O 在线段AC 的垂直平分线上，
∴点P 在∠AOC 的角平分线上，
∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，
解得x1=
，x2=
，
∴P（
，
），P′（
，
）．
∴PH=OP﹣OH=
，P′H=OP′+OH=
，
∴S△PAC=
AC•PH=
×5
×
=
或S△PAC=
AC•P′H=
×5
×
=
．
【点评】本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，
二次函数图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法以及三角形的面积计算．在求有关动点
问题时要注意分析题意分情况讨论结果．
