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《勾股定理》全章复习与巩固（基础）
责编：杜少波
【学习目标】
1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；
2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；
3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.
【知识网络】
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边a
b
、的平方和等于斜边c 的平方.（即：
2
2
2
a
b
c
）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）解决与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用．
要点二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a
b
c
、、，满足
2
2
2
a
b
c
，那么这个三角形是直角三角形.
要点诠释：
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；
（2）验证：
2
2
a
b
与
2c
是否具有相等关系：
若
2
2
2
a
b
c
，则△ABC 是以∠C 为90°的直角三角形；
若
2
2
2
a
b
c
＞
时，△ABC 是锐角三角形；
若
2
2
2
a
b
c
＜
时，△ABC 是钝角三角形．
2.勾股数
满足不定方程
2
2
2
x
y
z
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），
显然，以x
y
z
、、为三边长的三角形一定是直角三角形.
要点诠释：
常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.
如果(a
b
c
、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at
bt
ct
、、
为三角形的三边长，此三角形
必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差1.
3.假设三个数分别为a
b
c
、、，且a
b
c
，那么存在
2
a
b
c
成立.（例如④中存在
2
7 ＝24＋25、
2
9 ＝40＋41 等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
1、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．
某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【思路点拨】根据题意正确表示出AD2的值是解题关键.
【答案与解析】
解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，
设BD=x，则CD=14
x
﹣，
由勾股定理得：AD2=AB2
BD
﹣
2=152
x
﹣2，AD2=AC2
CD
﹣
2=132﹣（14
x
﹣）2，
故152
x
﹣2=132﹣（14
x
﹣）2，
解之得：x=9．
∴AD=12．
∴S
ABC
△
=
BC•AD=
×14×12=84．
【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解.
举一反三：
【变式】在△ABC 中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC 的周长．
【答案】
解：在Rt△ABD 和Rt△ACD 中，
由勾股定理，得
2
2
2
2
2
15
12
81
BD
AB
AD
．
∴
9
BD
．
同理
2
2
2
2
2
13
12
25
CD
AC
AD
．
∴
5
CD
．
①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．
②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．
∴ △ABC 的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．
综上所述：△ABC 的周长为32 或42．
2、如图所示，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M 为AB 上一点．
求证：
2
2
2
2
AM
BM
CM
．
【思路点拨】欲证的等式中出现了AM2、BM2、CM2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作
CD⊥AB．
【答案与解析】
证明：过点C 作CD⊥AB 于D．
∵ AC＝BC，CD⊥AB，
∴ AD＝BD．
∵ ∠ACB＝90°，
∴ CD＝AD＝DB．
∴
2
2
2
2
AM
BM
AD
DM
AD
DM
2
2
2
2
2
2
AD
AD DM
DM
AD
AD DM
DM
2
2
2(
)
AD
DM
2
2
2(
)
CD
DM
在Rt△CDM 中，
2
2
2
CD
DM
CM
，
∴
2
2
2
2
AM
BM
CM
．
【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所
证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．
举一反三：
【变式】已知△ABC 中，AB＝AC，D 为BC 上任一点，求证：
2
2
AB
AD
BD CD
.
【答案】
解：如图，作AM⊥BC 于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,
则在Rt△ABM 中：
2
2
2
AB
AM
BM
……①
在Rt△ADM 中：
2
2
2
AD
AM
DM
……②
由
①
－
②
得
：
2
2
AB
AD
2
2
BM
DM
BM
DM
BM
DM
＝ （MC＋DM）•BD＝CD·BD
类型二、勾股定理及逆定理的综合应用
3、（2014 秋•黎川县期中）如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，请你判定
△BEF 的形状，并说明理由．
【思路点拨】根据勾股定理求出BE2、EF2、BF2，根据勾股定理的逆定理判断即可．
【答案与解析】
解：∵△BEF 是直角三角形，
理由是：∵在正方形ABCD 中，AB=4，AE=2，DF=1，
∴∠A=∠C=∠D=90°，AB=AD=DC=BC=4，DE=4
2=2
﹣
，CF=4
1=3
﹣
，
∵由勾股定理得：BE2=AB2+AE2=42+22=20，EF2=DE2+DF2=22+12=5，
BF2=BC2+CF2=42+32=25，
∴BE2+EF2=BF2，
∴∠BEF=90°，
即△BEF 是直角三角形．
【总结升华】本题考查了正方形性质，勾股定理，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是
求出BE2+EF2=BF2.
4、如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结PA，PB，PC，以BP 为边作∠PBQ=60°，且
BQ=BP，连结CQ．
(1)观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．
(2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．
【答案与解析】
解：(1)猜想：AP=CQ
证明：在△ABP 与△CBQ 中，
∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°
∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ
∴ △ABP≌△CBQ
∴ AP=CQ
(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a
连结PQ，在△PBQ 中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°
∴ △PBQ 为正三角形 ∴ PQ=4a
于是在△PQC 中，∵
∴ △PQC 是直角三角形
【总结升华】本题的关键在于能够证出△ABP≌△CBQ，从而达到线段转移的目的，再利用勾
股定理的逆定理判断三角形的形状．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是BC 边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，
求DC 的长．
【答案】
解：在△ABD 中，由
2
2
2
12
5
13
可知：
2
2
2
AD
BD
AB
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在Rt△ADC 中，
2
2
2
81,
9
DC
AC
AD
DC
．
5、如果ΔABC 的三边分别为a
b
c
、、，且满足
2
2
2
50
6
8
10
a
b
c
a
b
c
，判断
ΔABC 的形状.
【答案与解析】
解：由
2
2
2
50
6
8
10
a
b
c
a
b
c
，得 ：
2
2
2
6
9
8
16
10
25
0
a
a
b
b
c
c
∴
2
2
2
(
3)
(
4)
(
5)
0
a
b
c
∵
2
2
2
(
3)
0 (
4)
0 (
5)
0
a
b
c
，
，
∴
3,
4,
5.
a
b
c
∵
2
2
2
3
4
5
,
∴
2
2
2
a
b
c
.
由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.
【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用
到.
类型三、勾股定理的实际应用
6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对
的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处
爬到B 处的最短路线长为多少?
【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是
正方形，故它爬行的路径有两种情况．
【答案与解析】
解：如图②③所示．
因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．
在图②中，由勾股定理，得
2
2
2
3
11
130
AB
．
在图③中，由勾股定理，得
2
2
2
6
8
100
AB
．
因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线
长为10cm ．
【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面
图形上的直线，再运用勾股定理求解．
举一反三：
【变式】（2014 秋•郑州期末）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周
三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看
作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20 尺，底面周长为3 尺，有葛藤自点A 处缠
绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？
【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC=20 尺，AC=5×3=15 尺，
∴AB=
=25（尺）．
答：葛藤长为25 尺．
