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《二次函数》全章复习与巩固—知识讲解（提高）
【学习目标】
1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；
2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；
3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问
题；
4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次函数的定义
一般地，如果
是常数，
，那么
叫做
的二次函数.
要点诠释：
如果y=ax2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0 时就不是二次函数了，
但b、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.
要点二、二次函数的图象与性质
1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：
①
；②
；③
；④
，
其中
；⑤
.（以上式子a≠0）
几种特殊的二次函数的图象特征如下：
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
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当
时
开口向上
当
时
开口向下
(
轴)
(0，0)
(
轴)
(0，
)
(
，0)
(
，
)
(
)
2.抛物线的三要素：
开口方向、对称轴、顶点.
(1)
的符号决定抛物线的开口方向：当
时，开口向上；当
时，开口向下；
相等，抛物线
的开口大小、形状相同.
(2)平行于
轴(或重合)的直线记作
.特别地，
轴记作直线
.
3.抛物线
中，
的作用：
(1)
决定开口方向及开口大小，这与
中的
完全一样.
(2)
和
共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线
的对称轴是直线
，
故：①
时，对称轴为
轴；②
(即
、同号)时，对称轴在
轴左侧；③
(即
、
异号)时，对称轴在
轴右侧.
(3)
的大小决定抛物线
与
轴交点的位置.
当
时，
，∴抛物线
与
轴有且只有一个交点(0，
)：
①
，抛物线经过原点； ②
，与
轴交于正半轴；③
，与
轴交于负半轴.
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在
轴右侧，则
.
4.用待定系数法求二次函数的解析式：
(1)一般式：
（a≠0）.已知图象上三点或三对
、
的值，通常选择一般式.
(2)顶点式：
（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
(可以看成
的图象平移后所对应的函数.)
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(3)“交点式”：已知图象与
轴的交点坐标
、
，通常选用交点式：
（a≠0）.(由此得根与系数的关系：
).
要点诠释：
求抛物线
2
y
ax
bx
c
（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这
三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．
要点三、二次函数与一元二次方程的关系
函数
，当
时，得到一元二次方程
，那么一元
二次方程的解就是二次函数的图象与x 轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x 轴的交点情况决定一元
二次方程根的情况.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系：
的图象
的解
方程有两个不等实数解
方程有两个相等实数解
方程没有实数解
要点诠释：
二次函数图象与x 轴的交点的个数由
的值来确定.
(1)当二次函数的图象与x 轴有两个交点，这时
，则方程有两个不相等实根；
(2)当二次函数的图象与x 轴有且只有一个交点，这时
，则方程有两个相等实根；
(3)当二次函数的图象与x 轴没有交点，这时
，则方程没有实根.
要点四、利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的
公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题
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时要注意自变量的取值范围应具有实际意义.
利用二次函数解决实际问题的一般步骤是：
(1)建立适当的平面直角坐标系；
(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来；
(3)用待定系数法求出抛物线的关系式；
(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题.
要点诠释：
常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的
模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式.
【典型例题】
类型一、求二次函数的解析式
1. 已知抛物线的顶点是(3，-2)，且在x 轴上截得的线段长为6，求抛物线的解析式．
【思路点拨】
已知抛物线的顶点是(3，-2)，可设抛物线解析式为顶点式，即
，也就是
，再由在x 轴上截得的线段长为6 建立方程求出a．也可根据抛物线的对
称轴是直线x＝3，在x 轴上截得的线段长为6，则与x 轴的交点为(0，0)和(6，0)，因此可设y＝
a(x-0)·(x-6)．
【答案与解析】
解法一：∵ 抛物线的顶点是(3，-2)，且与x 轴有交点，
∴ 设解析式为y＝a(x-3)2-2(a＞0)，即
，
设抛物线与x 轴两交点分别为(x1，0)，(x2，0)．则
，
解得
．∴ 抛物线的解析式为
，即
．
解法二：∵ 抛物线的顶点为(3，-2)，
∴ 设抛物线解析式为
．
∵ 对称轴为直线x＝3，在x 轴上截得的线段长为6，
∴ 抛物线与x 轴的交点为(0，0)，(6，0)．
把(0，0)代入关系式，得0＝a(0-3)2-2，
解得
，∴ 抛物线的解析式为
，
即
．
解法三：求出抛物线与x 轴的两个交点的坐标(0，0)，(6，0)设抛物线解析式为y＝a(x-0)(x-6)，把
(3，-2)代入得
，解得
．
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∴ 抛物线的解析式为
，即
．
【点评】求抛物线解析式时，根据题目条件，恰当选择关系式，可使问题变得简单．
举一反三：
【变式】已知抛物线
（m 是常数）．
（1）求抛物线的顶点坐标； （2）若
，且抛物线与轴交于整数点，求此抛物线的解析式．
【答案】（1）依题意，得
，∴
，
∴抛物线的顶点坐标为
．
（2）∵抛物线与轴交于整数点，
∴
的根是整数．
∴
．
∵
，∴
是整数．∴
是完全平方数．
∵
， ∴
，∴
取1，4，9，
．
当
时，
；当
时，
；当
时，
．
∴
的值为2 或
或
．
∴抛物线的解析式为
或
或
．
类型二、根据二次函数图象及性质判断代数式的符号
2. 函数
和
在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）
【答案】C；
【解析】 ∵ a≠0，∴ 分a＞0，a＜0 两种情况来讨论两函数图象的分布情况．
若a＞0，则y＝ax+b 的图象必经过第一、三象限，
的图象开口向上，可排除D．
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若a＞0，b＞0，则y＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，
的图象的对称轴
在y 轴的左侧，故B 不正确．
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b 的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上，
的图象的对称轴
在y 轴的右侧，故C 正确．
若a＜0，则y＝ax+b 的图象必经过第二、四象限，
的图象开口向下，故A 不正确．
【点评】在同一直角坐标系中研究两种函数图象的分布情况，待定系数a，b 满足一致性，因此讨论a，b 符
号的一致性成为解决本题的关键所在．事实上，a，b 的符号既决定了一次函数图象的分布情况，
又决定了抛物线的开口方向和对称轴的位置．
类型三、数形结合
3. 已知平面直角坐标系xOy(如图所示)，一次函数
的图象与y 轴交于点A，点M
在正比例函数
的图象上，且MO＝MA，二次函数
的图象经过点A、M．
(1)求线段AM 的长；
(2)求这个二次函数的解析式；
(3)如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数
的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．
【答案与解析】
(1)一次函数
，当x＝0 时，y＝3，所以点A 的坐标为(0，3)，
又∵ MO＝MA，
∴ M 在OA 的中垂线上，即M 的纵坐标为
，又M 在
上，当
时，x＝1，
∴ 点M 的坐标为
．
如图所示，
．
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(2)将点A(0，3)，
代入
中，得
∴
即这个二次函数的解析式为：
．
(3)如图所示，设B(0，m)(m＜3)，
，
．
则|AB|＝3-m，
，
．
因为四边形ABCD 是菱形，所以
．
所以
解得
（舍去）
将n＝2 代入
，得
，所以点C 的坐标为（2，2）．
【点评】结合题意画出图形，再根据图形的特殊性求线段长或点的坐标，达到以“形”助“数”的目的．
类型四、函数与方程
4. 如图所示，把一张长10cm，宽8 cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再
折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)．
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(1)要使长方体盒子的底面积为48 cm2，那么剪去的正方形的边长应为多少?
(2)折成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形
的边长；如果没有，请说明理由；
(3)如果把矩形硬纸板的四周分别剪去两个同样大小的正方形和两个同样形状、同样大小的矩形，然
后折成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况?如果有，请你求出最大值和此时剪去的
正方形的边长；如果没有，请你说明理由．
【答案与解析】
(1)设剪去的正方形的边长为x cm，则(10-2x)·(8-2x)＝48，即x2-9x+8＝0．
解得x1＝8(不合题意，舍去)，x2＝1．
所以剪去的正方形的边长为1 cm．
(2)有侧面积最大的情况．设此时剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，
则y 与x 的函数关系式为：y＝2(10-2x)x+2(8-2x)x．
即y＝-8x2+36x，改写为
，所以当x＝2.25 时，
40.5．
即当剪去的正方形的边长为2.25 cm 时，长方体盒子的侧面积最大为40.5 cm2；
(3)有侧面积最大的情况．
设剪去的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2．
若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：
，即
．所以当
时，
．
若按图所示的方法剪折，则y 与x 的函数关系式为：
，即
．所以当
时，
．
比较以上两种剪折方法可以看出，按图所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，
即当剪去的正方形的边长为
cm 时，折成的有盖的长方体盒子的侧面积最大，最大面积为
．
【点评】结合题意建立方程模型，注意到题目中剪去的正方形、矩形的边之间的关系：即正方形的边长应当
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与矩形的短边长度相同，这样才可以折成有盖的长方形盒子．用含字母的代数式表示长方体盒子
的侧面积，联系所得出的侧面积与正方形的边长之间的关系式，根据函数的性质可以求出盒子侧
面积的最大值，由于此题矩形的两边长度不同，所以剪切的方法有两种，应当注意分类，以免漏解．
举一反三：
【变式1】抛物线
与直线
只有一个公共点，则b=________．
【答案】由题意得
把②代入①得
.
∵ 抛物线
与直线
只有一个公共点，
∴ 方程
必有两个相等的实数根，
∴
，∴
．
【变式2】二次函数
的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)写出方程
的两个根；
(2)写出不等式
的解集；
(3)写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围；
(4)若方程
有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
.
(3)
.
(4)方法1：方程
的解，
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即为方程组
中x 的解也就是抛物线
与直线
的交点
的横坐标，由图象可看出，
当
时，直线
与抛物线
有两个交点，∴
．
方法2：∵ 二次函数
的图象过(1，0)，(3，0)，(2，2)三点，
∴
∴
∴
，即
，
∴
.
∵ 方程有两个不相等的实数根，∴
，∴
.
类型五、分类讨论
5．若函数
，则当函数值y＝8 时，自变量x 的值是( )．
A．
B．4 C．
或4 D．4 或
【思路点拨】
此题函数是以分段函数的形式给出的，当y＝8 时，求x 的值时，注意分类讨论.
【答案】D；
【解析】
由题意知，
当
时，
．而
，∴
．
(舍去)．
当2x＝8 时，x＝4．综合上知，选D．
【点评】正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
类型六、与二次函数有关的动点问题
6．如图所示，在直角坐标系中，点A，B，C 的坐标分别为(-1，0)，(3，0)，(0，3)，过A，B，C 三点的抛物
线的对称轴为直线，D 为对称轴l 上一动点．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)求当AD+CD 最小时点D 的坐标；
(3)以点A 为圆心，以AD 为半径作⊙A．
①证明：当AD+CD 最小时，直线BD 与⊙A 相切； ②写出直线BD 与⊙A 相切时，D 点的另一个坐标．
【思路点拨】
根据A、B 两点在x 轴上，可设交点式求解析式．要AD+CD 最小，根据两点之间线段最短，
可判定D 点位置，从而求出点D 坐标．要让BD 与⊙A 相切，只需证AD⊥BD，由圆的对称性，
可直接写出D 点另一个坐标．
【答案与解析】
(1)设抛物线的解析式为y＝a(x+1)(x-3)．
将(0，3)代入上式，得3＝a(0+1)(0-3)．
解得a＝-1．
∴ 抛物线的解析式为y＝-(x+1)(x-3)，
即
．
(2)连接BC，交直线于点D′．
∵ 点B 与点A 关于直线l 对称，∴ AD′＝BD′．
∴ AD′+CD′＝BD′+CD′＝BC．
由“两点之间，线段最短”的原理可知：
此时AD′+CD′最小，点D′的位置即为所求．
设直线BC 的解析式为y＝kx+b，
由直线BC 过点(3，0)，(0，3)，得
解这个方程组，得
∴ 直线BC 的解析式为y＝-x+3．
∵ 对称轴为x＝1．
将x＝1 代入y＝-x+3，得y＝-1+3＝2．
∴ 点D 的坐标为(1，2)．
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(3)①连接AD．设直线l 与x 轴的交点为点E．
由(2)知：当AD+CD 最小时，点D 的坐标为(1，2)．
∵ DE＝AE＝BE＝2，∴ ∠DAB＝∠DBA＝45°，
∴ ∠ADB＝90°． ∴ AD⊥BD．
∴ BD 与⊙A 相切．
②(1，-2)．
【点评】动点问题分单点运动和双点运动，是中考的热点问题，在运动变化中发展空间想象能力和提高综
合分析问题的能力，解决此类题要“以静制动”，即把动态问题变为静态的问题去解决，解题时
用运动的眼光去观察研究问题，挖掘运动变化过程中的不变量、不变关系．
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