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九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3 分）方程x2=1 的根是（ ）
A．x=1 B．x=
1
﹣C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=
1
﹣
2．（3 分）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（3 分）一个口袋中有红球、白球共20 只，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，
从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，共摸了50 次，发现有30
次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8 只B．12 只C．18 只D．30 只
4．（3 分）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（ ）
A．24
B．30
C．40
D．48
5．（3 分）若x=2 关于x 的一元二次方程x2
ax
﹣
+2=0 的一个根，则a 的值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．1 D．﹣1
6．（3 分）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y 与x 的函数关系式
为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
7．（3 分）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形D．位似图形一定是相似图形
8．（3 分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是
（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜3 时，y＞0
C．当x＜1 时，y 随x 的增大而减小D．对称轴是直线x=1
9．（3 分）某公司年前缴税20 万元，今年缴税24.2 万元．若该公司这两年的年均增长率相同，
设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1
x
﹣）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
10．（3 分）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEC 的顶点均在“格点”上，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（3 分）如图，在▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点O 与AD 上的一点E 作直
线OE，交BA 的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE 的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（3 分）如图，抛物线y=x2
4x
﹣
与x 轴交于点O、A，顶点为B，连接AB 并延长，交y 轴于
点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16
D．32
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分12 分）
13．（3 分）抛物线y=
2
﹣（x+1）2
2
﹣的顶点坐标是 ．
14．（3 分）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站在该树的影子上，前后
移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该树的水平距离2m，小
明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为 ．
15．（3 分）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40 元，若按每千克60 元出售，平均
每天可售出100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平均每天的销售可增加
20 千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天获利2090 元，则该店
应降价 元出售这种水果．
16．（3 分）如图，在边长为2
的正方形ABCD 中，点E 为AD 边的中点，将△ABE 沿BE 翻
折，使点A 落在点A′处，作射线EA′，交BC 的延长线于点F，则CF= ．
三、解答题（共7 小题，满分52 分）
17．（5 分）计算：sin30°
2sin60°
﹣
+
tan45°+cos245°．
18．（5 分）解方程：x2
5x
﹣
+6=0．
19．（8 分）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5 个项目可供选择：径赛项目：100m、
200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用T1、T2表示）．
（1）该同学从5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P 为 ；
（2）该同学从5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用
列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为 ．
20．（8 分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点A 作AE∥BD，过点D
作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE 是菱形；
（2）连接BE，交AC 于点F．若BE⊥ED 于点E，求∠AOD 的度数．
21．
（8 分）如图，某校20 周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣传条幅，EF 为旗杆，气球
从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AF 延长线上的点B 处测得气球和旗杆EF 的顶
点E 在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12 米，若在点B 处测得旗杆顶点E 的仰角为30°，A 处测得点E 的仰角为
45°，试求AB 的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留
根号）？
22．
（9 分）如图1，直线y=2x
2
﹣与曲线y= （x＞0）相交于点A（2，n），与x 轴、y 轴分别交于
点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC 的值？
（3）如图2，点E 是y 轴正半轴上一动点，过点E 作直线AC 的平行线，分别交x 轴于点F，交
曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果
不存在，请说明理由．
23．
（9 分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴、y 轴分别交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点
C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否
存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，
记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠的面积记为S，设平移
的时间为t 秒，试求S 与t 之间的函数关系式？
九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12 小题，每小题3 分，满分36 分，每小题只有一个选项符合题意）
1．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）方程x2=1 的根是（ ）
A．x=1 B．x=
1
﹣C．x1=1，x2=0 D．x1=1，x2=
1
﹣
【解答】解：x2=1，
两边直接开平方得：x=±
=±1，
故：x1=1，x2=
1
﹣，
故选：D．
2．（3 分）（2016•巨野县二模）如图，该几何体的左视图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：从左边看是一个正方形被水平的分成3 部分，中间的两条分线是虚线，故C 正确；
故选：C．
3．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）一个口袋中有红球、白球共20 只，这些球除颜色外都相同，
将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一只球，记下它的颜色后再放回，不断重复这一过程，
共摸了50 次，发现有30 次摸到红球，则估计这个口块中有红球大约多少只？（ ）
A．8 只B．12 只C．18 只D．30 只
【解答】解：∵共摸了50 次，其中有30 次摸到红球，
∴口袋中红球和总球数之比为3：5，
∵口袋中有红球、白球共20 只，
∴估计这个口块中有红球大约有20×
=12（只）．
故选B．
4．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）菱形的边长为5，一条对角线长为8，则此菱形的面积是（
）
A．24
B．30
C．40
D．48
【解答】解：在菱形ABCD 中，AB=5，BD=8，
∵对角线互相垂直平分，
∴∠AOB=90°，BO=4，
在RT△AOB 中，AO=
=3，
∴AC=2AO=6．
∴则此菱形面积是：
=24．
故选：A．
5．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）若x=2 关于x 的一元二次方程x2
ax
﹣
+2=0 的一个根，则a 的
值为（ ）
A．3 B．﹣3
C．1 D．﹣1
【解答】解：把x=2 代入x2
ax
﹣
+2=0，得
22
2a
﹣
+2=0，
解得a=3．
故选：A．
6．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
则y 与x 的函数关系式为（ ）
A．y=
B．y=
C．y=
D．y=
【解答】解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，
∴
xy=10，
∴y 与x 的函数关系式为：y=
．
故选：C．
7．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）下列命题中，正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形B．矩形的对角线垂直且相等
C．对角线相等的矩形是正方形D．位似图形一定是相似图形
【解答】解：A、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，错误；
B、矩形的对角线平分且相等，错误；
C、对角线相等、垂直且平分的矩形是正方形，错误；
D、位似图形一定是相似图形，正确；
故选D．
8．
（3 分）
（2015 秋•宝安区期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函
数，下列说法错误的是（ ）
A．函数有最小值B．当﹣1＜x＜3 时，y＞0
C．当x＜1 时，y 随x 的增大而减小D．对称轴是直线x=1
【解答】解：A、∵抛物线开口向上，
∴函数有最小值，故本选项正确；
B、当﹣1＜x＜3 时，y＜0，故本选项错误；
C、∵抛物线开口向上，
∴当x＜1 时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确；
D、∵抛物线与x 轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=1，故本选项正确．
故选B．
9．
（3 分）
（2015 秋•宝安区期末）某公司年前缴税20 万元，今年缴税24.2 万元．若该公司这两
年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（ ）
A．20（1+x）3=24.2 B．20（1
x
﹣）2=24.2
C．20+20（1+x）2=24.2 D．20（1+x）2=24.2
【解答】解：设这个增长率为x，
由题意得，20（1+x）2=24.2．
故选D．
10．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，每个小正方形的边长均为1，△ABC 和△DEC 的顶
点均在“格点”上，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵每个小正方形的边长均为1，
∴由勾股定理得：AC=
=2
，AB=
=2
，BC=
=2
，
DC=
=
，CE=
=
，DE=
=
，
∴
=
=
，
故选A．
11．（3 分）（2014•河北模拟）如图，在▱ABCD 中，对角线AC、BD 相交于点O，过点O 与AD
上的一点E 作直线OE，交BA 的延长线于点F．若AD=4，DC=3，AF=2，则AE 的长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：如图，延长FO，交BC 于点G．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OD=OB，AD∥BC，AB=DC=3，
∴∠EDO=∠GBO，又∠DOE=∠BOG，
∴△DOE≌△BOG（ASA）．
∴DE=BG．
∵AE∥BG，
∴△AEF∽△BGF，
∴
=
，即
=
=
，
设AE=2x，则BG=5x，
∴DE=BG=5x，
∵AE+DE=AD=4，
∴2x+5x=4，
∴x=
，
∴AE=2x=
．
故选C．
12．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，抛物线y=x2
4x
﹣
与x 轴交于点O、A，顶点为B，连接
AB 并延长，交y 轴于点C，则图中阴影部分的面积和为（ ）
A．4 B．8 C．16
D．32
【解答】解：当y=0 时，x2
4x=0
﹣
，解得x1=0，x2=4，则A（4，0），
∵y=x2
4x=
﹣
（x
2
﹣）2
4
﹣，
∴B（2，﹣4），
设直线AB 的解析式为y=kx+b，
把A（4，0），B（2，﹣4）代入得
，解得
，
∴直线AB 的解析式为y=2x
8
﹣；
当x=0 时，y=2x
8=
8
﹣
﹣，则C（0，﹣8），
∴图中阴影部分的面积和=S△OBC=
×8×2=8．
故选B．
二、填空题（共4 小题，每小题3 分，满分12 分）
13．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）抛物线y=
2
﹣（x+1）2
2
﹣的顶点坐标是 （﹣
1 ，﹣
2 ）
．
【解答】解：因为y=
2
﹣（x+1）2
2
﹣是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
14．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，小明想测量院子里一棵树的高度，在某一时刻，他站
在该树的影子上，前后移动，直到他本身的影子的顶端正好与树影的顶端重叠．此时，他与该
树的水平距离2m，小明身高1.5m，他的影长是1.2m，那么该树的高度为
4m
．
【解答】解：如图，CE=1.5m，
∵CE∥BD，
∴△ACE∽△ABD，
∴
=
，即
=
，
∴BD=4（m），
即树的高度为4m．
故答案为：4m．
15．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）某水果店销售一种进口水果，其进价为每千克40 元，若按
每千克60 元出售，平均每天可售出100 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2 元，则平
均每天的销售可增加20 千克．水果店想要能尽可能让利于顾客，赢得市场，又想要平均每天
获利2090 元，则该店应降价
9
元出售这种水果．
【解答】解：设这种商品每千克应降价x 元，根据题意得
（60
x
40
﹣﹣
）（100+
×20）=2090，
解得：x1=4（不合题意，舍去），x2=9．
故答案是：9．
16．（3 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，在边长为2
的正方形ABCD 中，点E 为AD 边的
中点，将△ABE 沿BE 翻折，使点A 落在点A′处，作射线EA′，交BC 的延长线于点F，则CF=
．
【解答】解：∵正方形ABCD，
∴AB=AD=BC=2
，AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBF，
∵E 为AD 边的中点，
∴AE=
，
由折叠的性质得∠AEB=∠BEF，EA′=AE=
，∠BA′E=∠A=90°，A′B=AB=2
，
∴∠BEF=∠EBF，
∴BF=EF，
设CF=x，则BF=2
+x，A′F=
+x，
在Rt△A′BF 中，（2
）2+（
+x）2=（2
+x）2，
解得：x=
，
故答案为
．
三、解答题（共7 小题，满分52 分）
17．（5 分）（2015 秋•宝安区期末）计算：sin30°
2sin60°
﹣
+
tan45°+cos245°．
【解答】解：原式=
2
﹣×
+
×1+（
）2
=
﹣
+
+
=1．
18．（5 分）（2010•花垣县校级自主招生）解方程：x2
5x
﹣
+6=0．
【解答】解：由原方程，得
（x
3
﹣）（x
2
﹣）=0，
∴x
3=0
﹣
，或x
2=0
﹣
，
解得，x=3 或x=2．
19．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）某同学报名参加学校秋季运动会，有以下5 个项目可供选
择：径赛项目：100m、200m、1000m（分别用A1、A2、A3表示）；田赛项目：跳远，跳高（分别用
T1、T2表示）．
（1）该同学从5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P 为
；
（2）该同学从5 个项目中任选两个，求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1，利用
列表法或树状图加以说明；
（3）该同学从5 个项目中任选两个，则两个项目都是径赛项目的概率P2为
．
【解答】解：（1）该同学从5 个项目中任选一个，恰好是田赛项目的概率P=
；
（2）画树状图为：
共有20 种等可能的结果数，其中一个径赛项目和一个田赛项目的结果数为12，
所以一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1=
=
；
（3）两个项目都是径赛项目的结果数为6，
所以两个项目都是径赛项目的概率P2=
=
．
故答案为
，
．
20．（8 分）（2016•峄城区一模）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O，过点A
作AE∥BD，过点D 作ED∥AC，两线相交于点E．
（1）求证：四边形AODE 是菱形；
（2）连接BE，交AC 于点F．若BE⊥ED 于点E，求∠AOD 的度数．
【解答】（1）证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE 是平行四边形，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA=OC=
AC，OB=OD=
BD，AC=BD，
∴OA=OC=OD，
∴四边形AODE 是菱形；
（2）解：连接OE，如图所示：
由（1）得：四边形AODE 是菱形，
∴AE=OB=OA，
∵AE∥BD，
∴四边形AEOB 是平行四边形，
∵BE⊥ED，ED∥AC，
∴BE⊥AC，
∴四边形AEOB 是菱形，
∴AE=AB=OB，
∴AB=OB=OA，
∴△AOB 是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=180°
60°=120°
﹣
．
21．（8 分）（2015 秋•宝安区期末）如图，某校20 周年校庆时，需要在草场上利用气球悬挂宣
传条幅，EF 为旗杆，气球从A 处起飞，几分钟后便飞达C 处，此时，在AF 延长线上的点B 处
测得气球和旗杆EF 的顶点E 在同一直线上．
（1）已知旗杆高为12 米，若在点B 处测得旗杆顶点E 的仰角为30°，A 处测得点E 的仰角为
45°，试求AB 的长（结果保留根号）；
（2）在（1）的条件下，若∠BCA=45°，绳子在空中视为一条线段，试求绳子AC 的长（结果保留
根号）？
【解答】解：（1）∵在直角△BEF 中，tan∠EBF=
，
∴BE=
=
=12
．
同理AF=EF=12（米），
则AB=BF+AF=12
+12%（米）；
（2）作AG⊥BE 于点G，
在直角△ABG 中，AG=AB•sin30°=
（12
+12）=6
+6．
又∵直角△AGC 中，∠ACG=45°，
∴AC=
AG=6
+6
（米）．
22．（9 分）（2015 秋•宝安区期末）如图1，直线y=2x
2
﹣与曲线y= （x＞0）相交于点A（2，
n），与x 轴、y 轴分别交于点B、C．
（1）求曲线的解析式；
（2）试求AB•AC 的值？
（3）如图2，点E 是y 轴正半轴上一动点，过点E 作直线AC 的平行线，分别交x 轴于点F，交
曲线于点D．是否存在一个常数k，始终满足：DE•DF=k？如果存在，请求出这个常数k；如果
不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵直线y=2x
2
﹣经过点A（2，n），
∴n=2×2
2=2
﹣
，即A 的坐标是（2，2），
把（2，2）代入y=
得m=4，
则反比例函数的解析式是y=
（x＞0）；
（2）过A 作AM⊥x 轴于点M．
在y=2x
2
﹣中，令x=0 解得y=
2
﹣，则C 的坐标是（0，﹣2），令y=0，则2x
2=0
﹣
，解得x=1，则
B 的坐标是（1，0）；
则AB=
=
=
，
BC=
=
=
，
则AB•AC=
×2
=10；
（3）存在常数k，过点D 作DN⊥x 轴于点N．过点E 作EG⊥DN 于点G，则
∠AMB=∠DNF=∠DGE=90°，
设D 的坐标是（a，
），则EG=a，DN=
，
∵DF∥AC，EG∥FN，
∴∠ABM=∠DFG=∠DEG，
∴△ABM∽△DFN，△ABM∽△DEG，
∴
=
，有DF：
=
，则DF=2
a，
又
=
，有
=
，则ED=
a，
于是，DE•DF=
a•
=10．
即存在常数k=10．
23．（9 分）（2016•汕头校级自主招生）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x 轴、y 轴分别交
于点A（﹣1，0）、B（3，0）、点C 三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否
存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，将△BOC 沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右平移，
记平移后的三角形为△B′O′C′．在平移过程中，△B′O′C′与△BCD 重叠的面积记为S，设平移
的时间为t 秒，试求S 与t 之间的函数关系式？
【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0），
，
解得：a=
1
﹣，b=2．
故抛物线解析式为：y=
x
﹣2+2x+3．
（2）存在
将点D 代入抛物线解析式得：m=3，
∴D（2，3），
令x=0，y=3，
∴C（0，3），
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠CBO=45°，
如下图，设BP 交y 轴于点G，
∵CD∥x 轴，
∴∠DCB=∠BCO=45°，
在△CDB 和△CGB 中：
∵∠
∴△CDB≌△CGB（ASA），
∴CG=CD=2，
∴OG=1，
∴点G（0，1），
设直线BP：y=kx+1，
代入点B（3，0），
∴k=﹣
，
∴直线BP：y=﹣
x+1，
联立直线BP 和二次函数解析式：
，
解得：
或
（舍），
∴P（﹣
，
）．
（3）直线BC：y=
x
﹣+3，直线BD：y=
3x
﹣
+9，
当0≤t≤2 时，如下图：
设直线C′B′：y=﹣（x
t
﹣）+3
联立直线BD 求得F（
，
），
S=S△BCD
S
﹣
△CC′E
S
﹣
△C′DF
=
×2×3﹣
×t×t﹣
×（2
t
﹣）（3﹣
）
整理得：S=﹣
t2+3t（0≤t≤2）．
当2＜t≤3 时，如下图：
H（t，﹣3t+9），I（t，﹣t+3）
S=S△HIB=
[（﹣3t+9）﹣（﹣t+3）]×（3
t
﹣）
整理得：S=t2
6t
﹣+9（2＜t≤3）
综上所述：S=
．
参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；2300680618；HJJ；gbl210；nhx600；1987483819；
caicl；zjx111；gsls；王学峰；家有儿女；zhjh；冀承真（排名不分先后）
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2016 年12 月20 日
